值问题解题思路奥数.docx
- 文档编号:1658915
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:24.09KB
值问题解题思路奥数.docx
《值问题解题思路奥数.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《值问题解题思路奥数.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
值问题解题思路奥数
值问题解题思路奥数
————————————————————————————————作者:
————————————————————————————————日期:
马到成功奥数专题:
离散最值
引言:
在国内外数学竞赛中,常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题,我们称之为离散最值问题。
解决这类非常规问题,尚无统一的方法,对不同的题目要用不同的策略和方法,就具体的题目而言,大致可从以下几个方面着手:
1.着眼于极端情形;
2.分析推理——确定最值;
3.枚举比较——确定最值;
4.估计并构造。
离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中,学好它可为解决数论,计数,应用问题等打下扎实的基础。
一、 从极端情形入手
从极端情形入手,着眼于极端情形,是求解最值问题的有效手段。
题目1. 一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个,这些小球的大小均相同,红色小球上标有数字“4”,黄色小球上标有数字“5”,绿色小球上标有数字“6”。
小明从袋中摸出8个球,它们的数字和是39,其中最多可能有多少个球是红色的?
解:
假设摸出的8个球全是红球,则数字之和为(4×8=)32,与实际的和39相差7,这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。
用一个绿球换一个红球,数字和可增加(6-4=)2,用一个黄球换一个红球,数字和可增加(5-4=)1。
为了使红球尽可能地多,应该多用绿球换红球,现在7÷2=3……1,因此可用3个绿球换红球,再用一个黄球换红球,这样8个球的数字之和正好等于39。
所以要使8个球的数字之和为39,其中最多可能有(8-3-1=)4个是红球。
题目2. 有13个不同正整数,它们的和是100。
问其中偶数最多有多少个?
最少有多少个?
解:
①2+4+6+8+10+12+14+16=72 还要有5个奇数,但和是奇数,100是偶数,所以只能少一个偶数,2+4+6+8+10+12+14=56 100-56=42 42=1+3+5+7+9+17,最多有7个偶数。
②1+3+5+7+9+11+13+15=64 还要5个偶数,100-64=36 36=2+4+6+8+16最少有5个偶数。
题目3. 一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。
为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量,如果只允许在天平的一端放砝码,那么最少需要准备砝码多少个。
解:
要能称出1克到91克的任意一种整数克重量,要有9个9克、1个5克、1个3克、2个1克,它们的和是91,这样即可。
需要9+1+1+2=13个。
题目4. 一台计算器大部分按键失灵,只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用,因此可以输入77,707这样只含数字7和0的数,并且进行加法运算。
为了显示出222222,最少要按“7”键多少次?
222222-70000*3=12222 按下了3个7 12222-7000*1=5222 按下了1个7
5222-700*7=322 按下了7个7 322-70*4=42 按下了4个7 42-7*6=0 按下了6个7。
3+1+7+4+6=21次
二、枚举法与逐步调整
当我们在有限数中求最大(或最小)值时,枚举法是常用基本方法之一。
这种方法的大意是:
将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值;或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论。
题目5. 将6,7,8,9,10按任意次序写在一个圆周上,每相邻两数相乘,并将所得得5个乘积相加,那么所得和数的最小值是多少?
解:
要使乘积最小,就要每个数尽可能小。
对于10,旁边添6和7,这样积小一些。
于是有两种添法:
----------------------------------------------
题目6. 某公共汽车从起点开往终点站,中途共有13个停车站。
如果这辆公共汽车从起点站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站,那么为了使每位乘客都有座位,这辆公共汽车至少应有多少个座位?
解法1:
只需求车上最多有多少人。
依题意列表如下:
由上表可见,车上最多有56人,这就是说至少应有56个座位。
说明:
本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的,座位最少有多少,取决于什么时候车上人数最多,要保证乘客中每人都有座位,应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。
所以,我们不能只看表面现象,误认为有了“至少”就是求最小数,而应该把题意分析清楚后再作判断。
解法2:
因为车从某一站开出时,以前各站都有同样多的人数到以后各站(每站1人),这一人数也和本站上车的人数一样多,因此
车开出时人数=(以前的站数+1)×以后站数
=站号×(15-站号)。
因此只要比较下列数的大小:
1×14,2×13,3×12,4×11,5×10,
6×9,7×8,8×7,9×6,10×5,
11×4,12×3,13×2,14×1。
由这些数,得知7×8和8×7是最大值,也就是车上乘客最多时的人数是56人,所以它应有56个座位。
说明:
此题的两种解法都是采用的枚举法,枚举法是求解离散最值问题的基本方法。
这种方法的大意是:
将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值;或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论。
题目7.
在如图18-2所示得2*8方格表中,第一行得8个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8。
如果再把1、2、3、4、5、6、7、8按适当得顺序分别填入第二行的8个方格内,使得每列两数的8个差数两两不同,那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少?
解:
这8个差分别是0,1,2,3,4,5,6,7,和为28,分成两组,每组14。
8和7必然填在1,2两个方格内。
前两列的差是7和5,第3个如果填6,那么7+5+3超过14,所以只能填5,此时3个差为7、5、2,和为14,第4个格子只能填4,填6就会有重复。
数字6只能填在第7格,再凑一凑即可得出87541362。
三、从简单情形入手
解决复杂问题可以从简单问题入手,经过分析得出规律,也就找到了解决复杂问题的方法。
题目8. 从1234567891011…99100中划去100个数字,其他数字顺序不变,求剩下数中的最大数和与最大数位数相同的最小数。
分析与解 将此题简化为从12345678910中划去9个数字.利用枚举法不难得出剩下的两位数最大数为91,最小数为10,也就是在求最大数时,高位上的数字尽可能取大数字;求最小数时,高位上尽可能取小数字。
本题中从12345678910中划去10个数字剩下9;从111213…484950中划去76个数字剩下4个9;再从51525354555657585960中划去14个数字剩下尽可能大的数是785960,从而得到所求的最大数9999978596061…99100。
求最小值时,从12345678910中划去9个数字剩下10,从11121314…484950中划去76个数字剩下4个0,再从51525354555657585960中划去15个数字剩下尽可能小的数12340,从而得到所求最小数100000123406162…99100。
题目9. 将1,2,3,…,49,50任意分成10组,每组5个数。
在每一组中,数值居中的那个数称为“中位数”。
求这10个中位数之和的最大值与最小值。
解:
{1,2,3,49,50}{4,5,6,47,48}……{28,29,30,31,32}
3+6+……+30=165(最小值)
{1,2,48,49,50}{3,4,45,46,47}……{19,20,21,22,23}
48+45+……+21=345(最大值)
四、和一定问题
1+9=10→1×9=9
2+8=10→2×8=16
3+7=10→3×7=21
4+6=10→4×6=24
5+5=10→5×5=25
例如,和为10的两个自然数,它们的积的最大值是什么?
我们知道和为10的自然数共有5对,每对自然数乘积后又得到5个不同的数,如下表:
由此我们得到,当这两个自然数都取5时积有最大值25。
成立。
也就是和一定时差最小乘积越大。
题目10.
有3条线段a,b,c,线段a长2.12米,线段b场2.71米,线段c长3.53米。
如图18-1,以它们作为上底、下底和高,可以作出3个相同的梯形。
问第几号梯形的面积最大?
解:
由于梯形体积=(上底+下底)*高/2 在和一定的情况下,要使乘积最大,让两个数越接近。
可见a+b与c十分接近,所以③的面积最大。
题目11. 如果将进货单价为40元的商品按50元售出,那么每个的利润是10元,但只能卖出500个。
当这种商品每个涨价1元时,其销售量就减少10个。
为了赚得最多的利润,售价应定为多少?
解:
设每个商品售价为(50+x)元,则销量为(500-10X)个。
总共可以获利
(50+x-40)×(500-10x)
=10×(10+X)×(50-X)(元)。
因(10+x)+(50-x)=60为一定值,故当10+X=50-X即X=20时,它们的积最大。
此时,每个的销售价为50+20=70(元)
题目12. 用3,4,5,6,7,8六个数字排成三个两位数相乘,要求它们的乘积最大。
应该怎样排列?
【分析与解】十位数字分别是8、7、6,8>7>6,个位数字分别是5,4,3,5>4>3,依据“接近原则”,大小搭配可得83×74×65,三个数最接近因而它们的乘积最大。
综上数例,可以归纳出这样的规律:
较大数后配较小的数,较小的数后配较大的数,这样才能使数之间更为接近,从而保证乘积最大。
简单地说就是:
数越接近,乘积越大。
综上数例,可以归纳出这样的规律:
较大数后配较小的数,较小的数后配较大的数,这样才能使数之间更为接近,从而保证乘积最大。
简单地说就是:
数越接近,乘积越大。
五、积一定的问题
两个变化着的量,如果在变化的过程中,它们的乘积始终保持不变,那么它们的差与和之间有什么关系呢?
观察下面的表:
我们不难得出如下的规律:
两个变化着的量,如果在变化的过程中,乘积始终保持不变,那么它们的差越小,和就越小。
若它们能够相等,则当它们相等时,和最小。
题目13. 长方形的面积为144cm2,当它的长和宽分别为多少时,它的周长最短?
解:
设长方形的长和宽分别为xcm和ycm,则有
xy=144。
故当x=y=12时,x+y有最小值,从而长方形周长2(x+y)也有最小值。
题目14. 农场计划挖一个面积为432m2的长方形养鱼池,鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示,要想占地总面积最小,水池的长和宽应为多少?
解:
如图所示,设水池的长和宽分别为xm和ym,则有
xy=432。
占地总面积为S=(x+6)(y+8)cm2。
于是
S=Xy+6y+8X+48=6y+8X+480。
我们知道6y×8X=48×432为一定值,故当6y=8X时,S最小,此时有6y=8X=144,故y=24,x=18。
六、从整体入手
从整体抓住数据的本质特征进行分析,较易突破难点。
题目15. 在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式。
要求:
(1)算式的结果等于37;
(2)这个算式中的所有减数(前面添了减号的数)的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 问题 解题 思路