届湖南省师大附中高三上学期第次四月考试文科数学试题解析版文档格式.docx
- 文档编号:16563286
- 上传时间:2022-11-24
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:47.85KB
届湖南省师大附中高三上学期第次四月考试文科数学试题解析版文档格式.docx
《届湖南省师大附中高三上学期第次四月考试文科数学试题解析版文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届湖南省师大附中高三上学期第次四月考试文科数学试题解析版文档格式.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(A)充要条件(B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件
【解析】根据题意,分两步来判断:
①当α∥β时,∵a⊥α,且α∥β,∴a⊥β,又∵b⊂β,∴a⊥b,则a⊥b是α∥β的必要条件;
②若a⊥b,不一定α∥β,当α∩β=b时,又由a⊥α,则a⊥b,但此时α∥β不成立,即a⊥b不是α∥β的充分条件,则a⊥b是α∥β的必要不充分条件,故选C.
(5)Sn为等差数列{an}的前n项和,S9=-36,S13=-104,等比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7,则b6等于(D)
(A)4(B)4(C)-4(D)±
4
【解析】在等差数列{an}中,S9==9a5=-36,S13==13a7=-104,∴b5=-4,b7=-8,∴b=b5b7=32,b6=±
4.
(6)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=4,b=2,sin2A=sinB,则c边的长为(D)
(A)2(B)3(C)4(D)2或4
【解析】由sin2A=sinB得2sinAcosA=sinB,由正弦定理知,2×
4cosA=2,cosA=,再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,解得c=2或4.
(7)已知直线l1:
x-2y-1=0,直线l2:
ax+2y+2a=0,其中实数a∈[-1,5].则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为(A)
(A)(B)(C)(D)
【解析】设事件A为“直线l1与l2的交点位于第一象限”,由于直线l1与l2有交点,则a≠-1.联立方程组解得x=,y=,∵直线l1与l2的交点位于第一象限,则x=>
0,y=>
0,解得-1<
a<
0,又a∈[-1,5],∴P(A)=,即直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为.故选A.
(8)设x,y满足则z=x2-10x+y2+25的最小值为(B)
(A)12(B)13(C)16(D)26
【解析】由题意作出不等式组表示的平面区域,z=x2-10x+y2+25=+y2表示点(5,0)到可行域内的点的距离的平方,由图形分析可知所求最小值为点(5,0)到直线3x-2y-2=0的距离的平方为13.
(9)如图,在四棱锥C-ABOD中,CO⊥平面ABOD,AB∥OD,OB⊥OD,且AB=2OD=12,AD=6,异面直线CD与AB所成角为30°
,点O,B,C,D都在同一个球面上,则该球的表面积为(B)
(A)72π(B)84π(C)128π(D)168π
【解析】因AB∥OD,∴∠CDO就是异面直线CD与AB所成角为30°
,而OD=6,CO⊥平面ABOD,故CO=ODtan30°
=2,在直角梯形ABOD中,可求OB=6,以OB、OC、OD为相邻三条棱补成一个长方体,则该长方体的外接球半径即为所求球的半径==,则该球的表面积为84π.
(10)已知双曲线C:
-=1的左、右焦点分别是F1、F2,正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B,且=4,则双曲线C的离心率为(D)
(A)+1(B)
(C)+1(D)
【解析】由题意,F1(-c,0),A(0,c),设B(x,y),则∵=4,∴(-c,-c)=4(-c-x,-y),∴x=-c,y=,代入双曲线方程可得-=1,∴9e4-28e2+16=0,∴e=.故选D.
(11)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有(A)
(A)10个(B)9个(C)8个(D)1个
【解析】作出两个函数的图象如下,∵函数y=f(x)的周期为2,在[-1,0]上为减函数,在[0,1]上为增函数,∴函数y=f(x)在区间[0,10]上有5次周期性变化,在[0,1]、[2,3]、[4,5]、[6,7]、[8,9]上为增函数,在[1,2]、[3,4]、[5,6]、[7,8]、[9,10]上为减函数,且函数在每个单调区间的取值都为[0,1],再看函数y=|lgx|,在区间(0,1]上为减函数,在区间[1,+∞)上为增函数,且当x=1时y=0;
x=10时y=1,再结合两个函数的草图,可得两图象的交点一共有10个,故选:
A.
(12)已知函数f=的图象与函数y=g的图象关于y轴对称,若函数y=f与函数y=g在区间上同时单调递增或同时单调递减,则实数m的取值范围是(B)
(A)∪[4,+∞)(B)
(C)(D)
【解析】函数y=g=|2-x-m|=,当两个函数在区间上同时单调递增时,必有在区间上f=2x-m,g=m-,且,解得≤m≤2;
当两个函数在区间上同时单调递减时,必有在区间上f=m-2x,
g=-m,且,此时m无解,综上所述,≤m≤2.
参考答案
选择题答题卡
题 号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
答 案
C
A
D
B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分.
(13)为了解高中生用电脑输入汉字的水平,随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试,右图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图,其中每分钟输入汉字个数的范围是[50,150],样本数据分组为[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150].已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36,则样本中每分钟输入汉字个数不小于70个且小于130个的人数是__90__.
【解析】设在[50,70)内的频数为k,由频率分布直方图可知,在[70,90)内的频数为2k.由3k=36,得k=12.因为在[90,110)内的频数为3k;
在[110,130)内的频数为k,则5k+k=60+30=90.
(14)若直线l1:
y=-x关于直线l的对称直线为l2:
x+y-2=0,则直线l的方程为__x+y-1=0__.
(15)已知梯形ABCD中,AD∥CB,AB=CD=2,BC=1,∠BAD=,点E在边BC上运动,则·
取值范围是__[3,6]__.
【解析】方法一:
坐标法;
方法二:
·
是在上的投影与||的乘积.
(16)已知直线y=mx与函数f(x)=的图象恰好有3个不同的公共点,则实数m的取值范围为__(-∞,-)__.
【解析】做出f(x)的图象,可知m≥0时,直线y=mx与f(x)只有一个交点,不符题意;
当m<
0时y=mx与y=-2,x<
0有一个交点,故y=mx与y=-x2-1,x≥0必有两个交点,即方程-x2-1=mx(x>
0)必有两不等正实根,即方程x2+2mx+2=0必有,解得m<
-.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
某年级教师年龄数据如下表:
年龄(岁)
人数(人)
22
1
28
2
29
3
30
5
31
32
40
合计
20
(Ⅰ)求这20名教师年龄的众数与极差;
(Ⅱ)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名教师年龄的茎叶图;
(Ⅲ)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议,求所选的2位教师年龄不全相同的概率.
【解析】
(Ⅰ)年龄为30岁的教师人数为5,频率最高,故这20名教师年龄的众数为30,极差为最大值与最小值的差,即40-22=18.3分
(Ⅱ)
7分
(Ⅲ)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29,31岁的教师共有7名,从其中任选2名教师共有=21种选法,3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法,4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法,所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21-9=12种,所以P(A)==.12分
(18)(本小题满分12分)
在几何体ABCDE中,∠BAC=,DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC,AB=AC=2,且AE与平面ABC所成角为,CD=1.
(Ⅰ)设平面ABE与平面ACD的交线为直线l,
求证:
l∥平面BCDE;
(Ⅱ)设F是BC上的点,且DF⊥EF,求证:
平面AFD⊥平面AFE;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求三棱锥E-FDA的体积.
(Ⅰ)∵DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC,
∴DC∥EB,又∵DC⊄平面ABE,EB⊂平面ABE,
∴DC∥平面ABE,
l=平面ABE∩平面ACD,则DC∥l,
又l⊄平面BCDE,CD⊂平面BCDE,
所以l∥平面BCDE.5分
(Ⅱ)设CF=x,在△DEF中,因为FD⊥FE,所以DF2+EF2=DE2,
即:
1+x2+(2-x)2+22=
(2)2+1得x=,所以F为BC的中点.
由DC⊥平面ABC,AF⊂平面ABC,∴DC⊥AF,
又∵AB=AC,F是BC的中点,∴AF⊥BC,
又∵DC∩BC=C,DC⊂平面BCDE,BC⊂平面BCDE,
∴AF⊥平面BCDE,∴AF⊥FD,又∵AF∩FE=F,∴FD⊥平面AFE,
又FD⊂平面AFD,故平面AFD⊥平面AFE.9分
(Ⅲ)VE-FDA=VA-EFD=·
S△EFD·
AF=×
×
=1.12分
(19)(本小题满分12分)
f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=.
(Ⅰ)求f和f+f的值;
(Ⅱ)数列{an}满足:
an=f(0)+f+…+f+f
(1),数列{an}是等差数列吗?
请给予证明;
(Ⅲ)令bn=,Tn=b+b+…+b,证明Tn<
2.
(Ⅰ)因为f+f=,所以2f=,所以f=.
令x=,则f+f=f+f=.2分
(Ⅱ)an=f(0)+f+…f+f
(1),
又an=f
(1)+f+…f+f(0),
两式相加2an=[f(0)+f
(1)]++[f(0)+f
(1)]=,
所以an=,所以an+1-an=,故数列{an}是等差数列.8分
(Ⅲ)bn==,
Tn=b+b+…+b=++…+≤1+++…+
=1+1-+-+…+-=2-<
2.12分
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形,且该三角形的面积为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设F1、F2是椭圆C的左右焦点,若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2,求这个平行四边形面积的最大值.
(20)
(Ⅰ)∵椭圆C:
+=1(a>b>0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形,且该三角形的面积为,
∴依题意解得a=2,b=,c=1,
∴椭圆C的方程为:
+=1.4分
(Ⅱ)设过椭圆右焦点F2的直线l:
x=ty+1与椭圆交于A,B两点,
则整理,得:
(3t2+4)y2+6ty-9=0,
由韦达定理,得:
y1+y2=,y1y2=,6分
∴|y1-y2|===,
∴S△OAB=S△OF2A+S△OF2B=×
|OF2|×
|y1-y2|=,
椭圆C的内接平行四边形面积为S=4S△OAB=,10分
令m=≥1,则S=f(m)=,
注意到S=f(m)在[1,+∞)上单调递减,∴Smax=f
(1)=6,
当且仅当m=1,即t=0时等号成立.
故这个平行四边形面积的最大值为6.12分
(21)(本小题满分12分)
已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.
(Ⅰ)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(Ⅱ)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)证明:
对一切x∈(0,+∞),都有lnx>-成立.
(Ⅰ)f(x)=xlnx,∴f′(x)=lnx+1
当x∈,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈,f′(x)>0,f(x)单调递增.2分
①0<t<时,f(x)min=f=-;
②≤t时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt;
∴f(x)min=4分
(Ⅱ)2f(x)≥g(x)恒成立,
∴a≤x++2lnx恒成立,
令h(x)=x+2lnx+,
则h′(x)=1+-=,6分
由h′(x)=0,得x1=-3,x2=1,
x∈(0,1)时,h′(x)<0;
x∈(1,+∞)时,h′(x)>0.
∴x=1时,h(x)min=1+0+3=4.
∴a≤4.
∴实数a的取值范围是(-∞,4].8分
(Ⅲ)对一切x∈(0,+∞),都有lnx>-成立,
∴xlnx>-,∴f(x)>-,
由(Ⅰ)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-,当且仅当x=时取到.10分
设m(x)=-,(x∈(0,+∞)),则m′(x)=,
∵x∈(0,1)时,m′(x)>0,
x∈(1,+∞)时,m′(x)<0,
∴m(x)max=m
(1)=-,
从而对一切x∈(0,+∞),lnx>-成立.12分
【点评】考查了利用导函数判断函数的单调性,利用导数求函数的最值,根据单调性对参数的分类讨论求函数的最值.分类讨论思想的应用.
请考生在第(22)~(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
做答时请写清题号。
(22)(本小题满分10分)选修4-4:
极坐标与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).
(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.
(Ⅰ)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,
∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为:
ρ2=4ρcosθ,
∴x2+y2=4x,∴(x-2)2+y2=4.5分
(Ⅱ)将代入圆的方程(x-2)2+y2=4得:
(tcosα-1)2+(tsinα)2=4,
化简得t2-2tcosα-3=0.8分
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,
则
∴|AB|=|t1-t2|==,
∵|AB|=,∴=.
∴cosα=±
.
∵α∈[0,π),∴α=或α=π.
∴直线的倾斜角为α=或α=π.10分
(23)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知a>0,b>0,且a+b=1.
(Ⅰ)若ab≤m恒成立,求m的取值范围;
(Ⅱ)若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围.
(Ⅰ)∵a>0,b>0,且a+b=1,
∴ab≤=,当且仅当a=b=时“=”成立,
由ab≤m恒成立,故m≥;
5分
(Ⅱ)∵a,b∈(0,+∞),a+b=1,
∴+=(a+b)=5++≥9,
故+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,
则|2x-1|-|x+2|≤9,8分
当x≤-2时,不等式化为1-2x+x+2≤9,解得-6≤x≤-2,
当-2<x<,不等式化为1-2x-x-2≤9,解得-2<x<,
当x≥时,不等式化为2x-1-x-2≤9,解得≤x≤12,
综上所述x的取值范围为[-6,12].10分
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 湖南省 师大附中 上学 期第次 四月 考试 文科 数学试题 解析