高考数学复习向量练习试题含答案Word文档格式.docx
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b;
(4)由于零向量的方向不确定,故0与任何向量不平行;
(5)对于任何向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|.
其中正确命题的序号为
A.
(1),
(2),(3)B.(5)C.(3),(5)A.
(1),(5)
2π
4.已知向量a与b的夹角为23π,如果向量2a+kb与3a-2b
3
共线,则实数的k的值为
5.设四边形ABCD中,有DC=1AB,且|AD|=|BC|,则这个四
边形是
A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形
6.在△ABC中G为边BC中线AH上一点,若AH=2,则AG·
(BG+CG)的
A.最大值为-2B.最大值为2
C.最小值为-2D.最小值为2
7.已知P1(2,-1),P2(0,5),且点P在P1P2的延长线上,|P1P|=2|PP2|,则点P的坐标为
42
A.(-2,11)B.(43,3)C.(32,3)D.(2,-7)
8.已知△ABC三顶点A,B,C的坐标分别为(a1,a2),(b1,b2),(c1,c2),在边BC、CA、AB上分别取D、E、F使之满足:
|BD|∶|BC|=|CE|∶|EA|=|AF|∶|FB|=m∶n,则A.△DEF与△ABC的重心重合B.△DEF与△ABC的外心
D.△DEF与△ABC的垂心
重合
C.△DEF与△ABC的内心重合
第Ⅱ卷(非选择题,共60分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分.把答案填在下面的横线上.)
9.已知点M是△ABC的重心,则MA+MB+MC=.
10.已知点A(1,-2),若向量AB与a={2,3}同向,|AB|=213,则点B的坐标为.
11.已知△ABC中,a=x,b=2,B=45°
,若该三角形有两个解,则x的取值范围是.
12.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<
α<
β<
π),且|λa+μb|=|μa-λb|(λμ≠0),则β-α=.
三、解答题(本大题4小题,共48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
13.(本小题满分12分)
设e1,e2是两个垂直的单位向量,且a=-(2e1+e2),b=e1-λe2.
(1)若a∥b,求λ的值;
(2)若a⊥b,求λ的值.
14.
(本小题满分12分)如图,在△OAB中,点C是以A为中心的点B的对称点,点D是将OB分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设OA=a,OB=b.
(1)用a和b表示向量OC、DC;
(2)若OE=λOA,求实数λ的值.
15.(本小题满分12分)
(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·
(2a+b)=61,求a与b的夹角θ;
(2)OA=(2,5),OB=(3,1),OC=(6,3),在OC上是否存在点M,使MA⊥MB,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
16.(本小题满分14分)
已知点H(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,3
点M在直线PQ上,且满足HP·
PM=0,PM=-32MQ.
(Ⅰ)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C;
(Ⅱ)过点T(-1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点,若在x轴上存在一点E(x0,0),使得△ABE是等边三角形,求x0的值.
参考答案
1.B依题意,得a·
c+c·
a=3|a|2·
cos120°
=-32,选B.
2.A显然有P(x,y),A(-5,0),B(5,0).由|AP|+|BP|=6知,动点P的轨迹为以A(-5,0),B(5,0)为焦点,长22
轴长为6的椭圆,其方程为x9+y4=1,令x=
3cosθ,y=2sinθ,则|2x-3y-12|=|62cos(θ+4π)-12|,当cos(θπ
+4π)=-1时|2x-3y-12|取最大值为12+62.
3.B单位向量可能方向不同,所以不一定相等,
(1)不正确;
只要方向相同或相反的向
量都是共线向量,
(2)不正确;
向量是不能比较大小的,(3)不正确;
按人教版课本规定零向量与任意向量是平行向量,(4)
不正确;
(5)中为向量模的不等式,正确,故选B.
4.B2a+kb与3a-2b共线,存在实数t,使2a+kb=t(3a-2b),∵a与b的夹角为23π,则a与b不共线.
∴2=3t,k=-2t,解得k=-3,选B.
点评:
本题考查向量的夹角的概念、夹角的求法、向量共线的条件.利用方程思想是求参数的主要方法.
5.C∵DC=AB,∴DC∥AB且|DC|≠|AB|,即四边形ABCD为
梯形,又|AD|=|BC|,∴四边形ABCD为等腰梯形.
6.CAG·
(BG+CG)=AG·
(BH+HG+CH+HG)=2AG·
HG=
,故选C.
-2|AG|·
|HG|≥-2(|AG||HG|)1=-2
7.A由定比分点公式可求得P(-2,11),选A.
8.A由题意有BD=mDC,即点D分有向线段BC所成的比为λn
=m,设点D的坐标为(x,y),则由定比分点坐标公式有n
设△DEF的重心坐标为(x′,y′,)则由重心坐标公式有:
1mc1nb1ma1nc1mb1na11
x=(11+11+11)=(a1+b1+c1),
3mnmnmn3
三角形的五心中,有四个心在高考中经常出现,需要特别加以
关注.一是重心,即各边的中线交点,其重心坐标公式为:
x=x1x32x3,y=y1y32y3,(其中(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)是三角形的三个顶点的坐标)重心分对应的中线所成的比为1∶2的关系.二是外心,即外接圆圆心,也就是中垂线的交点,外心到三个顶点的距离相等.三是内心,即内切圆圆心,也就是角平分线的交点,内心到三边的距离相等.四是垂心,即三角形的三条高的交点.
9.解:
设D为AB的中点,则MA+MB=2MD,又M为△ABC的重心,则MC=-2MD,所以MA+MB+MC=0.
10.
解:
设B(x,y),则AB=(x-1,y+2),
AB与同a同向,∴3(x-1)=2(y+2),又|AB|=(x1)2(y2)2=213,解得
x=5,y=4或x=-3,y=-8,而当x=
-3,y=-8时,AB与a反向,故B为(5,4).
11.(2,22)如图,当A′C=2时,三角形有且只有一解,此时BC=22,∴x<
22.又∵三角形有两解,∴x>
2,综合得x∈(2,22).
12.解:
∵|λa+μb|=|(λcosα+μcosβ,λsinα+μsin
13.
cos(β-α)=0.
π
∵0<
β<
π,∴β-α=2.
(1)∵a∥b,∴a=mb,即-2e1-e2=me1-mλe2
(2)∵a⊥b,∴a·
b=0,(-2e1-e2)·
(e1-λe2)=0
即-2e12+2λe1·
e2-e2·
e1+λe22=0,-2+λ=0,∴λ=2.
本题考查两个向量垂直、平行的充要条件、向量的数量积的意义.
15.
(1)依题意,A为BC中点,则2OA=OB+OC.
OC=2OA-OB=2a-b∴
DC=OC-OD=OC-OB=2a-b-b=2a-b.
333
2)若OE=λOA,则CE=OE-OC=λa-(2a-b)=(λ-2)a+b.
∵CE与DC共线,∴存在实数k,使CE=kDC.
54∴(λ-2)a+b=k(2a-5b)∴解得λ=4.
35
16.
(1)∵(2a-3b)·
(2a+b)=61,4a2-4a·
b-3b2=61.
又|a|=4,|b|=3,∴4×
16-4a·
b-3×
9=61,
∴a·
b=-6,∴cosθ=|a|?
|b|=-2,∴θ=120
(2)设存在点M,且OM=λOC=(6λ,3λ)(0<
λ≤1),∴MA=(2-6λ,5-3λ),MB=(3-6λ,1-3λ).
111
∴45λ2-48λ+11=0,解得:
λ=1或λ=11,∴OM=(2,1)或OM
315
=(22,11)满足题意.∴存在M(2,1)或M(22,11)满足
515515题意.
16.解(Ⅰ)设点M的坐标为(x,y),则PM=-32MQ,得P(0,
-2y),Q(3x,0),由HP·
PM=0,
得(3,-2y)·
(x,32y)=0,所以y2=4x,由点Q在x轴的正半轴上,得x>
0,所以,动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.
(Ⅱ)设直线l:
y=k(x+1),其中k≠0代入y2=4x,
得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程
(1)的两个实数根,
由韦达定理得
x1+x2=
2
2(k22)
-2,x1x21,
k
所以,线段AB的中点N坐标为(22k,2),
kk
2线段AB的垂直平分线方程为y-2=-1(x-22k),kkk
令y=0,x0=22+1,所以,点E的坐标为(22+1,0).
kk因为△ABE为正三角形,所以,点E(22+1,0)到直线AB的距k
离等于3|AB|,而|AB|=(x1x2)2(y1y2)2=412k·
1k2,
2k
11x0=.
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