重庆市中考数学一轮复习练习题型7 类型一 倍长中线Word文件下载.docx

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（1）如图①，若△ACD是等边三角形，OC＝2，求▱ABCD的面积；

（2）如图②，若△ACD是等腰直角三角形，∠CAD＝90°

CE＋2OF＝AC.

第4题图

5.（2017重庆江北区模拟）如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，其中∠ACB＝∠BDE＝90°

，AC＝BC，BD＝ED，连接AE，点F是AE的中点，连接DF.

（1）如图①，若B、C、D共线，且AC＝CD＝2，求BF的长度；

（2）如图②，若A、C、F、E共线，连接CD，求证：

DC＝DF.

第5题图

6.（2017重庆南岸区模拟）在△ABC中，点D是BC上的一点，点E是△ABC外一点，且∠AEB＝90°

，过点C作CF⊥AF，垂足为F，连接DE，DF.

（1）如图①，点D在AE上，D是BC中点，∠BAE＝30°

，∠CAE＝45°

，AB＝2，求AC的长；

（2）如图②，点D不在AE上，连接AD，延长CF至点G，连接GD且GD＝AD，若BC平分∠ABE，∠G＝∠DAB.求证：

DE＝DF.

第6题图

答案

1.解：

（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO＝∠CFO＝90°

，

在△AEO和△CFO中，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE＝OF；

（2）图②中的结论为：

CF＝OE＋AE；

图③中的结论为：

CF＝OE－AE.

选图②中的结论如下：

如解图①，延长EO交CF于点G，

第1题解图①

∵AE⊥BP，CF⊥BP，

∴AE∥CF，

∴∠EAO＝∠GCO，

在△EOA和△GOC中，，

∴△EOA≌△GOC（ASA），

∴EO＝GO，AE＝GC，

在Rt△EFG中，

∴EO＝OG，

∴OE＝OF＝GO，

∵∠OFE＝30°

∴∠OFG＝90°

－30°

＝60°

∴△OFG是等边三角形，

∴OF＝GF，

∵OE＝OF，

∴OE＝FG，

∵CF＝FG＋CG，∴CF＝OE＋AE；

选图③的结论证明如下：

如解图②，延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，

第1题解图②

∴∠AEO＝∠G，

在△AOE和△COG中，，

∴△AOE≌△COG（AAS），

∴OE＝OG，AE＝CG，

在Rt△EFG中，∵OE＝OG，∴OE＝OF＝OG，

∴OF＝FG，

∵OE＝OF，∴OE＝FG，

∵CF＝FG－CG，

∴CF＝OE－AE.

2.

（1）解：

在等腰Rt△CDE中，

∵∠CDE＝90°

，DE＝DC，CE＝2，

∴DE＝DC＝2.

∵AB＝BC＝3，

∴BD＝1，在Rt△ABD中，AD＝＝＝.

∵AF＝DF，

∴BF＝AD＝.

（2）证明：

如解图，延长EF到点N，使得FN＝EF，连接BN，AN，延长DE交AB于点M，在△AFN和△DFE中，

∴△AFN≌△DFE（SAS），

∴AN＝DE＝DC，∠FAN＝∠FDE，

∴DM∥AN，

∴∠OMB＝∠BAN.

∵∠MOB＋∠OMB＝90°

，∠DOC＋∠OCD＝90°

，∠MOB＝∠DOC，

∴∠OMB＝∠OCD，

∴∠BAN＝∠BCD.

在△BAN和△BCD中，，

∴△BAN≌△BCD（SAS），

∴∠ABN＝∠CBD，BN＝BD，

∴∠DBN＝∠CBA＝90°

.

∵∠DBE＝45°

∴∠EBN＝∠EBD.

∵BE＝BE，BN＝BD，

∴△BEN≌△BED（SAS），

∴DE＝EN＝2EF，∴EF＝ED.

第2题解图

3.解：

（1）∵∠ACB＝90°

，AC＝BC，CF⊥AB，

∴FC＝BF，

又∵CE⊥BD，

∴∠GCH＝∠GBF，

∴△FCE≌△FBG（ASA），

∴GF＝EF，

∵∠ABD＝∠CBD，BH＝BH，∠BHC＝∠BHE，

∴△BHC≌△BHE（ASA），

∴BC＝BE，

设GF＝x，则EF＝x，BF＝CF＝x＋1，

∴BC＝EF＋BF＝2x＋1，

∵CF2＋BF2＝BC2，

∴2（x＋1）2＝（2x＋1）2，解得x1＝，x2＝－（舍去）．

∴BC＝2x＋1＝＋1，

∴AB＝BC＝2＋.

第3题解图

（2）如解图，延长HF至点M，使HM＝AH，连接AM.

∵∠AHF＝90°

∴∠HAM＝∠HMA＝45°

，AM＝AH.

∵CE⊥BD，CF⊥AB，∠CGH＝∠BGF，

∴∠CHG＝∠BFG，

∴△CHG∽△BFG，

∴＝，

∵∠CGB＝∠FGH，

∴△GBC∽△GFH，

∴∠GHF＝∠GCB＝∠45°

∴∠GHF＝∠FMA.

∵AC＝BC，CF⊥AB，∴AF＝BF，

∵∠HFB＝∠AFM，

∴△HFB≌△MFA（AAS），

∴BH＝AM，∴BH＝AH.

4.解：

（1）∵△ACD为等边三角形，

∴∠CAD＝∠ACD＝60°

∵AF、CG分别平分∠CAD、∠ACD，

∴∠CAF＝∠CAD＝×

60°

＝30°

，∠ACG＝∠DCG＝×

，且AF⊥CD，CD＝2CF，

∴∠CAO＝∠ACO＝30°

∴AO＝CO＝2.在Rt△OCF中，

∵∠DCG＝30°

∴OF＝OC＝×

2＝1，

∴CF＝＝＝，

∴AF＝AO＋OF＝2＋1＝3，CD＝2×

＝2，

∴S四边形ABCD＝CD·

AF＝2×

3＝6；

（2）如解图，延长OF到H，使FH＝OF，连接HD，

∴OH＝OF＋FH＝2OF.

第4题解图

∵△ACD为等腰直角三角形，AF平分∠CAD，

∴CF＝DF，AF⊥CD，

又∵∠CFO＝∠DFH，

∴△CFO≌△DFH（SAS），

∴∠OCF＝∠HDF，

∴CG∥HD，

∴∠AOG＝∠H，∠AGO＝∠ADH.

在Rt△OCF中，∠OCF＋∠COF＝90°

，在Rt△ACG中，∠ACG＋∠AGC＝90°

∵CG平分∠ACD，

∴∠ACG＝∠FCG，

∴∠COF＝∠AGC，

∴∠AOG＝∠AGC，

∴AO＝AG，∠H＝∠ADH，

∴AH＝AD，

∴AH－AO＝AD－AG，即OH＝GD，

∴2OF＝GD.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠BAC＝∠ACD.

∵∠BAE＝∠DCG，

∴∠BAC－∠BAE＝∠ACD－∠DCG，即∠EAC＝∠ACG，

∴AE∥CG，

∴四边形AECG为平行四边形，

∴EC＝AG.

在Rt△ACD中，AC＝AD，

∵AG＋GD＝AD，

∴CE＋2OF＝AC.

5.解：

（1）∵AC＝CD＝2，

∴DB＝DE＝4.

如解图①，过A点作AH⊥DE，垂足为H，则四边形AHDC是边长为2的正方形，

∴AH＝2，HE＝2＋4＝6，

在Rt△AHE中，AE2＝AH2＋HE2＝22＋62＝40，

在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝22＋22＝8，

在Rt△BDE中，BE2＝BD2＋DE2＝42＋42＝32，

∴AB2＋BE2＝AE2，

∴∠ABE＝90°

∵BF是斜边中线，

∴BF＝AE＝.

第5题解图①

（2）如解图②，延长DF至M，使MF＝DF，连接AM，CM.

第5题解图②

∵F是AE中点，

∴AF＝EF，

∵∠AFM＝∠DFE，

∴△AMF≌△EDF（SAS），

∴AM＝DE＝BD，∠MAF＝∠DEF.

又∵∠BCE＝∠BDE＝90°

，

∴∠CBD＝∠DEF，

∴∠MAC＝∠CBD，

∵AC＝BC,AM＝BD，

∴△MAC≌△DBC（SAS），

∴CM＝CD，∠ACM＝∠BCD，

∴∠MCD＝∠ACB＝90°

∴△DCM是等腰直角三角形，

又∵DF＝FM，

∴CF⊥DM，∴DF＝CF，

∴DC2＝2DF2，∴DC＝DF.

6.证明：

（1）∵D是BC中点，

∴BD＝CD.

∵CF⊥AE，

∴∠CFA＝∠CFD＝90°

∵∠AEB＝90°

∴∠AEB＝∠CFD.

在△BDE和△CDF中，

∵∠E＝∠CFD，∠EDB＝∠FDC，BD＝CD，

∴△BDE≌CDF（AAS）．∴CF＝BE.

，∠BAE＝30°

，AB＝2，

∴BE＝1，∴CF＝1.

∵∠CFA＝90°

∴AC＝CF＝.

第6题解图

（2）如解图，∵BC平分∠ABE，∴∠1＝∠2.

∵∠CFE＝∠BEF＝90°

，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.

在△ABD和△GCD中，

∵∠4＝∠G，GD＝AD，∠1＝∠3，

∴△ABD≌△GCD（AAS）．

延长FD交BE于点H.在△BDH和△CDF中，

∵∠2＝∠3，BD＝CD，∠HDB＝∠FDC，

∴△BDH≌△CDF（ASA），

∴DH＝DF，∴DF＝HF.

∵∠HEF＝90°

∴DE＝HF＝DF.

即DE＝DF.