两角和与差的正弦余弦和正切公式专题与解析Word下载.docx
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0+sin0
1—tan204
2
1+tan05'
答案D
3.(2015•重庆卷)若tana
1
3,
tan(
a+B)=1,
则tanB等于(
A.1
B.1
♦I
解析tanB=tan[(a+B)—a]
tan(a+B)—tana
11
2—31
-^=7,故选A.1+-x-
23
答案A
4.(2017•广州调研)已知sin
1…
a+cosa=3,则
2n
sin7
17
5
8
C.8
D.
解析由sin
+cosa=3两边平方得1+sin2
sin2
9,
所以sin2
1-c°
s2-2a—sin2
2=2
1t817
故选
B.
答案B
5.(必修4P137A13(5)改编)sin347°
cos148°
+sin77°
•cos58
解析sin347°
cos148°
+sin77°
cos58
=sin(270°
+77°
)cos(90°
+58°
)+sin77°
=(—cos77°
)•(—sin58°
=sin58°
cos77°
+cos58°
sin77
=sin(58°
)=sin135
考点一三角函数式的化简
【例1】
(1)(2016•合肥模拟)cos(
()
A.sin(a+2B)
C.cos(a+2B)
a+B)cosB+sin(a+B)sinB=
B.sina
D.cosa
⑵化简:
aa
(1+sina+cosa)・cos-^—sin_
(0<
a<
n)—'
2+2cosa
解析
(1)cos(a+B)cosB+sin(a+B)sinB=cos[(a+B)—B]=cos
a.
2aaaaa
2cos~+2sin~cos~•cos~—sin~
2a
.2a
cos2
cos2cosa
ecu
cos"
因为0<
n,所以0<
2<
今,所以cos-2>
0,所以原式=
答案
(1)D
(2)C0Sa
【训练1】
(1)^2+2cos8+2^1-sin8的化简结果是_
cosa.
⑵化简:
421
2cosa—2cosa+㊁
n2n
2tanT-asin7+a
解析
(1)原式=_4cos24+2(sin4—cos4)
=2|cos4|+2|sin4—cos4|,
因为5n
3
<
4<
所以cos4<
0,且sin4<
cos4
所以原式=—2cos4—2(sin4—cos4)=—2sin4.
142
2(4cosa—4cosa+1)
n
2Xsin7—a
cos7—a
•cos-
(2cos2a—1)2
cos22a
4sin扌
acos7
a2sinnn—2a
2.
cos2a1
—=7cos2a
2cos2a2
答案
(1)—2sin4
(2)^cos2a
考点二
三角函数式的求值
【例2】
⑴[2sin50
+sin10
(1+3tan10°
)]•2sin280=
(2)已知
7t
+a
4
5,
7nM.sin2a+2sina
—贝q
124,则1—tana
17n
的值为
⑶已知
0C,
冗)
且tan(a
7,则2a—B的值
解析
(1)原式二(2sin50
cos10°
+^/3sin10)
cos10
2sin80
=(2sin50
+2sin10
1cos10°
+毘in10
2cos10
=22[sin50
-cos10
-cos(60°
—10°
)]
=22sin(50°
+10°
)=22X
sin2a+2sina⑵1—tana
2sinacosa+2sina
sina1—
cosa
2sinaCOSa(cosa+sina)
cosa—sina
=sin2
1+tana
1—tana
=sin2a
-tan7+
由
a+7<
2n,又COS
ST
金
II
I
4=
AO
2卜
A
£
O
+
STn
413
o
2爲
2|=
吕
—k
2<
f)
5'
7I2
5I00
4=
5I4
4|=
3I4
【亘盗2】S4COS50。
丄an40i(
C•幺
(2)masina+"
+sin
D.2$丄
(3)maCOSaH十cos(a——0)H^OA0Aa八皿)〉淫Qrn2aH
3SMN4s5'
40
4cos40
sin40。
——sin40
cos40。
2SI5'
80——Sin4o
cos40
sin40cos40
2sin(」20。
——40。
)——s5'
40H>
felcos40。
+sin40Isin40
V5cos40
玮®
0.
(2)ffisina+^l+sina
于是
a+6—
=5.
所以
a+
n33—4
a—cos
~6-
6—10
⑶•-
■cos
a—7,
0<
~2,
•sin
a—7,tana—43,
•••tan2
2tana2X4,38,3
2
1—tana1—4847'
■/0<
B<
2,•0<
a—
•sin(
•cosB—cos[a—(a—B)]
—cosacos(a—B)+sinasin(a—B)
—1X生虱3X^3—1
—714十714—2,
答案
(1)C
⑵亠
10
⑶-
47
考点三三角变换的简单应用
【例3】已知△ABC为锐角三角形,若向量p—(2—2sinA,cosA+sinA)与
向量q—(sinA—cosA,1+sinA是共线向量.
(1)求角A;
⑵求函数y=2sinB+cos㊁的最大值•
A,贝Usin2A=3.
解⑴因为P,q共线,所以(2—2sinA)(1+sinA)
=(cosA+sinA)(sinA—cos
又A为锐角,所以sinA=f,
⑵y=2sin2B+cos铲
n—3—B—3B
=2sin2B+cos
2n1
=2sinB+cos——2B=1—cos2B+乙cos2B+
32
-23sin2B=¥
s鬥2B—*cos2B+1=sin2B—-6+1.
2226
nn
因为B€0,㊁,所以2B—€
6,所以当2B—6=空时,函数y取
得最大值,此时B=—,ymax=2.
21
【训练3】
(2017•合肥模拟)已知函数f(x)=(2cos2x—1)•sin2x+qcos4x.
(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间;
⑵若a€(0,n),且fT—
an2n
4—,求tana+-3的值.
21
解
(1)f(x)=(2cosx—1)sin2x+?
cos4x
12n
=2(sin4x+cos4x)=-^sin4x+才,
•f(x)的最小正周期Tp
令2kn
nn,3,
+~2W4x+—<
2kn+㊁冗,k€Z,
16,k€Z.
•••f(X)的单调减区间为
knn+一
2+16,
⑵•••f
an2
T,
即sina
因为a
€(0
3n
所以a
因此tan
a+§
、选择题
——<
a——<
,444'
3nn
tan+tan〒“
―4L^T+V3=用
3nn_1+/3—273.
1—tan——tan石
43
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
1.(2015•全国I卷)sin20°
cos10°
—cos160°
sin10°
=()
解析sin20
sin10
C.-2
D.2
sin10
°
=sin20°
+cos20
sin30
2.
2.(1+tan17°
)(1+tan28°
)的值是()
A.—1
B.O
C.1
解析原式=1+tan17
+tan28+tan17
-tan28
=1+tan45(1—tan17
-tan28°
)+tan17
=1+1=2.
3.(2017•西安二检)已知
a是第二象限角,且tan
=—g,则sin2a=()
A—更
C.-5
解析因为
a是第二象限角,且tana=
所以sin
=,cosa
10'
310
10,
a=2sinacos
?
故选C.
答案C
4.(2017•河南六市联考)设
a=?
静2°
b=12ta;
1414°
c=
2'
1—tan14'
则有(
A.avcvb
B.avbvc
C.bvcva
D.cvavb
解析由题意可知,a=sin28
b_tan28°
c_sin25°
cvavb.
5.(2016•肇庆三模)已知sin
为第二象限角,则tan2a
19
A-丁
C.
31
d.—31
解析由题意得cos
_4
=—5,
sin2a
24
=—25,
.tan2a=——,
.tan
tan2a+tan
1-tan2atan7
—〒1
1——〒XI
31.
、填空题
6.(2016•石家庄模拟)若
石的值是
“,n
解析sin2a——=sin
2n17
cos2a—3=2cosa—m—1=2X9—1=—9.
答案-7
7.(2017•南昌一中月考)已知a€
n,且cos-y—a
44
sin4n+B
12
13,贝Ucos(a+
解析
sin
■/sin
4n
又•••B
0,
•cos(
答案
13'
a+B)=cos
33
65
8.已知0€
COS
cos7+
且sin
解析sin
0€0,
=13,
1233
得sin
—cos
①平方得2sin0cos
0=二,可求得sin0+cos0
=25,
2tan0
34
0=二,「tan0二,tan20=1—tan20
答案-〒
三、解答题
9.(2017•淮海中学模拟)已知向量a=(cos9,sin9),b=(2,-1).
itn’”.
⑵右|a-b|=2,9€0,q,求sin9+匸的值•解⑴由a丄b可知,a•b=2cos9-sin9=0,所以sin9=2cos9,
十、sin9—cos92cos9—cos91
所以==-
sin9+cos92cos9+cos93
(2)由a—b=(cos9—2,sin9+1)可得,
|a—b|=(cos9—2)2+(sin9+1)2=
6—4cos9+2sin9=2,
即1—2cos9+sin9=0.
又cos29+sin29=1,且9€0,—,
34
所以sin9=,cos9=.
55
0+cos
10.设cosa
5,tan
a<
牙,0<
B<
2,求a—B的值.
解法一由cosa=
n<
2,得sin
誓,tana=2,又
于是tan(a—B)
2—3
=1+tanatanB=1
B1+2X3
tana—tanB
1.
□丄3n
又由n<
a,
n_小
2可得一
n3n
o,q<
a—B<
2,
因此,
5n
=~T.
法二
53n
n<
2得sina
2;
5.
由tan
=3,
nZl_.
2得sin
=丄
=10,
所以sin(
acos
B—cos
asin
10
3nn
a,0<
2可得
———<
—
•-3n
0,2<
a—B<
牙,
能力提升题组
20分钟)
n2n23n
11.(2016•云南统一检测)cos~9•cosg•cos—~^=()
A.-8
D.1
n_
解析cos百•cos-^•cos—-9n=cos20°
•cos40°
•cos100
2n
=—cos
20°
cos40°
•cos80°
=
sin20
sin20cos20cos40cos80
qsin40°
・cos40°
•cos80
4sin80
-cos80
sin160
8.
12.(2017•武汉调研)设a
B€[0,n],且满足sin
cosB—cos
asinB
a—B)+Sin(a—2B)的取值范围为(
A.[—21]
D.[1,.2]
C.[—1,1]
解析■/sin
acosB—cosasin
B=1,•sin(a
,冗],-
0W
n,
Wn,
•••sin(2a—B)+sin(
a—2B)=Sin2a—
+n
+sin(a—2a+
a+sina=2sina
n5厂
4Wa+〒W4n,A—1W•2
sina+4w1,即所求的取值范围是[—1,
1],故选C.
13.已知cos4a—sin4a
n,n
0,空,贝Ucos2a+-3=
解析cos4a—sin4a
=(sin2a+cos
2.22p
a)(cosa—sina)=cos2a=3,又
a€0,"
2,二2a€(0,n),—sin2
a=■1—Cos2a
諾,
二C0S2a+-3
1'
二2cos2a—尹2a
Jx2—逅应=25
2323-
14.(2016•西安模拟)如图,现要在一块半径为
为§
的扇形白铁片A0B上剪出一个平行四边形
在弧AB上,点Q在0A上,点MN在0B上,
设/BOPL9,平行四边形MNP劎面积为S.
(1)求S关于9的函数关系式.
⑵求S的最大值及相应的9角.
解⑴分别过P,Q作PDLOB于D,Q巳OB于E,则四边形
QED为矩形.
由扇形半径为1m,得PD=sin9,O亠cos9.在Rt△OEQ
PDM*QiD注4OMcos9-豹
中,01
9,S=MN-PD
=cos9—呼sin9•sin9=sin9cos9—今•sin29,
33
(2)由
(1)得S=2sin29—百(1—cos29)
=£
sin2B+fcos2B—f^fsin2B+~6—~63,
266366
.,冗~.nn5nn1
因为B€0,"
3,所以2B+~6€—,,sin20+石€刁1.
当0=纟时,Smax=£
(m).
1+tan(a+B)・tan
cos2a=2cosa—1=
25
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