九年级数学上一元二次方程的应用(学生版)知识点+详细解析.doc
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九年级数学上一元二次方程的应用(学生版)知识点+详细解析.doc
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一元二次方程的应用--知识讲解
要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤:
审(审题目,分清已知量、未知量、等量关系等);
设(设未知数,有时会用未知数表示相关的量);
列(根据题目中的等量关系,列出方程);
解(解方程,注意分式方程需检验,将所求量表示清晰);
验(检验方程的解能否保证实际问题有意义)
答(写出答案,切忌答非所问).
要点二、一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是:
个位、十位、百位、
千位……,它们数位上的单位从右至左依次分别为:
1、10、100、1000、……,数位上的数字
只能是0、1、2、……、9之中的数,而最高位上的数不能为0.因此,任何一个多位数,都可用
其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示,这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如:
一个三位数,个位上数为a,十位上数为b,百位上数为c,则这个三位数可表示为:
100c+10b+a.
(2)几个连续整数中,相邻两个整数相差1.
如:
三个连续整数,设中间一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1.
几个连续偶数(或奇数)中,相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如:
三个连续偶数(奇数),设中间一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时,要理清原来数、后来数、增长率或降低率,以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程,那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题:
平均增长率公式为(a为原来数,x为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量.)
(2)降低率问题:
平均降低率公式为(a为原来数,x为平均降低率,n为降低次数,b为降低后的量.)
3.利息问题
(1)概念:
本金:
顾客存入银行的钱叫本金.
利息:
银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和:
本金和利息的和叫本息和.
期数:
存入银行的时间叫期数.
利率:
每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系:
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
5.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题,解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形,根据图形的面积或体积公式,找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
6.行程问题
【典型例题】
类型一、数字问题
1.已知两个数的和等于12,积等于32,求这两个数是多少.
举一反三:
1、有一个两位数等于其数字之积的3倍,其十位数字比个位数字少2,求这个两位数.
2、有一个两位数,个位数字与十位数字的和为14,交换数字位置后,得到新的两位数,比这两个数字的积还大38,求这个两位数.
类型二、平均变化率问题
2.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
举一反三:
1、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,按照这样的速度,第三轮传染后,患流感
的人数是()
A.1331B.1210C.1100D.1000
2、某产品原来每件是600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两次降价的百分数相同,
求平均每次降价率.
类型三、利润(销售)问题
3.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?
每件商品售价多少元?
举一反三:
【变式】某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件.
(1)若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元,每件衬衫应降价多少元?
(2)每天衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?
类型四、形积问题
4.如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD,求该矩形草坪BC边的长.
类型五、行程问题
5.一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面有情况,紧急刹车后又滑行25m后停车.
(1)从刹车到停车用了多少时间?
(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
(3)刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间(精确到0.1s)?
【巩固练习一】
一、选择题
1.在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是().
A.x2+130x-1400=0B.x2-65x-350=0C.x2-130x-1400=0D.x2+65x-350=0
2.为了改善居民住房条件,我市计划用未来两年的时间,将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10cm2提高到12.1m2,若每年的年增长率相同,则年增长率为()
A.9%B.10%C.11%D.12%
3.某农机厂四月份生产零件50万个,第二季度共生产零件182万个,设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是().
A.50(1+x)2=182B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182
C.50(1+2x)=182D.50+50(1+x)+50(1+2x)=182
4.一个矩形的长是宽的3倍,若宽增加3cm,它就变成正方形.则矩形面积是().
A.B.C.D.
5.为执行“两免一补”政策,某地区2010年投入教育经费2500万元,预计2012年投入3600万元.设这两年投入教育经费的年平均增长率为x,则下列方程正确的是().
A.2500(1+x)2=3600B.2500x2=3600
C.2500(1+x%)=3600D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3600
6.一个跳水运动员从距离水面10米高的跳台向上跳起0.5米,开始做翻滚动作,它在空中每完成一个动作需要时间0.2秒,并至少在离水面3.5米处停止翻滚动作准备入水,最后入水速度为14米/秒,该运动员在空中至多做翻滚动作().
A.3个B.4个C.5个D.6个
二、填空题
7.某商场销售额3月份为16万元,5月份25万元,该商场这两个月销售额的平均增长率是________.
8.若两数的和是2,两数的平方和是74,则这两数为________.
9.大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300m2的一块长方形绿地,并且长比宽多10m,设长方形绿地的宽为xm,则可列方程为________.
10.菱形ABCD的一条对角线长6,AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的周长为________.
11.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了个人?
12.小明家为响应节能减排号召,计划用两年时间,将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至2000kg(全球人均目标碳排放量),则小明家未来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是________.
三、解答题
13.用长12m的一根铁丝围成长方形.
(1)如果长方形的面积为5m2,那么此时长方形的长是多少?
宽是多少?
如果面积是8m2呢?
(2)能否围成面积是10m2的长方形?
为什么?
(3)能围成的长方形的最大面积是多少?
14.从一块长80cm,宽60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形,使剩下的长方形四周宽度一样,并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半,求这个宽度.
15.常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇,北玉桃源县盘塘镇创元工业园,在这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元,如果要在2010年达到743.6亿元,那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少?
《常德工业走廊建设发展规划纲要(草案)》确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元,若继续保持上面的增长率,该目标是否可以完成?
【巩固练习二】
一、选择题
1.元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有()
A.11人B.12人C.13人D.14人
2.上海世博会的某纪念品原价168元,连续两次降价a%后售价为128元,下列所列方程中正确的是()
A.168(1+a%)2=128B.168(1-a%)2=128C.168(1-2a%)2=128D.168(1-a2%)=128
3.从一块长30cm,宽12cm的长方形薄铁片的四个角上,截去四个相同的小正方形,余下部分的面积
为296cm2,则截去小正方形的边长为()
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
4.甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行,甲先行1小时后,乙才出发,又经过4小时两人在途中的C地相遇,相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟,结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟,已知乙比甲每小时多行驶4千米,则甲、乙两人骑车的速度分别为()千米/时.
A.2,6B.12,16C.16,20D.20,24
5.某农户种植花生,原来种植的花生亩产量为200千克,出油率为50%(即每100千克花生可加工成花生油50千克).现在种植新品种花生后,每亩收获的花生可加工成花生油132千克,其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的.则新品种花生亩产量的增长率为()
A.20% B.30% C.50% D.120%
6.从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升,然后用水注满,再倒出
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