一元二次函数总结文档格式.docx
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2
2/11
y
1x2
y2x2
归纳:
一般地,抛物线y
ax2的对称轴是y轴,顶点是原点,当a0时,抛物
线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小;
当a
0时,
抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,
a越大,抛物线的开口越大。
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置
,y
1)
的图象,考虑他们的开口方向、
例2:
画出二次函数y
(x1)
(x
对称轴和顶点。
3/11
(x1)
可以看出,抛物线y
(x1)2的开口向下,对称轴是进过点(
-1,0)且与x轴
垂直的直线,记为x=-1,顶点是(-1,0);
抛物线y
的开口向下,对
称轴是x=1,顶点是(1,0)。
例3:
画出函数y
1(x1)21的图象,指出它的开口方向、对称轴及顶点。
1x2经过怎样的变换可以得到抛物线y
1(x1)2
1?
1(x1)21的开口方向向下、对称轴是x=-1,顶点是(-1,-1)。
把抛物线y
1x2向下平移
1个单位,再向左平移
2个单位,就得到抛物线
1(x
1)21。
a(xh)2
k与yax2形状相同,位置不同。
把抛物
线y
ax2向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线
ya(xh)2
k。
平移的
方向、距离要根据h,k的值来决定。
抛物线ya(xh)2k有如下特点:
(1)当a0时,抛物线的开口向上;
当a0时,抛物线的开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
4/11
(3)顶点坐标是(h,k)
例4:
画出y1x26x21的图象
归纳:
一般地,可以用配方法求抛物线
yax2
bxc(a
0)的顶点与对称轴
ax2
bx
ca(x
b)2
4ac
b2
2a
4a
因此,抛物线yax2
c的对称轴是x
b,顶点坐标是
(
b
4acb2
).
(2)
c的大小决定抛物线y
ax2
bxc与y轴交点的位置.
当x
0时,y
c,∴抛物线y
bxc与y轴有且只有一个交点(0,c):
①c0,抛物线经过原点;
②c0,与y轴交于正半轴;
③c0,与y轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则
b0.
a
5/11
(2)a,b同号,对称轴在y轴左侧,反之,再y轴右侧
|x1-x2|=
4ac,与y轴交点为(0,c)
22
b-4ac>
0,ax+bx+c=0有两个不相等的实根
b-4ac<
0,ax+bx+c=0无实根
b2-4ac=0,ax2+bx+c=0有两个相等的实根
二.四、根的分布,根据函数图象来判断其所需要满足的条
件
1.若x<y<m﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足:
┏△>0
┣﹣2a/b<m
┗f(m)>0
2.若m<x<y﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足:
┣﹣2a/b>m
3.若x<m<y﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足:
4.若x,y∈﹙m,n﹚﹙m,n为x轴上的一点﹚,则需满足:
┣m<﹣2a/b<n┗f(m)>0,f(n)>0
5.若m<x<n<y<p﹙m,n,p为x轴上的一点﹚,则需满足:
┏f(m)>0┣f(n)<0┗f(p)>0
6.若只有一根在﹙m,n﹚之间﹙m,n为x轴上的一点﹚,则需满足:
┏△=0
┗m<﹣2a/b<n
或f(m)·
f(n﹚<0
┏f(m)=0
或
┗m<﹣2a/b<﹙n+m﹚/2
6/11
┏f(n)=0
┗﹙n+m﹚/2<﹣2a/b<n
五、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①yax2;
②yax2k;
③yaxh2;
④yaxh2k;
⑤yax2bxc.
图像特征如下:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
x
0(y轴)
(0,0)
k
当a0时
(0,k)
ax
h2
开口向上
h
(h,0)
yaxh2
xh
(h,k)
开口向下
4acb
ax
c
,
)
六、二次函数图像的变换规律:
抛物线y=a(x-h)
2+k的图像,可以由y=ax2得图像移动而得到。
y=ax2(a>0)的图像沿x轴翻折y=-ax2(a>0)
.
的图像
当h<0时,向左平移错误!
未找到引用源。
个单位长度,
当h>0时,向右平移错误!
个单位长度y=a(x-h)2的图像
当k>0时,向上平移错误!
个单位长度
当k<0时,向下平移错误!
个单位长度y=a(x-h)2-k的图像
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写成一般形式
y=ax2+bx+c的图像
规律:
在原有函数基础上“h值正右移,负左移,k值正上移,负下移”
七、直线与抛物线的交点(或称二次函数与一次函数关系)
(1)
y轴与抛物线y
bxc得交点为(0,c
与y轴平行的直线
h与抛物线yax2
bxc有且只有一个交点
(h,ah2
bhc).
(3)抛物线与x轴的交点
二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应
一元二次方程
ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次
方程的根的判别式判定:
①
有两个交点
抛物线与x轴相交;
②
有一个交点(顶点在x轴上)
0抛物线与x轴相切;
③
没有交点
抛物线与x轴相离.
(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两
交点的纵坐标相等,设纵坐标为
k,则横坐标是ax2
k的两个实数
根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
(5)
一次函数ykxnk
0的图像l与二次函数y
ca0的图
像G的交点,由方程组
kx
n
的解的数目来确定:
bxc
程组有两组不同的解时
l与G有两个交点;
程组只有一组解时
l与G只有一个交点;
③方程组无解时
l与G没有交点.
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(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:
若抛物线y
c与x轴两交点
为Ax1,0,Bx2,0
由于x1、x2
是方程ax2
0的两个根,故由韦
达定理知:
b,x
AB
x1x2
x1
4x1x2
4c
八、二次函数与一元二次方程的关系:
一元二次方程0
c就是二次函数y
bxc当函数y的值
为0时的情况.
二次函数y
c的图象与x轴的交点有三种情况:
有两个交点、
有一个交点、没有交点;
当二次函数y
c的图象与x轴有交
点时,交点的横坐标就是当y0时自变量x的值,即一元二次方程
c0的根.
(3)当二次函数y
bxc的图象与x轴有两个交点时,则一元二次方程
c有两个不相等的实数根;
当二次函数y
bxc的图
象与x轴有一个交点时,则一元二次方程
0有两个相等的实
数根;
当二次函数y
bxc的图象与x轴没有交点时,则一元二次
方程ax2
0没有实数根。
例5:
观察函数y
2,yx2
6x9,yx2
1的图象与x轴的交点,得
出一元二次方程的根。
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可以看出:
(1)抛物线yx2x2与x轴有两个公共点,他们的横坐标是-2,1.当x去公共
点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x2x20的根是-2,1.
(2)抛物线y
6x
9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是
3,当x=3时,
函数值是0.由此得出方程x2
6x90有两个相等的实数根3。
(3)抛物线y
x1与x轴没有公共点,可知,方程x2
x1
0没有实根。
一般地,从二次函数
bxc的图象可知,
(1)如果抛物线y
c与x轴有公共点,公共点的横坐标时x0,那么当
xx0及时方程ax2
0的一个根。
(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:
没有公共点(
4ac0),
有一个公共点(
0),有两个公共点(b2
4ac0)。
这对应着一元二次
方程根的三种情况:
没有实数根,有两个相等的实数根(xb),有两个不相
等的实数根(x1
bb2
4ac,x2
4ac)。
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九、二次函数y=ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线,是轴对称图形,所以作图时常用简化的描点法和五点法,其步骤是:
(1)先找出顶点坐标,画出对称轴;
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等);
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来
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- 一元 二次 函数 总结