高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练57文docWord下载.docx

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将①代入上式得SEH

X2y2

5-（202广西南宁、梧州摸底联考）已知椭圆/+沪l®

b〉0）的左、右焦点分别为Fl,F2,

过Fi且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，直线AF?

与椭圆的另一个交点为C,若S△做=3SABCF2,则椭圆的离心率为（）

（、壘

•5

答案A

12

解析设椭圆的左、右焦点分别为Fi（-c,0）,F,c,0），将x=-c代入椭圆方程得y=±

—・

a

设A（-c,—）,C（x,y）,由Saabc=3SABCE2,可得祚2=2祗，即有（2c,—丄）=2（x—c,

aa

b2b24c2b2

y）,即2c=2x—2c,—~=2y,可得x=2c,y=——,代入椭圆方程可得丁+舌=1.由e

=?

b-a2-c2,得4e出-存=1,解得。

=專故选A・

乙乙/Q

6-已知椭圆U卄討l@>

b〉O）的离心率为*,过右焦点F且斜率为k（k>

0）的直线与C相交于A,B两点.若向量AF=3FB,则k=（）

A.1B.^/2

CpD.2

rrr

解析设点A（x】，yj,B（X2,y2）•因为AF=3FB,故y】=—3兀.因为e=?

，设s=2t,c

=^/3t,b=t,故x2+4y2—4t2=0,直线AB的方程为x=sy+萌t.代入消去x,所以（s'

+

4）y'

+2羽sty—1?

=0,所以yi+y2=_^/^：

丫$2=_$2；

］，-2y2=_^/^丁,—3y22=

一孑旨，解得s2=|,又k=£

贝ijk=y[2•故选B.

7.己知直线l：

y=k（x+2迈）与椭圆x2+9y2=9交于A,B两点，若|AB|=2,则k=.

答案土申

解析椭圆x2+9y2=9即椭圆才+『=1，所以椭圆的焦点坐标为（±

2德，0）.因为直线y

36V2k2

—l+9k2

72k2-9

X1X2=7+9kF，

所以|AB|=寸1+!

?

・yj（xi+x2）—4xiX2=6；

鳥［），因为丨AB|

=k（x+2边），所以直线过椭圆的左焦点F（—2逅，0）,设Ag,y】），B（x2,y2）,将直线y=k（x+2迈）代入椭圆x2+9y2=9,可得（l+9k2）x2+36^/2k2x+72k2—9=0,所以xi+x2==2,所以6盘?

=2,所以k=±

¥

・

v2

8.直线m与椭圆-+y2=l交于Pi,P2两点，线段PH的中点为P,设直线m的斜率为k】

（ki

H0）,直线OP的斜率为k?

贝ijkk的值为

答案-*

解析由点差法可求出k.=-l・耳，

zy中

ki・—=即kik2=

X中ZZ

9.（2018•河北唐山期末）设冉，F2为椭圆C：

^+p=l（a>

0）的左、右焦点，经过冉的直

ab

线交椭圆C于A,B两点，若△bAB是面积为4书的等边三角形，则椭圆C的方程为.

答案?

+?

=1

解析由△FzAB是面积为4萌的等边三角形知八B垂直x轴，得牛=¥

>

<

2c,*X2cX^=

4*\/3,a2=b2+c2,解得a2=9,b'

=6,c2=3.所以的椭圆方程为眷+〒=1.

10.椭圆r:

冷+占=l（a>

b〉0）的左、右焦点分别为Fi,F2,焦距为2c.若直线y=p5（x+

ao

c）与椭圆r的一个交点M满足ZMF!

F2=2ZMF2Fi,则该椭圆的离心率等于.

答案V3-1

解析由直线y=J5（x+c）知其倾斜角为60°

由题意知ZMFiF2=60°

则ZMF2Fi=30°

ZFiMF2=90°

.

故|MFd=c,|MF2|=^3c.

又|MFi|+|MF2|=2a,A（*\/3+l）c=2a.

xv

11.已知椭圆-+-=l（0<

m<

9）的左、右焦点分别为冉、F2,过H的直线交椭圆于A,B两点,

ym

若|AF2|+|BF2|的最大值为10,则m的值为.

答案3

X2v2

解析己知在椭圆7-+^=l（0<

9）屮，a2=9,b2=m.|AF2|+|BF2|=4X3-|AB|<

10,

9m

QI2Q

|AB|^2,|AB|.ln=—=~^=2,解得m=3.

V

12.（2018•衡水屮学调研卷）过椭圆y+y2=l的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于

A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,则点G的横坐标的取值范围为.

答案（_£

，0）

解析设直线AB的方程为y=k（x+l）（kH0）,代入寺+y2=i,整理得（l+2k2）x2+4k2x+

2『一2=0,A=（4k2）2-4（l+2k2）X（2k2-2）=k2+l>

0.设A（x”yJ,B（x2,y2）,AB的中4k29k

点为N（xo,y°

）,则xi+x2=—yi+y2=2k7+T，・°

・AB的垂直平分线NG的方程为y—

1/2k2k"

k211

yo=-^（x-xo）.令y=0,得XG=x°

+ky°

=—乔所+乔所=—乔门乔巨.Tk

13.（2018•江苏泰州中学月考）已知直线y=—x+l与椭圆A?

+n=l（a>

0）相交于A,B

14.

2a2-aV=2a2（a2-aV）,2a~匕

=1+吕孑

k2+2

-V^+4k+2迟所以==返

x2—X1v

15.设Fi,F2分别是椭圆E：

x2

=l（O<

b<

1）的左.右焦点，过Fi的直线1与E相交于

A,B两点,M|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.

（1）求|AB|；

（2）若直线1的斜率为1,求实数b的值.

答案

（1）|⑵平

解析

（1）由椭圆定义知IAF2I+|AB|+|BF2|=4,

4

又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=-

⑵1的方程为y=x+c,其中c=yjl_b1

y=x+c,

设A（xi,yi）,B（X2,『2）,则A,B两点坐标满足方程组*2（y2

XIT2=1・b

化简,得（1+1）2）x2+2cx+1—21）2=0.

—2c1—2b2

贝9X]+X2—]|J,X1X2~II|^2~.

因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=J^X2-X]|.

解得b=爭.

即g=^|x2-X」.

甘8/,、2,4（1-b2）4（l-2b2）8b1

则§

—（x】+x2）—4x（X2_（]+b?

）2——丽——（]+b?

）2,

XV

16.（2018-T东六校联盟二联）已知椭圆^+^=l（a>

0）的左、右焦点分別为F.（-3,0）,

F2（3,0）,直线y=kx与椭圆交于A,B两点.

⑴若AAFE的周长为4^3+6,求椭圆的标准方程；

⑵若k>

半，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围.

结合a2=b2+c\解得a=12,Id=3.

所以椭圆的标准方程为看+討1•

（2）由《a'

+b，1'

消去y,得（b2+a2k2）x2-a2b2=0.

』=kx,

设A（xi,yj,B（X2,y2）,所以xi+x2=0,xiX2~^2■易知，AF2丄BF-厶因为議=（X1—3,yi）,F2B=（X2—3,y2）>

+9=0,

所以F2A・F2B=（xi—3）（x2—3）+y$2=（l+k2）xix2+9=o,nn—a2（a2—9）（1+k2）

即—a2k2+（a2-9）—

心卄*仙“，2a4—18a2+81.81

特其*理为k=—J+i8『=-1

因为|k|,所以12<

a2<

18,即2y[3<

a<

3y[2.

17.（2018•杭州市二中模拟）已知椭圆E的两个焦点分别为F.（-l,0）和F2（l,0）,离心率

（1）求椭圆E的方程;

（2）设直线y=x+m（m#0）与椭圆E交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T,

答案（l）y+y2=l

解析

（1）根据题意得

Cc=L

Ic_^2a_2'

a2=b2+c%

解得

b=l,

lc=l.

当m变化时，求ATAB面积的最大值.

所以椭圆E的方程为》+『=1.

（2）设A（xi,yi）,B（X2,y2）,

\+『=1,

2

联立丫

化简得3x"

+4mx+2m"

—2=0.

_y=x+m,

•••直线与椭圆有两个不同的交点,

•••A=（4m）2-12（2m2-2）>

0,

即一且mHO.

4m

由根与系数的关系，得Xi+X2=—丁

2m—2

XiX2=——

-、‘X1+X22m,m

设AB的中点为C,xc=—-一=一-,yc=xc+m=-

・・・线段AB的垂直平分线的方程为y—¥

=—（x+罟）•

・••点T的坐标为（一扌,0）.

2,

尹a/?

T到直线AB的距离d=^-=^-|m|,

.•.SATABmax

由眩长公式得IAB|=迈7（xi+x2）'

—4x1X2=討3_皿1

当m2=,|,即m=土爭丘（-萌,羽）时等号成立.

1.由椭圆b2x2+a2y2=a2b2（a>

0）的顶点B（0,—b）引一条弦BP,当时,|BP|的最

大值为（）

b2a2

A.•R.•

n・/272l~272

yja_by/&

_b

pJnb?

]M1

解析设P（X,y），因为X2=a2—^7y2（—b<

y^b）,所以|BP|=*\/x2+（y+b）=-

1

yj（b"

—a~）y"

+2by+b"

（a"

+b2）,因为a2&

b,所以当y=—时,IBP|取得最大值,

且|BPLax=-7==^.

y/n_b~

xV

2.（2018•广西来宾高中模拟）已知椭圆C：

斤+专=1的左、右顶点分別为A】，A?

点P在椭圆C±

且直线PA?

的斜率的取值范围是[—2,-1],那么直线PA】的斜率的取值范围是

（）

A.

「1

B.[刁#

C.[|,1]

D.[|,2]

解析由题易知Ai（-2,0）,A2（2,0）,设P（x,y）,直线PA】,PA2的斜率分别为k】,k2,

k.eg,自,故选A.

3.

已知椭圆具有如下性质：

若椭圆的方程为扌+〒=1（a>

0）,则椭圆在其上一点A（x0,yo）

焦距为2,且过点（1,平），点B为G在第一象限中的任意一点，过B作G的切线1,1分

别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点，贝IJAOCD面积的最小值为（）

A.半B.V2

C.^3D.2

解析由题意可得2c=2,即c=l,a2-b2=l,将点（1,平）代入椭圆方程，可得占+命=

1,解得d=返b=l,即椭圆的方程为才+y'

=l,设B（X2,yj,则椭圆C】在点B处的切线

y912"

YoV?

又点B为椭圆在第一象限上的点，所以x2>

0,y2>

0,可+y/=l,即有一==^~+~

2x2y2x2y22y2x2

钦.三=迄,即Saco冷，当且仅当y=y22=|,即点B的址标为（1,平）时，△OCD面积取得最小值迈，故选B.

22历

4.已知椭圆C：

^+^2=1（a>

0）的一个顶点A（2,0）,离心率为*,直线y=k（x—1）与

椭圆C交于不同的两点M,N.

（1）求椭圆C的方程；

（2）当/^卜^的面积为零时，求实数k的值.

X2V2

答案⑴〒+牙=1

（2）k=±

l

解析⑴Ta=2,e=》=乎，Ac=y[2,b=甫.

v2v2椭圆C：

才+丁=i.

•••直线y=k（x-l）恒过椭圆内一点（1,0）,

•:

A>

0恒成立.

Saamn=^X1X|y!

—y-d=*X|kxj—kx2|

即7k4-2k2-5=0,解得k=±

l.

⑴求椭圆C的标准方程;

答案（l）^-+y=l

（2）y=—|x+3或y=|x+3

x2

解析（DMC：

討討l（a>

b〉0）的焦点在x轴上,右焦点为（1,0）,Mc=l,

pI

由椭圆的离心率m，得b—=3,・・・椭圆C的标准方程为才+寸=1.

（2）若直线m的斜率不存在，可得点A的坐标为（0,、但），点B的坐标为（0,—£

）,显然不满足条件，故此时方程不存在.

若直线m的斜率存在，

设其方程为y=kx+3,A（xi,yi）,B（X2,y?

）,

y9

TA是PB的中点,Axi=y,①

yz+3

X22

T

X2=2,X2=—2,

联立①②③④，解得°

或八即ly2=0[y2=0,

点B的坐标为（2,0）或（一2,0）,

・・・直线H）的斜率为一㊁或㊁，贝I」

33

直线m的方程为丫=一尹+3或y=^x+3.

6.已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点是Fi（0,—1）,离心

⑴求椭圆的标准方程;

（2）HE作直线交椭圆于儿B两点，F2是椭圆的另一个焦点，求SAABF2的取值范虱

/•b=y]a2—c=yj2,

⑴由条件可设椭圆方程为甘沪1@>

0）,则有c=l,

x?

y?

・••所求椭圆的方程是耳+寸=1.

⑵由条件设直线AB的方程为y+l=kx.

将y=kx—l代入椭圆方程，得（2k2+3）x2-4kx-4=0.

设A（xi,yi）,B（x2,y2）,A=16k2+16（2k2+3）=48（k2+1）>

16k2

（2k2+3）2

（X1—X2）2=（x】+x2）‘—4X1X2=

SZ\ABF2=RF1F21IXi—x*21=.Xi—X21•

1648（k2+l）

2l?

+3二（2弋+3）八

（2t+l）I

令t=k2+l,贝'

J设g（t）=t=4t+?

+4.

・・X（t）=4-討”,

当t$l时,gz（t）^0,Ag（t）在[1,+8）上单调递增,

点分别为Fi,

F2,且离心率是*,过坐标原点0的任一直线交椭圆C于M,N两点，且INF2I

+|MF2|=4.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线1：

y=kx+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且与圆x2+y2=1相切.

（i）求证:

m2=k2+l；

（ii）求矗•丽的最小值.

答案（1斤+善=1

（2）（门略（H）-|

解析⑴设M（x,y）是椭圆上任一点，则N（-x,-y）,V|NF2|+IMF2I=4,:

.yj（x-c）2+y2+寸（一x—c）'

+（―y）2=4,即p（x—c），+y2+yj（x+c）24-y2=4,

y）到点（c,0）,（—c,0）的距离和为4,.*.2a=4,a=2.

又・・•椭圆C的离心率是・・・c=l,b=£

・・・椭圆c的标准方程是丁+寸=1.

3+4k2

4k2+3

_（4+4k2+3）•

Tm2=k2+l,

厂FT丄-5（k2+l）i（4R2+3）+4

•eOA•0B=xix?

+yiy2=

⑵（i）证明：

・・•直线1：

y=kx+m与圆x2+y2=l相切，二圆心（0,0）到直线1的距离等于

・••当k2=o时，师・65有最小值一刍

减得y】9丫2+xf—X2?

=0,得-^~+（X1—x2）（Xi+x2）=0,又弦AB被点P（7,

#）平分，所以xi+x2=l,y）+y2=l,将其代入上式得'

§

'

「+xi_X2=0,得,「=_9,即直线AB的斜率为一9,所以直线AB的方程为y—扌=—9（x—*）,即9x+y—5=0.

3.椭圆話+才=1上的点到直线x+2y—边=0的最大距离是（）

A.3B.y[u

C.2y[2D.顾

答案D

解析设椭圆話+寸=1上的点P（4cos0,2sin0）,则点P到直线x+2y—£

=0的距离

5yio

2=2°

14.已知椭圆C：

寺+片=1，过椭圆C上一点P（l,迈）作倾斜角互补的两条直线PA,PB,

分别交椭圆C于A,B两点，求直线AB的斜率.

答案y/2

解析设Ag,yj,B（X2,yj,同时设PA的方程为y—^=k（x—1）,代入椭圆方程化简得（k~+2）x‘一2k（k—寸x+k'

—2寸^k—2=0,显然1和Xi是这个方程的两解.因此Xi=於一2迈k—2一迈於―4k+2迈亠，小妊亠“,如k2+2V2k-2

疋口，y】=——,rtl—k代替X】，yi中的k,得x?

=‘y2