普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国1卷试题与答案Word格式.docx
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D.12
5.设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数,则曲线yf(x)在点(0,0)处的
切线方程为
A.y2xB.yxC.y2x
D.yx
6.在△ABC中,AD为BC边上的中线,
E为AD的中点,则EB
A.
3
AB
1AC
B.
1AB
3AC
3AB
4
D.
7
.某圆柱的高为
,底面周长为
16
M在正视图上的对应
,其三视图如图.圆柱表面上的点
点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为
B,则在此圆柱侧面上,从
M到N
的路径中,最短路径的长度为
A.217B.25C.3
8.设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为2的直线与C交于M,N两点,
则FMFN=
A.5B.6C.7
D.8
ex,x
0,
2个零点,则
a的
9.已知函数f(x)
g(x)f(x)xa.若g(x)存在
lnx,x
取值范围是
A.[–1,0)
B.[0,+∞)
C.[–1,+∞)
D.[1,+∞)
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.
此图由三个半圆构成,
三个半圆
的直径分别为直角三角形
ABC
的斜边
BC,直角边
AB,AC.△ABC的三边所围成的
区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自
Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则
A.p1=p2
B.p1=p3
C.p2=p3
D.p1=p2+p3
11.已知双曲线C:
x2
y2
1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条
渐近线的交点分别为
M、N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=
A.3
B.3
C.23
D.4
12.已知正方体的棱长为
1,每条棱所在直线与平面
α所成的角都相等,则
α截此正方体所
得截面面积的最大值为
A.33
B.23
C.32
二、填空题:
本题共
4小题,每小题
5分,共
20分。
x
2y
13.若x,y满足约束条件
y
0,则z3x
2y的最大值为_____________.
S
an
的前
n
项和.若
2a
,则
_____________.
14.记n为数列
6
15.从2位女生,4位男生中选
3人参加科技比赛,且至少有
1位女生入选,则不同的选法
共有_____________种.(用数字填写答案)
16.已知函数fx2sinxsin2x,则f
x的最小值是_____________.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
60分。
17.(12分)
在平面四边形ABCD中,ADC90,A45,AB2,BD5.
(1)求cosADB;
(2)若DC22,求BC.
18.(12分)
如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC
折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.
(1)证明:
平面PEF平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19.(12分)
设椭圆C:
1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标
为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线
AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:
OMAOMB.
20.(12分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,
如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再
根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为
p(0p1),且各件产品是否为不合格品相互独立.学科&
网
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以
(1)中确定的p0作为p
的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件
不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,
求EX;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
21.(12分)
已知函数f(x)
xalnx.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点
x1,x2
fx1
fx2
a2
.
,证明:
x2
x1
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程
](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为yk|x|
2.以坐标原点为极点,
x轴正半轴
为极轴建立极坐标系,曲线C2
的极坐标方程为
2cos30.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知f(x)|x1||ax1|.
(1)当a1时,求不等式f(x)1的解集;
(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.
参考答案:
123456789101112
CBABDABDCABA
13.6
14.
63
15.16
16.
17.(12分)
BD
解:
(1)在△ABD中,由正弦定理得
Asin
.
sin
ADB
5
由题设知,
,所以sin
sin45
sinADB
由题设知,ADB
90,所以cosADB
23
25
(2)由题设及
(1)知,cosBDCsinADB.
在△BCD中,由余弦定理得
BC2
BD2
DC2
2BDDCcosBDC
8
25.
所以BC5.
18.(12分)
(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF,垂足为H.由
(1)得,PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直
角坐标系H-xyz.
由
(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=
3.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.
可得PH
EH
则H(0,0,0),
P(0,0,
3),D(
1,3,0),DP
(1,3,
3),HP
(0,0,
3)为平面
ABFD的法向量.
HPDP
设DP与平面ABFD所成角为
,则sin|
|
|HP||DP|
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
19.(12分)
(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.
由已知可得,点
A的坐标为(1,2)或(1,
2).
所以AM的方程为y
2x
2或y
2.
(2)当l与x轴重合时,
OMA
OMB
0.
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以
OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为yk(x
1)(k
0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1
2,x2
,直线MA,MB的斜率之和为
y1
kMAkMB
x22
x12
由y1
kx1k,y2
kx2
k得
kMA
2kx1x2
3k(x1
x2)
4k
kMB
(x1
2)(x2
2)
将y
k(x1)代入x2
1得
(2k21)x2
4k2x2k2
20.
所以,x1
4k2
x1x2
2k2
2k2
则2kx1x2
4k3
12k3
8k3
从而kMA
0,故MA,MB的倾斜角互补,所以
综上,
20.(12分)
(1)20件产品中恰有
2件不合格品的概率为
f(p)
C202p2(1
p)18.因此
f(p)C202
[2p(1
p)18
18p2(1
p)17]
2C202p(1
p)17(1
10p).
令f
(p)
,得p
0.1
.当p
(0,0.1)
时,f
;
当p
(0.1,1)
时,f(p)
所以f(p)的最大值点为p0
0.1.
(2)由
(1)知,p
(i)令Y表示余下的
180件产品中的不合格品件数,依题意知
Y:
B(180,0.1)
,
X
20
25Y,即X
4025Y.
所以EX
E(40
25Y)
40
25EY
490
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为
400元.
由于EX
400,故应该对余下的产品作检验.
21.(12分)
解:
(1)f(x)的定义域为(0,
),f(x)
a
ax
1.
(i)若a
,则f
(x)
0,当且仅当a
2,x
时f(x)
0,所以f(x)在(0,
)
单调递减.
(ii)若a
2,令f(x)
0得,x
a2
或x
当x
(0,
)时,f(x)
0;
)U(
当x(a
4,a
4)
时,
f(x)
所以
f(x)
在
(0,a
4),(a
4,
)单调递减,在(a
4)单调递
增.
(2)由
(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当
由于f(x)的两个极值点
x1,x2满足x2
0,所以x1x2
1,不妨设x1
x2,则
x21.由于
f(x1)
f(x2)
lnx1
lnx2
2lnx2
x1x2
1a
2a
2a1
所以f(x1)
f(x2)
2等价于1
设函数g(x)
2lnx,由
(1)知,g(x)在(0,
)单调递减,又g
(1)
,从
而当x
(1,
)时,g(x)
所以1
,即f(x1)
22.[选修4—
4:
](10
分)
(1
)由x
cos
,y
得C2的直角坐标方程为
(x
1)2
4.
()由()知C2是圆心为
A(
1,0),半径为
2的圆.学
&
科网
由题设知,C1是过点B(0,2)
且关于y轴对称的两条射线.
记y轴右边的射线为
l1,y
轴左边的射线为
l2.由于B在圆C2
的外面,故
C1与C2有且仅有三个公共点等价于
l1与
C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或
l2与C2只有一个公共点且
l1与C2有两
个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,
A到l1所在直线的距离为
2,所以
k
2|
k2
2,故
4或k
0.
4时,l1与C2只有一个公共点,
经检C2验,当k
0时,l1与C2没有公共点;
当k
l2与有两个公共点.
当l2
与C2只有一个公共点时,A到l2
所在直线的距离为
|k
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