中考数学专题复习第二十三讲与圆有关的位置关系含详细参考答案Word文档下载推荐.docx
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到三角形各的距离相等,内心与每一个顶点的连接线平分
三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s,内切圆半径为r,则s=,若△ABC为直角三角形,则r=】
一、圆和圆的位置关系:
圆和圆的位置关系有种,若⊙O1半径为R,⊙O2半径为r,圆心距为d,则⊙O1与⊙O2外离<
⊙O1与⊙O2外切<
⊙O1与⊙O2相交<
⊙O1与⊙O2内切<
⊙O1与⊙O2内含<
两圆相离(无公共点)包含和两种情况,两圆相切(有唯一公共点)包含和两种情况,注意题目中两种情况的考虑,同心圆是两圆此时d=】
二、反证法:
假设命题的结论,由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立,这种证明命题的方法叫反证法
反证法证题的关键是提出即假设所证结论的反面成立,通过推理论证得出的矛盾可以与相矛盾,也可以与相矛盾,从而肯定原命题成立】
【典型例题解析】
考点一:
切线的性质
例1(2018•安徽)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与⊙O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE=°
.
【思路分析】连接OA,根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形,根据切线的性质求出∠AOD,同理计算即可.
【解答】解:
连接OA,
∵四边形ABOC是菱形,
∴BA=BO,
∵AB与⊙O相切于点D,
∴OD⊥AB,
∵点D是AB的中点,
∴直线OD是线段AB的垂直平分线,
∴OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴∠AOD=
∠AOB=30°
,
同理,∠AOE=30°
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°
故答案为:
60.
【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键
考点二:
切线的判定
例2(2018•怀化)已知:
如图,AB是⊙O的直径,AB=4,点F,C是⊙O上两点,连接AC,AF,OC,弦AC平分∠FAB,∠BOC=60°
,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D,垂足为点D.
(1)求扇形OBC的面积(结果保留);
(2)求证:
CD是⊙O的切线.
【思路分析】
(1)由扇形的面积公式即可求出答案.
(2)易证∠FAC=∠ACO,从而可知AD∥OC,由于CD⊥AF,所以CD⊥OC,所以CD是⊙O的切线.
(1)∵AB=4,
∴OB=2
∵∠COB=60°
∴
;
(2)∵AC平分∠FAB,
∴∠FAC=∠CAO,
∵AO=CO,
∴∠ACO=∠CAO
∴∠FAC=∠ACO
∴AD∥OC,
∵CD⊥AF,
∴CD⊥OC
∵C在圆上,
∴CD是⊙O的切线
【点评】本题考查圆的综合问题,解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方法,本题属于中等题型.
考点三:
直线与圆、圆与圆的位置关系
例3(2018•湘西州)已知⊙O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系为( )
A.相交B.相切
C.相离D.无法确定
【思路分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5,则直线和圆相切.
∵圆心到直线的距离5cm=5cm,
∴直线和圆相切.
故选:
B.
【点评】此题考查直线与圆的关系,能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系.若d<r,则直线与圆相交;
若d=r,则直线于圆相切;
若d>r,则直线与圆相离.
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2018•眉山)如图所示,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连结BC,若∠P=36°
,则∠B等于( )
A.27°
B.32°
C.36°
D.54°
2.(2018•福建)如图,AB是⊙O的直径,BC与⊙O相切于点B,AC交⊙O于点D,若∠ACB=50°
,则∠BOD等于( )
A.40°
B.50°
C.60°
D.80°
3.(2018•泰安)如图,BM与⊙O相切于点B,若∠MBA=140°
,则∠ACB的度数为( )
D.70°
4.(2018•常州)如图,AB是⊙O的直径,MN是⊙O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°
,则∠NOA的度数为( )
A.76°
B.56°
C.54°
D.52°
5.(2018•无锡)如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F,给出下列说法:
(1)AC与BD的交点是圆O的圆心;
(2)AF与DE的交点是圆O的圆心;
(3)BC与圆O相切,其中正确说法的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
6.(2018•内江)已知⊙O1的半径为3cm,⊙O2的半径为2cm,圆心距O1O2=4cm,则⊙O1与⊙O2的位置关系是( )
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
8.(2018•上海)如图,已知∠POQ=30°
,点A、B在射线OQ上(点A在点O、B之间),半径长为2的⊙A与直线OP相切,半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是( )
A.5<OB<9B.4<OB<9
C.3<OB<7D.2<OB<7
9.(2018•邵阳)如图所示,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠BCD=120°
,则∠BOD的大小是( )
A.80°
B.120°
C.100°
D.90°
10.(2018•泰安)如图,⊙M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是⊙M上的任意一点,PA⊥PB,且PA、PB与x轴分别交于A、B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为( )
A.3B.4
C.6D.8
二、填空题
11.(2018•连云港)如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°
,则∠OCB=.
12.(2018•宁波)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为.
13.(2018•台州)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A=32°
,则∠D=度.
14.(2018•长沙)如图,点A,B,D在⊙O上,∠A=20°
,BC是⊙O的切线,B为切点,OD的延长线交BC于点C,则∠OCB=度.
15.(2018•曲靖)如图:
四边形ABCD内接于⊙O,E为BC延长线上一点,若∠A=n°
,则∠DCE=°
三、解答题
16.(2018•邵阳)如图所示,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,过点B作BD⊥CD,垂足为点D,连结BC.BC平分∠ABD.
求证:
CD为⊙O的切线.
17.(2018•宜宾)如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,D为BC延长线一点,且BC=CD,CE⊥AD于点E.
(1)求证:
直线EC为圆O的切线;
(2)设BE与圆O交于点F,AF的延长线与CE交于点P,已知∠PCF=∠CBF,PC=5,PF=4,求sin∠PEF的值.
18.(2018•南充)如图,C是⊙O上一点,点P在直径AB的延长线上,⊙O的半径为3,PB=2,PC=4.
PC是⊙O的切线.
(2)求tan∠CAB的值.
19.(2018•郴州)已知BC是⊙O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是⊙O的弦,∠AEC=30°
直线AD是⊙O的切线;
(2)若AE⊥BC,垂足为M,⊙O的半径为4,求AE的长.
20.(2018•常德)如图,已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆,点D在圆上,在CD的延长线上有一点F,使DF=DA,AE∥BC交CF于E.
EA是⊙O的切线;
BD=CF.
21.(2018•天门)如图,在⊙O中,AB为直径,AC为弦.过BC延长线上一点G,作GD⊥AO于点D,交AC于点E,交⊙O于点F,M是GE的中点,连接CF,CM.
(1)判断CM与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠ECF=2∠A,CM=6,CF=4,求MF的长.
第二十三讲与圆有关的位置关系参考答案
1.【思路分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°
,再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°
,结合圆周角定理得出答案.
∵PA切⊙O于点A,
∴∠OAP=90°
∵∠P=36°
∴∠AOP=54°
∴∠B=27°
A.
【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理,正确得出∠AOP的度数是解题关键.
2.【思路分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°
,根据直角三角形的性质求出∠A,根据圆周角定理计算即可.
∵BC是⊙O的切线,
∴∠ABC=90°
∴∠A=90°
-∠ACB=40°
由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=80°
D.
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理,掌握圆的切线垂直于经过切点
3.【思路分析】连接OA、OB,由切线的性质知∠OBM=90°
,从而得∠ABO=∠BAO=50°
,由内角和定理知∠AOB=80°
,根据圆周角定理可得答案.
如图,连接OA、OB,
∵BM是⊙O的切线,
∴∠OBM=90°
∵∠MBA=140°
∴∠ABO=50°
∵OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO=50°
∴∠AOB=80°
∴∠ACB=
∠AOB=40°
【点评】本题主要考查切线的性质,解题的关键是掌握切线的性质:
①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
4.【思路分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°
,则可计算出∠ONB=38°
,再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°
,然后根据圆周角定理得∠NOA的度数.
∵MN是⊙O的切线,
∴ON⊥NM,
∴∠ONM=90°
∴∠ONB=90°
-∠MNB=90°
-52°
=38°
∵ON=OB,
∴∠B=∠ONB=38°
∴∠NOA=2∠B=76°
【点评】本题考查了切线的性质:
圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.
5.【思路分析】连接DG、AG,作GH⊥AD于H,连接OD,如图,先确定AG=DG,则GH垂直平分AD,则可判断点O在HG上,再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切;
接着利用OG=OG可判断圆心O不是AC与BD的交点;
然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心.
连接DG、AG,作GH⊥AD于H,连接OD,如图,
∵G是BC的中点,
∴AG=DG,
∴GH垂直平分AD,
∴点O在HG上,
∵AD∥BC,
∴HG⊥BC,
∴BC与圆O相切;
∵OG=OG,
∴点O不是HG的中点,
∴圆心O不是AC与BD的交点;
而四边形AEFD为⊙O的内接矩形,
∴AF与DE的交点是圆O的圆心;
∴
(1)错误,
(2)(3)正确.
C.
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心:
三角形的内心到三角形三边的距离相等;
三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了矩形的性质.
6.【思路分析】由⊙O1的半径为3cm,⊙O2的半径为2cm,圆心距O1O2为4cm,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系.
∵⊙O1的半径为3cm,⊙O2的半径为2cm,圆心距O1O2为4cm,
又∵2+3=5,3-2=1,1<4<5,
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交.
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系.注意掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系是解此题的关键.
8.【思路分析】作半径AD,根据直角三角形30度角的性质得:
OA=4,再确认⊙B与⊙A相切时,OB的长,可得结论.
设⊙A与直线OP相切时切点为D,连接AD,
∴AD⊥OP,
∵∠O=30°
,AD=2,
∴OA=4,
当⊙B与⊙A相内切时,设切点为C,如图1,
∵BC=3,
∴OB=OA+AB=4+3-2=5;
当⊙A与⊙B相外切时,设切点为E,如图2,
∴OB=OA+AB=4+2+3=9,
∴半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是:
5<OB<9,
【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理,熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键,还利用了数形结合的思想,通过图形确定OB的取值范围.
9.【思路分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A,再根据圆周角定理解答.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠A=180°
-∠BCD=60°
由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=120°
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
10.【思路分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,连接OM,交⊙M于点P′,当点P位于P′位置时,OP′取得最小值,据此求解可得.
∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°
∵AO=BO,
∴AB=2PO,
若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,
连接OM,交⊙M于点P′,当点P位于P′位置时,OP′取得最小值,
过点M作MQ⊥x轴于点Q,
则OQ=3、MQ=4,
∴OM=5,
又∵MP′=2,
∴OP′=3,
∴AB=2OP′=6,
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系,解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置.
11.【思路分析】首先连接OB,由点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,根据等角的余角相等,易证得∠CBP=∠CPB,利用等腰三角形的性质解答即可.
连接OB,
∴OB⊥BC,
∴∠OBA+∠CBP=90°
∵OC⊥OA,
∴∠A+∠APO=90°
∵OA=OB,∠OAB=22°
∴∠OAB=∠OBA=22°
∴∠APO=∠CBP=68°
∵∠APO=∠CPB,
∴∠CPB=∠ABP=68°
∴∠OCB=180°
-68°
=44°
44°
【点评】此题考查了切线的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
12.【思路分析】分两种情形分别求解:
如图1中,当⊙P与直线CD相切时;
如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形;
如图1中,当⊙P与直线CD相切时,设PC=PM=m.
在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2,
∴x2=42+(8-x)2,
∴x=5,
∴PC=5,BP=BC-PC=8-5=3.
如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形.
∴PM=PK=CD=2BM,
∴BM=4,PM=8,
在Rt△PBM中,PB=
=4
综上所述,BP的长为3或4
【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题.
13.【思路分析】连接OC,根据圆周角定理得到∠COD=2∠A,根据切线的性质计算即可.
连接OC,
由圆周角定理得,∠COD=2∠A=64°
∵CD为⊙O的切线,
∴OC⊥CD,
∴∠D=90°
-∠COD=26°
26.
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.
14.【思路分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数,再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°
,进而可求出∠OCB的度数.
∵∠A=20°
∴∠BOC=40°
∵BC是⊙O的切线,B为切点,
∴∠OBC=90°
∴∠OCB=90°
-40°
=50°
50.
【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用,熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键.
15.【思路分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠A+∠DCB=180°
又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠A=n°
n
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质.解决本题的关键是掌握:
圆内接四边形的对角互补.
16.【思路分析】先利用BC平分∠ABD得到∠OBC=∠DBC,再证明OC∥BD,从而得到OC⊥CD,然后根据切线的判定定理得到结论.
【解答】证明:
∵BC平分∠ABD,
∴∠OBC=∠DBC,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥BD,
∵BD⊥CD,
∴CD为⊙O的切线.
【点评】本题考查了切线的判定定理:
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
17.【思路分析】
(1)说明OC是△BDA的中位线,利用中位线的性质,得到∠OCE=∠CED=90°
,从而得到CE是圆O的切线.
(2)利用直径上的圆周角,得到△PEF是直角三角形,利用角相等,可得到△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC,从而得到PC=PE=5.然后求出sin∠PEF的值.
(1)证明:
∵CE⊥AD于点E
∴∠DEC=90°
∵BC=CD,
∴C是BD的中点,又∵O是AB的中点,
∴OC是△BDA的中位线,
∴OC∥AD
∴∠OCE=∠CED=90°
∴OC⊥CE,又∵点C在圆上,
∴CE是圆O的切线.
(2)连接AC,
∵AB是直径,点F在圆上
∴∠AFB=∠PFE=90°
=∠CEA
∵∠EPF=∠EPA
∴△PEF∽△PEA
∴PE2=PF×
PA
∵∠FBC=∠PCF=∠CAF
又∵∠CPF=∠CPA
∴△PCF∽△PAC
∴PC2=PF×
∴PE=PC
在直角△PEF中,
.
【点评】本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点.利用三角形相似,说明PE=PC是解决本题的难点和关键.
18.【思路分析】
(1)可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形,即OC⊥PC,PC是⊙O的切线
(2))AB是直径,得∠ACB=90°
,通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA,进而
,得出t
(1)如图,连接OC、BC,
∵⊙O的半径为3,PB=2
∴OC=OB=3,OP=OB+PB=5
∵PC=4
∴OC2+PC2=OP2
∴△OCP是直角三角形,
∴OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线.
(2)∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACO+∠OCB=90°
∵OC⊥PC
∴∠BCP+∠OCB=90°
∴∠BCP=∠ACO
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠A=∠BCP
在△PBC和△PCA中:
∠BCP=∠A,∠P=∠P
∴△PBC∽△PCA,
。
【点评】该题考查圆的相关知识和勾股定理逆定理、三角函数等内容,能证明图中相似三角形是解决问题的关键.
19.【思路分析】
(1)先求出∠ABC=30°
,进而求出∠BAD=120°
,即可求出∠OAB=30°
,结论得证;
(2)先求出∠AOC=60°
,用三角函数求出AM,再用垂径定理即可得出结论.
(1)如图,
∵∠AEC=30°
∴∠ABC=30°
∵AB=AD,
∴∠D=∠ABC=30°
根据三角形的内角和定理得,∠BAD=120°
连接OA,∴OA=OB,
∴∠OAB=∠ABC=30°
∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=90°
∴OA⊥AD,
∵点A在⊙O上,
∴直线AD是⊙O的切线;
(2)连接OA,∵∠AEC=30°
∴∠AOC=60°
∵BC⊥AE于M,
∴AE=2AM,∠OMA=90°
在Rt△AOM中,AM=OA•sin∠AOM=4×
sin60°
=2
∴AE=2AM=4
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质,垂径定理,切线的判定,锐角三角函数,三角形内角和定理,圆周角定理,求出∠AOC=60°
是解本题的关键.
20.【思路分析】
(1)根据等边三角形的性质可得:
∠OAC=30°
,∠BCA=60°
,证明∠OAE=90°
,可得:
AE是⊙O的切线;
(2)先根据等边三角形性质得:
AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°
,由四点共圆的性质得:
∠A
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- 中考 数学 专题 复习 第二十 三讲 有关 位置 关系 详细 参考答案