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(3)
′=
(g(x)≠0).
4.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·
ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
[小题体验]
1.已知f(x)=13-8x+2x2,f′(x0)=4,则x0=________.
2.曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为________.
1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xα)′=αxα-1与指数函数的求导公式(ax)′=axlna混淆.
2.求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.
3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.
[小题纠偏]
1.函数y=
的导函数为________________.
2.已知直线y=-x+1是函数f(x)=-
·
ex图象的切线,则实数a=________.
[题组练透]
求下列函数的导数.
(1)y=x2sinx;
(2)y=lnx+
;
(3)y=
(4)(易错题)y=xsin
cos
(5)y=ln(2x-5).
[谨记通法]
求函数导数的3种原则
[提醒] 复合函数求导时,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元.如“题组练透”第(4)题易错.
[锁定考向]
导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型既有选择题、填空题,也常出现在解答题的第
(1)问中,难度偏小,属中低档题.
常见的命题角度有:
(1)求切线方程;
(2)求切点坐标;
(3)求参数的值(范围).
[题点全练]
角度一:
求切线方程
1.(2017·
广州五校联考)曲线y=e
x在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.
e2 B.4e2
C.2e2D.e2
角度二:
求切点坐标
2.(2016·
郑州质检)曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为( )
A.(1,3)B.(-1,3)
C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)
角度三:
求参数的值(范围)
3.若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线,则实数a=( )
A.e
B.2e
C.e
D.2e
[通法在握]
与切线有关问题的处理策略
(1)已知切点A(x0,y0)求斜率k,即求该点处的导数值,k=f′(x0).
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.
(3)求过某点M(x1,y1)的切线方程时,需设出切点A(x0,f(x0)),则切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),再把点M(x1,y1)代入切线方程,求x0.
[演练冲关]
郑州质量预测)函数f(x)=excosx的图象在点(0,f(0))处的切线方程是( )
A.x+y+1=0B.x+y-1=0
C.x-y+1=0D.x-y-1=0
2.曲线y=alnx(a>0)在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则a=________.
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为( )
A.2(x2-a2) B.2(x2+a2)
C.3(x2-a2)D.3(x2+a2)
2.曲线f(x)=2x-ex与y轴的交点为P,则曲线在点P处的切线方程为( )
A.x-y+1=0B.x+y+1=0
C.x-y-1=0D.x+y-1=0
3.f(x)=x(2016+lnx),若f′(x0)=2017,则x0等于( )
A.e2B.1
C.ln2D.e
5.(2016·
湖南衡阳八中一模)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a>0且a≠1,f′(x)为f(x)的导函数,若f′
(1)=3,则a的值为________.
二保高考,全练题型做到高考达标
1.曲线y=ex-lnx在点(1,e)处的切线方程为( )
A.(1-e)x-y+1=0B.(1-e)x-y-1=0
C.(e-1)x-y+1=0D.(e-1)x-y-1=0
3.已知f(x)=ax4+bcosx+7x-2.若f′(2017)=6,则f′(-2017)为( )
A.-6B.-8
C.6D.8
4.(2017·
衡水调研)曲线y=1-
在点(-1,-1)处的切线方程为( )
A.y=2x+1B.y=2x-1
C.y=-2x-3D.y=-2x-2
5.已知f(x)=lnx,g(x)=
x2+mx+
(m<
0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f
(1)),则m的值为( )
A.-1B.-3
C.-4D.-2
6.(2017·
武汉调研)曲线f(x)=xlnx在点M(1,f
(1))处的切线方程为________.
7.曲线f(x)=ex在x=0处的切线与曲线g(x)=ax2-a(a≠0)相切,则a=________,切点坐标为________.
8.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:
y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=________.
9.求下列函数的导数.
(1)y=x·
tanx;
(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);
10.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1)求曲线f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
三上台阶,自主选做志在冲刺名校
1.已知曲线f(x)=x3+ax+
在x=0处的切线与曲线g(x)=-lnx相切,则a的值为________.
2.已知函数f(x)=
x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
第十一节
导数的应用
1.函数的单调性
在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.f′(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.
2.函数的极值
(1)函数的极小值:
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;
而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值:
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0;
而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
3.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;
若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
1.(教材习题改编)函数f(x)=ex-x的减区间为________.
2.(教材习题改编)函数f(x)=
x3-4x+4的极大值为________.
3.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则a的最大值是________.
1.求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯,会造成问题不能直观且有条理的解决.
2.求函数最值时,易误认为极值点就是最值点,不通过比较就下结论.
3.注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,b)”的区别.
1.函数f(x)=cosx-x在(0,π)上的单调性是( )
A.先增后减 B.先减后增
C.增函数D.减函数
2.函数y=2x3-2x2在区间[-1,2]上的最大值是________.
第一课时 导数与函数的单调性
[典例引领]
(2016·
山东高考节选)已知f(x)=a(x-lnx)+
(a>0),讨论f(x)的单调性.
[由题悟法]
导数法判断或证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的3步骤
(1)一求.求f′(x);
(2)二定.确认f′(x)在(a,b)内的符号;
(3)三结论.f′(x)>0时为增函数;
f′(x)<0时为减函数.
[提醒] 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
[即时应用]
已知函数f(x)=lnx-
(1)求证:
f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
(2)若f[x(3x-2)]<-
,求实数x的取值范围.
天津高考节选)设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R,求f(x)的单调区间.
求函数的单调区间的2方法
法一:
(1)确定函数y=f(x)的定义域;
(2)求导数f′(x);
(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
法二:
(2)求导数f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.
已知函数f(x)=lnx-bx+c,f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为x+y+4=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调区间.
设函数f(x)=
x3-
x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(1)求b,c的值;
(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间;
(3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理:
y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f′(x)≥0;
若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解.
[提醒] f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0,且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.
在本例中,
(1)若g(x)在(-2,-1)内为减函数,如何求解?
(2)若g(x)的单调减区间为(-2,-1),求a的值.
(3)若g(x)在(-2,-1)上不单调,求a的取值范围.
1.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为( )
A.(0,1) B.(0,+∞)
C.(1,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)
2.函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息:
①f′(x)>
0时,-1<
x<
2;
②f′(x)<
0时,x<
-1或x>
③f′(x)=0时,x=-1或x=2.
则函数f(x)的大致图象是( )
3.f(x)=x2-alnx在(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,1)B.(-∞,1]
C.(-∞,2)D.(-∞,2]
4.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为________.
5.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上的单调情况是________.
1.已知函数f(x)=x2+2cosx,若f′(x)是f(x)的导函数,则函数f′(x)的图象大致是( )
2.若幂函数f(x)的图象过点
,则函数g(x)=exf(x)的单调递减区间为( )
A.(-∞,0)B.(-∞,-2)
C.(-2,-1)D.(-2,0)
3.函数f(x)=x3-ax为R上增函数的一个充分不必要条件是( )
A.a≤0B.a<
C.a≥0D.a>
湖北襄阳模拟)函数f(x)的定义域为R.f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>
2,则f(x)>
2x+4的解集为( )
A.(-1,1)B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)
5.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则( )
A.g(a)<
0<
f(b)B.f(b)<
g(a)
C.0<
g(a)<
f(b)D.f(b)<
6.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间为________.
7.函数f(x)=x2-ax-3在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
8.已知函数f(x)(x∈R)满足f
(1)=1,且f(x)的导数f′(x)<
,则不等式f(x2)<
+
的解集为________.
9.已知函数f(x)=
-lnx-
,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于直线y=
x.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
10.已知函数f(x)=x2+alnx.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若函数g(x)=f(x)+
在[1,+∞)上单调,求实数a的取值范围.
1.已知函数f(x)=
-2x2+lnx(a>
0).若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则a的取值范围是________.
2.已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f
(2))处的切线的倾斜角为45°
,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2·
在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围.
第二课时 导数与函数的极值、最值
函数的极值是每年高考的必考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中,为中高档题.
(1)知图判断函数极值;
(2)已知函数求极值;
(3)已知函数极值情况求参数值(范围). [锁定考向]
知图判断函数极值
1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f
(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(1)
C.函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(2)
已知函数求极值
石家庄一模)已知函数f(x)=ex-3x+3a(e为自然对数的底数,a∈R),求f(x)的单调区间与极值.
已知函数极值情况求参数值(范围)
3.已知函数f(x)=
(2)设g(x)=xf(x)-ax+1,若g(x)在(0,+∞)上存在极值点,求实数a的取值范围.
1.利用导数研究函数极值问题的一般流程
2.已知函数极值点或极值求参数的2个要领
(1)列式:
根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:
因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则
的值为( )
A.-
B.-2
C.-2或-
D.2或-
2.设函数f(x)=
-klnx,k>
0,求f(x)的单调区间和极值.
(2017·
云南统测)已知常数a≠0,f(x)=alnx+2x.
(1)当a=-4时,求f(x)的极值;
(2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围.
求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的3步骤
(1)求函数在(a,b)内的极值;
(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);
(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
湖北七市(州)协作体联考)设n∈N*,a,b∈R,函数f(x)=
+b,已知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.
(1)求a,b;
(2)求f(x)的最大值.
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
利用导数解决生活中的优化问题的4步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;
(4)回归实际问题作答.
时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y(单位:
千套)与销售价格x(单位:
元/套)满足的关系式为y=
+4(x-6)2,其中2<
6,m为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.
(1)求m的值;
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(精确到0.1)
兰州诊断)设函数f(x)=
+2lnx.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)如果对所有的x≥1,都有f(x)≤ax,求a的取值范围.
利用导数解决不等式的恒成立问题的策略
首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围.也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
已知f(x)=(1-x)ex-1.
(1)求函数f(x)的最大值;
(2)设g(x)=
,x>
-1,且x≠0,证明:
g(x)<
1.
岳阳一模)下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( )
A.y=x3 B.y=ln(-x)
C.y=xe-xD.y=x+
2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f′(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
3.函数f(x)=
x3-4x+m在[0,3]上的最大值为4,则m的值为( )
A.7B.
4.函数y=xlnx有极________(填大或小)值为________.
5.函数f(x)=-x3+12x+6,x∈
的零点个数是________.
1.设函数f(x)=
+lnx,则( )
A.x=
为f(x)的极大值点
B.x=
为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
2.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x>
0),则获得最大利润时的年产量为( )
A.1百万件B.2百万件
C.3百万件D.4百万件
3.设直线x=t与函数h(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|最小时t的值为( )
A.1B.
C.
D.
4.若ex≥k+x在R上恒成立,则实数k的取值范围为( )
A.(-∞,1]B.[1,+∞)
C.(-∞,-1]D.[-1,+∞)
5.(2017·
河北三市二联)若函数f(x)=
x2+2bx在区间[-3,1]上不是单调函数,则函数f(x)在R上的极小值为( )
A.2b-
B.
b-
C.0D.b2-
b3
6.f(x)=
的极小值为________.
7.从边长为10cm×
16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,做成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为________cm3.
8.函数f(x)=x3-3ax+b(a>
0)的极大值为6,极小值为2,则f(
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