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18种
5.(2001•江西)如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联,连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点B向结点A传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为( )
26
24
20
19
6.(2012•浙江)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
60种
63种
65种
66种
7.(2013•许昌三模)2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共( )
6种
12种
24种
8.(2009•湖北)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( ).
40种
100种
120种
9.(2013•山东)用0,1,2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
243
252
261
279
10.(2013•四川)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是( )
9
10
18
11.(2013•福建)满足a,b∈{﹣1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为( )
14
13
12
12.(2010•淄博二模)
的展开式中,常数项为15,则n=( )
3
4
5
6
13.(2011•天津)在
的二项展开式中,x2的系数为( )
14.(2012•安徽)(x2+2)(
)5的展开式的常数项是( )
﹣3
﹣2
2
15.(2010•陕西)(x+
)5(x∈R)展开式中x3的系数为10,则实数a等于( )
﹣1
1
16.(2012•湖北)设a∈Z,且0≤a≤13,若512012+a能被13整除,则a=( )
11
二.填空题(共14小题)
17.(2013•广元二模)某学校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 _________ 种.(用数字作答)
18.(2013•重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 _________ (用数字作答).
19.(2013•重庆)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 _________ .
20.(2013•浙江)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有 _________ 种(用数字作答)
21.(2007•天津)如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同的涂色方法共有 _________ 种(用数字作答).
22.(2013•四川)二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是 _________ (用数字作答).
23.(2013•天津)
的二项展开式中的常数项为 _________ .
24.(2013•浙江)设二项式
的展开式中常数项为A,则A= _________ .
25.(2011•湖北)(x﹣
)18的展开式中含x15的项的系数为 _________ .(结果用数值表示)
26.(2011•浙江)若二项式(x﹣
)6(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a的值是 _________ .
27.(2012•葫芦岛模拟)(1+2x2)(x﹣
)8的展开式中常数项为 _________ .
28.(2012•上海)若
,则a0+a1+a2+a3+a4+a5= _________ .
29.(2009•湖北)已知(1+ax)5=1+10x+a2x2+bx3+…+anxn,则a2= _________ .
30.(2012•浙江)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…a5为实数,则a3= _________ .
参考答案与试题解析
考点:
分类加法计数原理.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
两类课程中各至少选一门,包含两种情况:
A类选修课选1门,B类选修课选2门;
A类选修课选2门,B类选修课选1门,写出组合数,根据分类计数原理得到结果.
解答:
解:
可分以下2种情况:
①A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C31C42种不同的选法;
②A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C41种不同的选法.
∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种.
故选A.
点评:
本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.本题也可以从排列的对立面来考虑,写出所有的减去不合题意的,可以这样解:
C73﹣C33﹣C43=30.
分步乘法计数原理.菁优网版权所有
每位同学参加课外活动小组的方法数都是2种,5名同学,用分步计数原理求解.
5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有25=32种.
故选D.
本题要和5名同学争夺2个项目的冠军,冠军不并列的方法数加以区别.
分类加法计数原理;
选出的4人中恰有1名女同学的不同选法,1名女同学来自甲组和乙组两类型.
分两类
(1)甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法;
(2)乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法.故共有345种选法.
故选D
分类加法计数原理和分类乘法计数原理,最关键做到不重不漏,先分类,后分步!
计数原理的应用.菁优网版权所有
本题是一个分类计数问题,一是3本集邮册一本画册,让一个人拿本画册就行了4种,另一种情况是2本画册2本集邮册,只要选两个人拿画册C42种,根据分类计数原理得到结果.
由题意知本题是一个分类计数问题
一是3本集邮册一本画册,让一个人拿本画册就行了4种
另一种情况是2本画册2本集邮册,只要选两个人拿画册C42=6种
根据分类计数原理知共10种,
故选B.
本题考查分类计数问题,是一个基础题,这种题目可以出现在选择或填空中,也可以出现在解答题目的一部分中.
压轴题.
根据题意,计算各个路线的最大信息量,相加可得答案.
依题意,首先找出A到B的路线,一共有四条,
分别是:
BFGA,信息量最大量为6;
BCDA,信息量最大量为3,BEDA,信息量最大量为4,BHGA,信息量最大量为6,
故单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19,
本题考查分类计数的加法原理,对于此类问题,首先应分清是用分步计数还是分类计数.
本题是一个分类计数问题,要得到四个数字的和是偶数,需要分成三种不同的情况,当取得4个偶数时,当取得4个奇数时,当取得2奇2偶时,分别用组合数表示出各种情况的结果,再根据分类加法原理得到不同的取法.
由题意知本题是一个分类计数问题,要得到四个数字的和是偶数,需要分成三种不同的情况,
当取得4个偶数时,有
=1种结果,
当取得4个奇数时,有
=5种结果,
当取得2奇2偶时有
=6×
10=60
∴共有1+5+60=66种结果,
本题考查计数原理的应用,本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况,利用组合数表示出结果,本题是一个基础题.
排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有
分析法.
首先要分析2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.考虑到先把一所学校分好,剩下的一所学校的人就确定了,然后求出结果即可.
2所学校,每校分配1名医生和2名护士,考虑先把一所分好,剩下的一所学校的人就确定了,
所以有2×
C42=12种分法.
此题主要考查排列,组合简单计数问题的求法,在做此类题目要注意分析题中要求,再作答,属于中档题目.
排列、组合的实际应用.菁优网版权所有
分2步进行,首先从5人中抽出两人在星期五参加活动,再从剩下的3人中,抽取两人安排在星期六、星期日参加活动,分别计算其情况数目,由分步计数原理计算可得答案.
根据题意,首先从5人中抽出两人在星期五参加活动,有C52种情况,
再从剩下的3人中,抽取两人安排在星期六、星期日参加活动,有A32种情况,
则由分步计数原理,可得不同的选派方法共有C52A32=60种,
本题考查排列、组合的综合运用,注意优先分析特殊的元素,同时需要区分排列与组合的意义.
求出所有三位数的个数,减去没有重复数字的三位数个数即可.
用0,1,2,…,9十个数字,所有三位数个数为:
900,
其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位,十位数从余下的9个数字中选一个,个位数再从余下的8个中选一个,所以共有:
9×
8=648,
所以可以组成有重复数字的三位数的个数为:
900﹣648=252.
本题考查排列组合以及简单计数原理的应用,利用间接法求解是解题的关键,考查计算能力.
因为lga﹣lgb=
,所以从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga﹣lgb的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数
,从1,3,5,7,9这五个数中任取2个数排列后(两数在分子和分母不同),减去相同的数字即可得到答案.
首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列,共有
种排法,
因为
,
所以从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,
共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是:
20﹣2=18.
故选C.
本题考查了排列、组合及简单的计数问题,解答的关键是想到把相等的数字去掉,属基础题.
由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根,所以分两种情况:
(1)当a≠0时,方程为一元二次方程,那么它的判别式大于或等于0,由此即可求出a的取值范围;
(2)当a=0时,方程为2x+b=0,此时一定有解.
(1)当a=0时,方程为2x+b=0,此时一定有解;
此时b=﹣1,0,1,2;
即(0,﹣1),(0,0),(0,1),(0,2);
四种.
(2)当a≠0时,方程为一元二次方程,
∴△=b2﹣4ac=4﹣4ab≥0,
∴ab≤1.所以a=﹣1,1,2此时a,b的对数为(﹣1,0),(﹣1,2),(﹣1,﹣1),(﹣1,1),(1,﹣1),(1,0),(1,1);
(2,﹣1),(2,0),共9种,
关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种,
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根,在解题时要注意分类讨论思想运用.考查分类讨论思想.
二项式定理的应用.菁优网版权所有
利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0求出常数项,据n的特点求出n的值.
的展开式中,常数项为15,
则
所以n可以被3整除,
当n=3时,C31=3≠15,当n=6时,C62=15,
故选项为D
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.
二项式定理.菁优网版权所有
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为2,求出展开式中,x2的系数,即得答案.
展开式的通项为Tr+1=(﹣1)r22r﹣6C6rx3﹣r
令3﹣r=2得r=1
所以项展开式中,x2的系数为﹣
故选C
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.
(x2+2)(
)5的展开式的常数项是第一个因式取x2,第二个因式取
;
第一个因式取2,第二个因式取(﹣1)5,故可得结论.
第一个因式取x2,第二个因式取
,可得
第一个因式取2,第二个因式取(﹣1)5,可得2×
(﹣1)5=﹣2
∴(x2+2)(
)5的展开式的常数项是5+(﹣2)=3
本题考查二项式定理的运用,解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径.
二项式系数的性质.菁优网版权所有
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为3,列出方程求出a的值.
∵Tr+1=C5r•x5﹣r•(
)r=arC5rx5﹣2r,
又令5﹣2r=3得r=1,
∴由题设知C51•a1=10⇒a=2.
本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题.
由二项式定理可知512012+a=(52﹣1)2012+a的展开式中的项
含有因数52,要使得能512012+a能被13整除,只要a+1能被13整除,结合已知a的范围可求
∵512012+a=(52﹣1)2012+a
=
+…
+
+a
由于
含有因数52,故能被52整除
要使得能512012+a能被13整除,且a∈Z,0≤a≤13
则可得a+1=13
∴a=12
本题考查的知识点是整除的定义,其中根据已知条件确定a+1是13的倍数是解答本题的关键.
17.(2013•广元二模)某学校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 30 种.(用数字作答)
组合及组合数公式.菁优网版权所有
计算题;
压轴题;
分类讨论.
由题意分类:
(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,确定选法;
(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,确定选法;
然后求和即可.
分以下2种情况:
(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C31C42种不同的选法;
(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C41种不同的选法.
所以不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种.
故答案为:
30
本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
18.(2013•重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 590 (用数字作答).
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- 计数 原理