最新北师版小升初总复习数学归类讲解及训练中含答案Word下载.docx
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3.14×
(9.42÷
3.14÷
2)²
×
2×
545=7700.85≈7701(千克)
这个粮囤约装稻谷7701千克。
虽然求容积的方法和求体积的方法相同,但并不意味着体积就是容积。
体积的数据是从外面量的,而容积的数据要从里面量。
所以一个物体的体积都比其容积要大。
例3、(计算和圆柱的体积相关的实际问题)
有一个高为6.28分米的圆柱形机件,它的侧面展开正好是一个正方形,求这个机件的体积?
圆柱侧面展开是个正方形,说明圆柱的底面周长和高相等。
先通过底面周长求出底面积,再求体积。
(6.28÷
6.28=19.7192(立方分米)
这个机件的体积是19.7192立方分米。
圆柱侧面展开之后得到一个长方形,长是圆柱的底面周长,宽是圆柱的高。
在这儿展开之后是个正方形,就说明这个圆柱的底面周长和高相等。
例4、(综合题)一种抽水机出水管的直径是1分米,管口的水流速度是每秒2米,1分钟能抽水多少立方米?
每秒流出来的水的形状,可以看成是一个底面直径1分米,高2米的圆柱,这个圆柱的体积就是1秒种流出的水的体积,再乘60得出1分钟抽水的体积。
1分米=0.1米
(0.1÷
2=0.0157(立方米)
0.0157×
60=0.942(立方米)
1分钟能抽水0.942立方米。
例5、(综合题)把一根长4米的圆柱形钢材截成两段,表面积比原来增加31.4平方厘米。
这根钢材的体积是多少立方厘米?
长4米是圆柱的高,要求圆柱的体积还要知道底面积。
把圆柱截成两段,增加了两个底面的面积,即增加31.4平方厘米,可以求出圆柱的底面积。
4米=400厘米
31.4÷
2=15.7(平方厘米)
15.7×
400=6280(立方厘米)
这根钢材的体积是6280立方厘米。
例6、(计算圆锥的体积)一个圆锥的底面半径是6厘米,高是4厘米,求它的体积。
已知圆锥的底面半径、直径、周长时,都要先求出底面积,然后根据V=
sh来计算圆锥的体积。
在计算时,千万不要忘记“除以3”或“乘
”。
6²
4=150.72(立方厘米)
圆锥的体积是150.72立方厘米。
求圆锥的体积不能忘了最后要除以3。
如果不除以3,求的就是和这个圆锥等底等高的圆柱的体积,而不是圆锥的体积。
计算时,可以先算
4,最后再乘3.14,可以使计算简便,提高正确率。
例7、(解决和圆锥体积计算相关的实际问题)
一个圆锥形沙堆高1.5米,底面周长是18.84米,每立方米沙约重1.7吨,这堆沙约重多少吨?
要求沙堆的质量,先要求沙堆的体积。
沙堆是圆锥形,已知它的高和底面周长,根据圆锥体积的计算公式,先求圆锥的底面积。
18.84÷
2=3(米)
3²
1.5=14.13(立方米)
沙堆的质量:
14.13×
1.7=24.021(吨)
这堆沙约重24.021吨。
例8、判断:
(1)圆锥的体积是圆柱体积的
。
…………()
(2)如果一个圆锥的体积是一个圆柱体积的
,那么它们等底等高。
…()
(1)一个圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的
,这一结论是将它的体积和它等底等高的圆柱进行比较得到的。
(2)等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的
;
但圆锥的体积是圆柱体积的
,并不意味着它们等底等高。
例9、(综合题)一个圆锥的底面半径是3厘米,体积是75.36立方厘米,高是多少厘米?
要求圆锥的高,根据圆锥体积计算的公式,可以先用体积乘3,求出和它等底等高的圆柱的体积,再除以底面积,即高=体积×
3÷
底面积,注意不能用圆锥的体积直接除以底面积。
也可以根据圆锥体积计算的公式列方程解答。
方法1:
底面积:
=28.26(平方厘米)
高:
75.36×
28.26=8(厘米)
方法2:
设高是ⅹ厘米。
ⅹ=75.36
9.42ⅹ=75.36……先算左边的
3.14×
ⅹ=8
高是8厘米。
通过体积去求圆锥的高时要注意先用体积乘3,求出与这个圆锥等底等高的圆柱的体积,再除以底面积,求出高;
也可以根据圆锥体积计算公式用方程解答。
例10、(综合题)把一个棱长为12厘米的正方体木块加工成一个最大的圆锥,圆锥的体积是多少立方厘米?
削去的部分是多少立方厘米?
将正方体木块加工成一个最大的圆锥,圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。
正方体的体积:
12×
12×
12=1728(立方厘米)
圆锥的体积:
(12÷
12=452.16(立方厘米)
削去部分的体积:
1728–452.16=1275.84(立方厘米)
圆锥的体积是452.16立方厘米,削去的部分是1275.84立方厘米。
模拟试题
一、圆柱体积
1、求下面各圆柱的体积。
(1)底面积0.6平方米,高0.5米
(2)底面半径是3厘米,高是5厘米。
(3)底面直径是8米,高是10米。
(4)底面周长是25.12分米,高是2分米。
2、有两个底面积相等的圆柱,第一个圆柱的高是第二个圆柱的4/7。
第一个圆柱的体积是24立方厘米,第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多多少立方厘米?
3、在直径0.8米的水管中,水流速度是每秒2米,那么1分钟流过的水有多少立方米?
4、牙膏出口处直径为5毫米,小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏。
这支牙膏可用36次。
该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6毫米,小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。
这样,这一支牙膏只能用多少次?
5、一根圆柱形钢材,截下1.5米,量得它的横截面的直径是4厘米。
如果每立方厘米钢重7.8克,截下的这段钢材重多少千克?
(得数保留整千克数。
)
6、把一个棱长6分米的正方体木块,削成一个最大的一圆柱体,这个圆柱的体积是多少立方分米?
7、右图是一个圆柱体,如果把它的高截短3厘米,它的表面积减少94.2平方厘米。
这个圆柱体积减少多少立方厘米?
二、圆锥体积
1、选择题。
(1)一个圆锥体的体积是a立方米,和它等底等高的圆柱体体积是( )
①
a立方米②3a立方米③9立方米
(2)把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体,圆柱体体积是6立方米,圆锥体体积是( )立方米
①6立方米②3立方米③2立方米
2、判断对错。
(1)圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍………( )
(2)一个圆柱体木料,把它加工成最大的圆锥体,削去的部分的体积和圆锥的体积比是2 :
1………( )
(3)一个圆柱和圆锥等底等高,体积相差21立方厘米,圆锥的体积是7立方厘米
………( )
3、填空
(1)一个圆柱体积是18立方厘米,与它等底等高的圆锥的体积是()立方厘米。
(2)一个圆锥的体积是18立方厘米,与它等底等高的圆柱的体积是()立方厘米。
(3)一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积和是144立方厘米。
圆柱的体积是()立方厘米,圆锥的体积是()立方厘米。
4、求下列圆锥体的体积。
(1)底面半径4厘米,高6厘米。
(2)底面直径6分米,高8厘米。
(3)底面周长31.4厘米,高12厘米。
5、一个圆锥形沙堆,高是1.5米,底面半径是2米,每立方米沙重1.8吨。
这堆沙约重多少吨?
6、一个近似圆锥形的麦堆,底面周长12.56米,高1.2米,如果每立方米小麦重750千克,这堆小麦重多少千克?
7、一个长方体容器,长5厘米,宽4厘米,高3厘米,装满水后将水全部倒入一个高6厘米的圆锥形的容器内刚好装满。
这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米?
参考答案:
(1)底面积0.6平方米,高0.5米0.6×
0.5=0.3(立方米)
5=141.3(立方厘米)
(8÷
10=502.4(立方米)
(25.12÷
2=100.48(立方分米)
底面积相等的两个圆柱,第一个圆柱的高是第二个圆柱的4/7,第一个圆柱的体积也就是是第二个圆柱的4/7。
24÷
4/7–24=18(立方厘米)
第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多18立方厘米。
(0.8÷
60=60.288(立方米)
那么1分钟流过的水有60.288立方米。
牙膏体积:
1厘米=10毫米
(5÷
10×
36=7065(立方毫米)
7065÷
[3.14×
(6÷
10]=25(次)
这样,这一支牙膏只能用25次。
1.5米=150厘米
(4÷
150×
7.8=14695.2(克)=14.6952(千克)≈15(千克)
截下的这段钢材重15千克。
6、把一个棱长6分米的正方体木块,削成一个最大的一圆柱体,这个圆柱的体积是多少立方分米?
6=169.56(立方分米)
这个圆柱的体积是169.56立方分米。
底面周长:
94.2÷
3=31.4厘米
(31.4÷
3=235.5(立方厘米)
这个圆柱体积减少235.5立方厘米。
(1)一个圆锥体的体积是a立方米,和它等底等高的圆柱体体积是( ② )
(2)把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体,圆柱体体积是6立方米,圆锥体体积是( ③ )立方米
(1)圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍………( ×
)
1………( √)
………( ×
(1)一个圆柱体积是18立方厘米,与它等底等高的圆锥的体积是(6)立方厘米。
(2)一个圆锥的体积是18立方厘米,与它等底等高的圆柱的体积是(54)立方厘米。
圆柱的体积是(108)立方厘米,圆锥的体积是(36)立方厘米。
4²
6=100.48(立方厘米)
(60÷
8=7536(立方厘米)
12=314(立方厘米)
2²
1.5×
1.8=11.304(吨)
这堆沙约重11.304吨。
(12.56÷
1.2×
750=3768(千克)
这堆小麦重3768千克。
5×
4×
3=60(立方厘米)
60×
6=30(平方厘米)
这个圆锥形容器的底面积是30平方厘米
小学数学总复习专题讲解及训练(六)
比例的意义和基本性质
1、使学生初步理解图形的放大和缩小,能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小,初步体会图形的相似,进一步发展空间观念。
2、使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义和作用,认识比例的“项”、“内项”和“外项”;
理解并掌握比例的基本性质,会应用比例的基本性质解比例。
3、使学生在认识比例、应用比例的过程中,进一步体会不同领域数学内容的内在联系,增强用数和图形描述现实问题的意义和能力,丰富解决问题的策略,发展对数学的积极情感。
1、把一个图形按一定比放大或缩小,就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。
2、表示两个比相等的式子叫做比例。
3、组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。
4、在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
这叫做比例的基本性质。
5、根据比例的基本性质,如果已知比例中的任意三项,就可以求出这个比例中的另一个未知项。
求比例的未知项,叫做解比例。
例1、(把图形按某个比相应放大或缩小,形状没有改变,只是大小变了)
AB
C
(1)长方形A的长是1.5厘米,宽是1厘米;
长方形B的长是3厘米,宽是2厘米。
这两个长方形的长有什么关系?
宽呢?
(2)如果要把长方形A按1:
2的比缩小,长和宽应是原来的几分之几?
各是多少?
(1)长方形B的长是长方形A的2倍,宽也是长方形A的2倍。
或者说长方形B和长方形A长的比是2:
1,宽的比也是2:
1。
把长方形的每条边放大到原来的2倍,放大后的长方形的长和宽与原来长方形的比是2:
1,就是把长方形A的长和宽按2:
1的比进行放大。
(2)把长方形A按1:
2的比缩小后为长方形C,长、宽缩小为原来的
,图C的长是0.75厘米,图C的宽是0.5厘米。
由此可见,放大或缩小前后图形形状没有改变,还是长方形,只是大小变了。
例2、(根据指定的比,将图形按要求放大或缩小)
先按3:
2的比画出长方形A放大后的图形B,再按1:
2的比画出长方形A缩小后的图形C。
(1)图B的长、宽各是几格?
(2)图C呢?
(3)观察这三幅图形,你有什么发现?
A
B
(1)按3:
2的比将长方形A放大,即将长方形A的长与宽分别扩大1.5倍,那么图B的长为6×
1.5=9格,宽为4×
1.5=6格。
(2)按1:
2的比将长方形A缩小,即将长方形A的长与宽分别缩小到原来的
,那么图C的长为6÷
2=3格,宽为4÷
2=2格。
(3)从这三幅大小不同的图形上可以看出,放大或缩小后的图形与原来的图形比较,大小虽变了,但形状不变,而且各条边长度的变化都符合指定的比。
按比例放大图形或缩小图形,关键是要先根据比确定是放大还是缩小,然后确定好每条边的长度,画出图形就行了。
例3、(将两个相等比写成一个等式)
图B是由图A放大后得到的,你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗?
比较写出的两个比,你有什么发现?
3厘米
6厘米
4厘米
8厘米
(1)图A中长与宽的比是4:
3;
图B中长与宽的原始比是8:
6,而8:
6化简后就是4:
3。
(2)这两个比化简后都是4:
3,比值相等,说明这两个比可以写成一个等式。
即
4:
3=8:
6或
=
,都读作:
4比3等于8比6。
例4、(认识比例)下面哪几组中的两个比能组成比例,把组成的比例写下来。
(1)
5
:
6
和15
18
(2)
0.2
0.1
和
3
1
(3)
1.2
0.8
(4)
2
和
:
分别求出每组中两个比的比值,如果相等就能组成比例,不相等就不能组成比例。
因为5
=
,15
18=
,所以5
=15
18。
(2)
因为0.2
=2,
1=3,所以
1不能组成比例。
因为
,
,所以
=1.2
0.8。
(4)
=3,
=3,所以6
判断两个比能不能组成比例,可以像题目中的方法一样,求出两个比的比值,比值相等就能组成比例,否则就不行。
这样解题的依据是比例的意义。
例5、(比例的各部分名称和比例的基本性质)
一台织布机3小时织布3.6米,4小时织布4.8米。
你能根据数量间的关系写出比例吗?
(1)这台织布机织布米数和织布时间的比相等。
3.6
=4.8
4
(2)这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。
4.8
=3
(3)这台织布机织布时间和织布米数的比相等。
3
3.6
=4
4.8
介绍“项”:
组成比例的四个数,叫做比例的项。
例如:
=
内项
外项
观察题中的三个比例,你有什么发现?
43.6
43
(1)3.6和4可以同时做比例的外项,也可以同时做比例的内项。
(2)3.6×
4=3×
4.8,可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。
(3)如果把3.6
4改写成分数形式
,等号两边的分子、分母分别交叉相乘,结果也相等。
(4)如果用字母表示比例的四个项,即a:
b=c:
d,
那么这个规律可表示成ad=bc或bc=ad。
(5)在比例里,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质。
例6、(比例基本性质的应用)根据2×
7=1.4×
10这个等式写出几个比例。
根据比例的基本性质,可以得出2和7、1.4和10这两组数要么同时是比例的外项,要么同时是比例的内项。
1.4:
2=7:
101.4:
7=2:
10
10:
1.410:
1.4
2:
1.4=10:
72:
10=1.4:
7
7:
27:
2
像这样的比例一共可以写8个。
但它们不变的是2和7要么同时为内项,要么同时为外项,而1.4和10这一组数也一样。
写的时候可以一组一组地写了。
例7、(按比例放大的含义)
王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大,放大后的图片的长是12.5厘米,你有什么发现?
5厘米
按比例放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放大,放大前后的相关线段的厘米数是可以组成比例的。
两张图片长的比与宽的比可以组成比例,两张图片中各自长、宽的比也可以组成比例。
12.5:
5=宽:
4或12.5:
宽=
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