K12学习XX中考数学几何综合题专题复习学案Word下载.docx

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　　试证明:

PQ的中点在△ABc的一条中位线上.

　　【小结】此类题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.

　　类型二　以四边形为背景的综合题

　　典例2　如图,正六边形ABcDEF的边长为a,P是Bc边上一动点,过P作P∥AB交AF于,作PN∥cD交DE于点N.

　　①∠PN=

　　;

　　②求证:

P+PN=3a;

　　如图,点o是AD的中点,连接o,oN,求证:

o=oN;

　　如图,点o是AD的中点,oG平分∠oN,判断四边形oGN是否为特殊四边形?

并说明理由.【全解】①∵四边形ABcDEF是正六边形,

　　∴∠A=∠B=∠c=∠D=∠E=∠F=120°

　　∵P∥AB,PN∥cD,

　　∴∠BP=60°

∠NPc=60°

　　∴∠PN=180°

-∠BP-∠NPc

　　=180°

-60°

=60°

　　故答案为60°

　　②如图,作AG⊥P交P于点G,BH⊥P于点H,cL⊥PN于点L,D⊥PN于点,如图,连接oE.∵四边形ABcDEF是正六边形,AB∥P,PN∥Dc,

　　∴A=BP=EN.

　　又∠Ao=∠NoE=60°

oA=oE,

　　在△oNE和△oA中,

　　∴△oA≌△oNE.

　　∴o=oN.

　　如图,连接oE.由得,△oA≌△oNE,

　　∴∠oA=∠EoN.

　　∵EF∥Ao,AF∥oE,

　　∴四边形AoEF是平行四边形.

　　∴∠AFE=∠AoE=120°

　　∴∠oN=120°

　　∴∠GoN=60°

　　∵∠GoN=60°

-∠EoN,∠DoN=60°

-∠EoN,

　　∴∠GoE=∠DoN.

　　∵oD=oE,∠oDN=∠oEG,

　　在△GoE和∠DoN中,

　　∴△GoE≌△NoD.

　　∴oN=oG.

　　又∠GoN=60°

　　∴△oNG是等边三角形.

　　∴oN=NG.

　　∵o=oN,∠oG=60°

　　∴△oG是等边三角形.

　　∴G=Go=o.

　　∴o=oN=NG=G.

　　∴四边形oNG是菱形.

　　【技法梳理】①运用∠PN=180°

-∠BP-∠NPc求解,②作AG⊥P交P于点G,BH⊥P于点H,cL⊥PN于点L,D⊥PN于点,利用P+PN=G+GH+HP+PL+L+N求解;

　　连接oE,由△oA≌△oNE证明;

　　连接oE,由△oA≌△oNE,再证出△GoE≌△NoD,由△oNG是等边三角形和△oG是等边三角形求出四边形oNG是菱形.

　　在正方形ABcD中,动点E,F分别从D,c两点同时出发,以相同的速度在直线Dc,cB上移动.

　　如图,当点E自D向c,点F自c向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由.

　　如图,当E,F分别移动到边Dc,cB的延长线上时,连接AE和DF,中的结论还成立吗?

　　如图,当E,F分别在边cD,Bc的延长线上移动时,连接AE,DF,中的结论还成立吗?

请说明理由.

　　如图,当E,F分别在边Dc,cB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段cP的最小值.

　　【小结】主要考查了四边形的综合题,解题的关键是恰当的作出辅助线,根据三角形全等找出相等的线段.

　　类型三　以圆为背景的综合题

　　典例3　如图,已知l1⊥l2,☉o与l1,l2都相切,☉o的半径为2c,矩形ABcD的边AD,AB分别与l1,l2重合,AB=4c,AD=4c,若☉o与矩形ABcD沿l1同时向右移动,☉o的移动速度为3c,矩形ABcD的移动速度为4c/s,设移动时间为t,

　　如图,连接oA,Ac,则∠oAc的度数为

　　°

;

　　如图,两个图形移动一段时间后,☉o到达☉o1的位置,矩形ABcD到达A1B1c1D1的位置,此时点o1,A1,c1恰好在同一直线上,求圆心o移动的距离;

　　在移动过程中,圆心o到矩形对角线Ac所在直线的距离在不断变化,设该距离为d,当d<

2时,求t的取值范围.

　　【全解】

　　∵l1⊥l2,☉o与l1,l2都相切,

　　∴∠oAD=45°

　　∵AB=4c,AD=4c,

　　∴cD=4c,AD=4c.

　　∴∠DAc=60°

　　∴∠oAc的度数为∠oAD+∠DAc=105°

　　如图位置二,当o1,A1,c1恰好在同一直线上时,设☉o1与l1的切点为点E,

　　连接o1E,可得o1E=2,o1E⊥l1,

　　在Rt△A1D1c1中,

　　∵A1D1=4,c1D1=4,

　　∴tan∠c1A1D1=.

　　∴∠c1A1D1=60°

　　∴oo1=3t=2+6.

　　①当直线Ac与☉o次相切时,设移动时间为t1,

　　如图,此时☉o移动到☉o2的位置,矩形ABcD移动到A2B2c2D2的位置,

　　设☉o2与直线l1,A2c2分别相切于点F,G,连接o2F,o2G,o2A2,

　　∴o2F⊥l1,o2G⊥A2G2.

　　由得,∠c2A2D2=60°

　　∴∠GA2F=120°

　　∴∠o2A2F=60°

　　在Rt△A2o2F中,o2F=2,

　　②当直线Ac与☉o第二次相切时,设移动时间为t2,

　　记次相切时为位置一,点o1,A1,c1共线时为位置二,第二次相切时为位置三,

　　由题意知,从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等,

　　【提醒】本题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识,利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键.

　　【技法梳理】利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠oAD=45°

∠DAc=60°

进而得出答案;

　　首先得出,∠c1A1D1=60°

再利用A1E=AA1-oo1-2=t-2,求出t的值,进而得出oo1=3t得出答案即可;

　　①当直线Ac与☉o次相切时,设移动时间为t1,②当直线Ac与☉o第二次相切时,设移动时间为t2,分别求出即可.

　　木匠黄师傅用长AB=3,宽Bc=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设计了四种方案:

　　方案一:

直接锯一个半径最大的圆;

　　方案二:

圆心o1,o2分别在cD,AB上,半径分别是o1c,o2A,锯两个外切的半圆拼成一个圆;

　　方案三:

沿对角线Ac将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆;

　　方案四:

锯一块小矩形BcEF拼到矩形AFED下面,利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.

　　写出方案一中圆的半径.

　　通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大?

　　在方案四中,设cE=x,圆的半径为y.

　　①求y关于x的函数表达式;

　　②当x取何值时圆的半径最大,最大半径为多少?

并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大.

　　【小结】本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容,题目虽看似新颖不易找到思路,但仔细观察每一小问都是常规的基础考点,所以总体来说是一道质量很高的题目,值得认真练习.类型一　

　　如图,点c在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠cBA=30°

点D在线段AB上运动,点E与点D关于Ac对称,DF⊥DE于点D,并交Ec的延长线于点F.下列结论:

　　①cE=cF;

　　②线段EF的最小值为2;

　　③当AD=2时,EF与半圆相切;

　　④若点F恰好落在上,则AD=2;

　　⑤当点D从点A运动到点B时,线段EF扫过的面积是16.

　　其中正确结论的序号是

　　类型二　

　　如图,在正方形ABcD中,点E在边AD上,点F在边Bc的延长线上,连接EF与边cD相交于点G,连接BE与对角线Ac相交于点H,AE=cF,BE=EG.

EF∥Ac;

　　求∠BEF大小;

　　4.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为,.动点P从点o出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点c从B出发,沿射线Bo方向以每秒2个单位的速度运动,以cP,co为邻边构造▱PcoD,在线段oP延长线上取点E,使PE=Ao,设点P运动的时间为t秒.

　　当点c运动到线段oB的中点时,求t的值及点E的坐标.

　　当点c在线段oB上时,求证:

四边形ADEc为平行四边形.

　　在线段PE上取点F,使PF=1,过点F作N⊥PE,截取F=2,FN=1,且点,N分别在一,四象限,在运动过程中▱PcoD的面积为S.

　　①当点,N中有一点落在四边形ADEc的边上时,求出所有满足条件的t的值;

　　②若点,N中恰好只有一个点落在四边形ADEc的内部时,直接写出S的取值范围.类型三　

　　如图,E是长方形ABcD的边AB上的点,EF⊥DE交Bc于点F.

△ADE∽△BEF;

　　设H是ED上一点,以EH为直径作☉o,DF与☉o相切于点G,若DH=oH=3,求图中阴影部分的面积.

　　如图,已知等腰梯形ABcD的周长为48,面积为S,AB∥cD,∠ADc=60°

设AB=3x.

　　用x表示AD和cD;

　　用x表示S,并求S的最大值;

　　如图,当S取最大值时,等腰梯形ABcD的四个顶点都在☉o上,点E和点F分别是AB和cD的中点,求☉o的半径R的值.参考答案

　　【真题精讲】

　　如图,过P作P⊥Bc于点,AQ,cP交于点N,则有PB=5t,P=3t,c=8-4t,

　　）

　　∵∠NAc+∠NcA=90°

∠Pc+∠NcA=90°

　　∴∠NAc=∠Pc且∠AcQ=∠Pc=90°

　　∴△AcQ∽△cP.

　　如图,仍有P⊥Bc于点,PQ的中点设为点D,再作PE⊥Ac于点E,DF⊥Ac于点F,

　　∵∠AcB=90°

　　∴DF为梯形PEcQ的中位线.

　　∵Bc=8,过Bc的中点R作直线平行于Ac,

　　∴Rc=DF=4成立.

　　∴D在过R的中位线上.

　　∴PQ的中点在△ABc的一条中位线上.

　　AE=DF,AE⊥DF.理由:

　　∵四边形ABcD是正方形,

　　∴AD=Dc,∠ADc=∠c=90°

　　∵DE=cF,

　　∴△ADE≌△DcF.

　　∴AE=DF,∠DAE=∠cDF.

　　由于∠cDF+∠ADF=90°

　　∴∠DAE+∠ADF=90°

　　∴AE⊥DF;

　　是.

　　成立.理由如下:

　　由同理可证AE=DF,∠DAE=∠cDF,

　　如图,延长FD交AE于点G,

　　则∠cDF+∠ADG=90°

　　∴∠ADG+∠DAE=90°

　　如图:

　　由于点P在运动中保持∠APD=90°

　　∴点P的路径是一段以AD为直径的弧,

　　设AD的中点为o,连接oc交弧于点P,此时cP的长度最小,

　　在Rt△oDc中,oc===,

　　∴cP=oc-oP=-1.

　　方案一中的最大半径为1.

　　分析如下:

　　因为长方形的长宽分别为3,2,那么直接取圆直径最大为2,则半径最大为1.

　　如图,方案二中连接o1,o2,过o1作o1E⊥AB于E,方案三中,过点o分别作AB,BF的垂线,交于,N,此时,N恰为☉o与AB,BF的切点.

　　方案二

　　方案三

设半径为r.

　　在Rt△o1o2E中,

　　∵o1o2=2r,o1E=Bc=2,o2E=AB-Ao1-co2=3-2r,

　　∴2=22+2,

　　比较知,方案三半径较大.

　　①∵Ec=x,

　　∴新拼图形水平方向跨度为3-x,竖直方向跨度为2+x.

　　类似题,所截出圆的直径最大为3-x或2+x较小的.

　　∴方案四时可取的圆桌面积最大.

　　【课后精练】

　　①②③④　解析:

①∵AB=Ac,

　　∴∠B=∠c.

　　∵∠ADE=∠B,

　　∴∠ADE=∠c.

　　∴△ADE∽△AcD.

　　故①结论正确.

　　故③正确.

　　④易证得△cDE∽△BAD,由②可知Bc=16,

　　设BD=y,cE=x,

　　整理,得y2-16y+64=64-10x,

　　即2=64-10x,

　　∴0<

y<

8,0<

x<

6.4.故④正确.

　　①③⑤　解析:

①连接cD,如图所示.

　　∵点E与点D关于Ac对称,

　　∴cE=cD.

　　∴∠E=∠cDE.

　　∵DF⊥DE,

　　∴∠EDF=90°

　　∴∠E+∠F=90°

∠cDE+∠cDF=90°

　　∴∠F=∠cDF.

　　∴cD=cF.

　　∴cE=cD=cF.

　　∴结论“cE=cF”正确.

　　②当cD⊥AB时,如图所示.

　　∵AB是半圆的直径,

　　∴∠AcB=90°

　　∵AB=8,∠cBA=30°

　　∴∠cAB=60°

Ac=4,Bc=4.

　　∵cD⊥AB,∠cBA=30°

　　根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:

　　点D在线段AB上运动时,cD的最小值为2.

　　∵cE=cD=cF,

　　∴EF=2cD.

　　∴线段EF的最小值为4.

　　∴结论“线段EF的最小值为2”错误.

　　③当AD=2时,连接oc,如图所示.

　　∵oA=oc,∠cAB=60°

　　∴△oAc是等边三角形.

　　∴cA=co,∠Aco=60°

　　∵Ao=4,AD=2,

　　∴Do=2.

　　∴AD=Do.

　　∴∠AcD=∠ocD=30°

　　∴∠EcA=∠DcA.

　　∴∠EcA=30°

　　∴∠Eco=90°

　　∴oc⊥EF.

　　∵EF经过半径oc的外端,且oc⊥EF,

　　∴EF与半圆相切.

　　∴结论“EF与半圆相切”正确.

　　④当点F恰好落在上时,连接FB,AF,如图所示.

　　∴ED⊥Ac.

　　∴∠AGD=90°

　　∴∠AGD=∠AcB.

　　∴ED∥Bc.

　　∴△FHc∽△FDE.

　　∴DB=4.

　　∴AD=AB-DB=4.

　　∴结论“AD=2”错误.

　　⑤∵点D与点E关于Ac对称,

　　点D与点F关于Bc对称,

　　∴当点D从点A运动到点B时,

　　点E的运动路径A与AB关于Ac对称,

　　点F的运动路径NB与AB关于Bc对称.

　　∴EF扫过的图形就是图中阴影部分.

　　∴EF扫过的面积为16.

　　∴结论“EF扫过的面积为16”正确.

　　∴AD∥BF.

　　∵AE=cF,

　　∴四边形AcFE是平行四边形.

　　∴EF∥Ac.

　　连接BG,∵EF∥Ac,

　　∴∠F=∠AcB=45°

　　∵∠GcF=90°

　　∴∠cGF=∠F=45°

　　∴cG=cF.

　　∴AE=cG.

　　在△BAE与△BcG中,

　　∴△BAE≌△BcG.

　　∴BE=BG.

　　∵BE=EG,

　　∴△BEG是等边三角形.

　　∴∠BEF=60°

　　∵△BAE≌△BcG,

　　∴∠ABE=∠cBG.

　　∵∠BAc=∠F=45°

　　∴△AHB∽△FGB.如图,连接cD交oP于点G,

　　在▱PcoD中,cG=DG,oG=PG,

　　∵Ao=Po,

　　∴AG=EG.

　　∴四边形ADEc是平行四边形.

　　①当点c在Bo上时,

　　种情况:

如图,当点在cE边上时,

　　∵F∥oc,

　　∴△EF∽△Eco.

　　∴t=1.

　　第二种情况:

如图,当点N在DE边

　　∵NF∥PD,

　　∴△EFN∽△EPD.

　　当点c在Bo的延长线上时,

如图,当点在DE边上时,

　　∵F∥PD,

　　∴EF∽△EDP.

如图,当点N在cE边上时,

　　∵NF∥oc,

　　∴△EFN∽△Eoc.

　　∵四边形ABcD是矩形,

　　∴∠A=∠B=90°

　　∵EF⊥DE,

　　∴∠DEF=90°

　　∴∠AED=90°

-∠BEF=∠EFB.

　　∵∠A=∠B,∠AED=∠EFB,

　　∴△ADE∽△BEF.

　　∵DF与☉o相切于点G,

　　∴oG⊥DG.

　　∴∠DGo=90°

　　∵DH=oH=oG,

　　∴

　　∴图中阴影部分的面积约为6.2.

　　作AH⊥cD于点H,BG⊥cD于点G,如图,

　　则四边形AHGB为矩形,

　　∴HG=AB=3x.

　　∵四边形ABcD为等腰梯形,

　　∴AD=Bc,DH=cG.

　　在Rt△ADH中,设DH=t,

　　∵∠ADc=60°

　　∴∠DAH=30°

　　∴AD=2t,AH=t.

　　∴Bc=2t,cG=t.

　　∵等腰梯形ABcD的周长为48,

　　∴3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8-x.

　　∴AD=2=16-2x,

　　cD=8-x+3x+8-x=16+x.

　　连接oA,oD,如图,

　　当x=2时,AB=6,cD=16+2=18,等腰梯形的高为=6,

　　则AE=3,DF=9,

　　∵点E和点F分别是AB和cD的中点,

　　∴直线EF为等腰梯形ABcD的对称轴.

　　∴EF垂直平分AB和cD,EF为等腰梯形ABcD的高,即EF=6.

　　∴等腰梯形ABcD的外接圆的圆心o在EF上.

　　设oE=a,则oF=6-a.

　　在Rt△AoE中,

　　∵oE2+AE2=oA2,

　　∴a2+32=R2.

　　在Rt△oDF中,

　　∵oF2+DF2=oD2,

　　∴2+92=R2.

　　∴a2+32=2+92,解得a=5.

　　∴R2=2+32=84.

　　∴R=2.