高中数学人教A版选修23练习24正态分布含答案.docx
- 文档编号:1657993
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:119.19KB
高中数学人教A版选修23练习24正态分布含答案.docx
《高中数学人教A版选修23练习24正态分布含答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学人教A版选修23练习24正态分布含答案.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学人教A版选修23练习24正态分布含答案
2.4 正态分布
[学习目标]
1.利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
2.了解变量落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]的概率大小.
3.会用正态分布去解决实际问题.
[知识链接]
1.在频率分布直方图中,纵坐标的含义是,用小矩形的面积表示数据落在该组中的频率,在折线图中,随着分组越来越多,其越来越接近于一条光滑的曲线.
2.正态曲线φμ,σ(x)=e-,x∈R中的参数μ,σ有何意义?
答 μ可取任意实数,表示平均水平的特征数,E(X)=μ;σ>0表示标准差,D(X)=σ2.一个正态曲线方程由μ,σ唯一确定,π和e为常数,x为自变量,x∈R.
3.若随机变量X~N(μ,σ2),则X是离散型随机变量吗?
答 若X~N(μ,σ2),则X不是离散型随机变量,由正态分布的定义:
P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx可知,X可取(a,b]内的任何值,故X不是离散型随机变量,它是连续型随机变量.
[预习导引]
1.正态曲线
函数φμ,σ(x)=e-,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
2.正态分布
如果对于任何实数a,b(a
正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2),如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).
3.正态曲线的性质
正态曲线φμ,σ(x)=e-,x∈R有以下性质:
(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(3)曲线在x=μ处达到峰值;
(4)曲线与x轴之间的面积为1;
(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①;
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图②.
4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ-σ P(μ-2σ P(μ-3σ 要点一 正态曲线 例1 如图所示是一个正态曲线.试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的期望和方差. 解 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是,所以μ=20. =,解得σ=. 于是概率密度函数的解析式是 φμ,σ(x)=·e-,x∈(-∞,+∞). 总体随机变量的期望是μ=20, 方差是σ2=()2=2. 规律方法 利用图象求正态密度函数的解析式,关键是找对称轴x=μ与最值,这两点确定以后,相应参数μ,σ的值便确定了. 跟踪演练1 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为.求该正态分布的概率密度函数的解析式. 解 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于y轴对称,即μ=0. 由于=,得σ=4, 故该正态分布的概率密度函数的解析式是 φμ,σ(x)=e-,x∈(-∞,+∞). 要点二 利用正态分布求概率 例2 设ξ~N(1,22),试求: (1)P(-1<ξ≤3); (2)P(3<ξ≤5);(3)P(ξ≥5). 解 ∵ξ~N(1,22),∴μ=1,σ=2, (1)P(-1<ξ≤3)=P(1-2<ξ≤1+2) =P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6826 (2)∵P(3<ξ≤5)=P(-3<ξ≤-1), ∴P(3<ξ≤5)=[P(-3<ξ≤5)-P(-1<ξ≤3)] =[P(1-4<ξ≤1+4)-P(1-2<ξ≤1+2)] =[P(μ-2σ<x≤μ+2σ)-P(μ-σ<x≤μ+σ)] =(0.9544-0.6826)=0.1359. (3)P(ξ≥5)=P(ξ≤-3)=[1-P(-3<ξ≤5)] =[1-P(1-4<ξ≤1+4)] =[1-P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)] =(1-0.9544)=0.0228. 规律方法 解答此类题目的关键在于充分利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化,在此过程中充分体现数形结合及化归的数学思想.经常用到如下转换公式: ①P(x≥a)=1-P(x<a);②若b<μ,则P(X<b)=. 跟踪演练2 若η~N(5,1),求P(5<η<7). 解 ∵η~N(5,1),∴正态分布密度函数的两个参数为μ=5,σ=1,因为该正态曲线关于x=5对称, ∴P(5<η<7)=×P(3<η<7)=×0.9544=0.4772. 要点三 正态分布的实际应用 例3 设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数. 解 μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ), ∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ) =2P(X-μ<-σ)+0.6826=1, ∴P(X-μ<-σ)=0.1587, ∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.1587=0.8413. ∴54×0.8413≈45(人),即及格人数约为45人. ∵P(X≥130)=P(X-110≥20)=P(X-μ≥σ), ∴P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ) =0.6826+2P(X-μ≥σ)=1. ∴P(X-μ≥σ)=0.1587. ∴54×0.1587≈9(人), 即130分以上的人数约为9人. 规律方法 解答此类题目的关键在于将所求的问题向(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)这三个区间进行转化,然后利用上述区间的概率求出相应概率,在此过程中用到化归思想和数形结合的思想. 跟踪演练3 工厂制造的某机械零件的尺寸X服从正态分布N(4,),问在一次正常的试验中,取1000个零件时,不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个? 解 ∵X~N(4,),∴μ=4,σ=, ∴不属于区间(3,5)的概率为 P(X≤3)+P(X≥5)=1-P(3<X<5) =1-P(4-1<X<4+1) =1-P(μ-3σ<X<μ+3σ) =1-0.9974=0.0026≈0.003, ∴1000×0.003=3(个), 即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个. 1.如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线N(0,σ2)的图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( ) A.σ1>1>σ2>σ3>0 B.0<σ1<σ2<1<σ3 C.σ1>σ2>1>σ3>0 D.0<σ1<σ2=1<σ3 答案 D 2.把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位,得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是( ) A.曲线b仍然是正态曲线 B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 C.以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2 D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2 答案 D 3.正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率为P1,P2,则二者大小关系为( ) A.P1=P2B.P1<P2 C.P1>P2D.不确定 答案 A 解析 根据正态曲线的特点,图象关于x=0对称,可得 在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率P1,P2相等. 4.一批灯泡的使用时间X(单位: 小时)服从正态分布N(10000,4002),求这批灯泡中“使用时间超过10800小时”的概率. 解 依题意μ=104,σ=400. ∴P(104-800 由正态分布性质知P(X≤104-800)=P(X>104+800) 故2P(X>10800)+P(104-800 ∴P(X>10800)==0.0228, 故使用时间超过10800小时的概率为0.0228. 1.理解正态分布的概念和正态曲线的性质. 2.正态总体在某个区间内取值的概率求法:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中 学人 选修 23 练习 24 正态分布 答案