九年级数学上册《一元二次方程》全章复习巩固(教师版)知识点+详细解析.doc

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《一元二次方程》全章复习—知识讲解

【学习目标】

1.了解一元二次方程及有关概念；

2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；

3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．

【知识网络】

【要点梳理】

一、一元二次方程的有关概念

1.一元二次方程的概念：

　通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

注：

判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：

①一个未知数；②未知数的最高次数为2.

对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．

二、一元二次方程的解法

1．基本思想

一元二次方程一元一次方程

2．基本解法

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．

三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

1.一元二次方程根的判别式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；

（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.

2.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程的两个实数根是，

那么，.

注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.

四、列一元二次方程解应用题

1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

2.解决应用题的一般步骤：

　　　审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；

　　　设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；

　　　列（根据题目中的等量关系，列出方程）；

　　　解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；

验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

　　　答（写出答案，切忌答非所问）.

3.常见应用题型

　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润（销售）问题、形积问题等.

【典型例题】

类型一、一元二次方程的有关概念

1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）

A． B．

C． D．

【答案】C；

【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

2．若方程是关于的一元二次方程，m=．

【答案】根据题意得解得

所以当方程是关于的一元二次方程时，．

举一反三：

1、关于x的方程,

当时为一元一次方程；当时为一元二次方程.

2、已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，m=.

【答案】1、=4；≠4且≠-2.

2、依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，

解得m＝±1，

又∵m－1≠0，∴m≠1，

故m＝－1.

类型二、一元二次方程的解法

3．解下列一元二次方程．

（1）；

（2）；（3）．

【答案与解析】

（1），．

（2），．（3）．

举一反三：

解方程：

（1）3x+15＝-2x2-10x；

（2）x2-3x＝（2-x）（x-3）．

（3）（3x-2）2+（2-3x）＝0；（4）2（t-1）2+t＝1.

【答案】

（1），．

（2），．（3），．（4），．

类型三、一元二次方程根的判别式的应用

4．已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）

A、a＜2 B、a＞2 C、a＜2且a≠l D、a＜﹣2

【答案】C；

举一反三：

1、关于x的方程有实数根．则a满足（）

A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5

2、为何值时，关于x的二次方程

（1）满足时,方程有两个不等的实数根；

（2）满足时,方程有两个相等的实数根；

（3）满足时,方程无实数根.

【答案】1、A；

①当，即时，有，，有实数根；

②当时，由△≥0得，解得且．

综上所述，使关于x的方程有实数根的a的取值范围是．

答案：

A

2、

（1）；

（2）；（3）.

类型四、一元二次方程的根与系数的关系

5．已知x1、x2是关于x的方程的两个不相等的实数根，

（1）求t的取值范围；

（2）设，求s关于t的函数关系式．

【答案】

（1）因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝（-2）2-4（t+2）＞0，即t＜-1．

（2）由一元二次方程根与系数的关系知：

，，

从而，即．

举一反三：

1、已知关于x的一元二次方程的两实数根为，．

（1）求m的取值范围；

（2）设，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

2、已知关于x的方程，试探求：

是否存在实数m使方程的两个实数根的平方和

等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根、．

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?

如果存在，求出k的值；如果不存在，

请说明理由．

【答案】1、

（1）将原方程整理为．

∵原方程有两个实数根．

∴，∴．

（2），且．

因为y随m的增大而减小，故当时，取得最小值1．

2、存在．

设方程两根为x1、x2，根据题意，得，，，

而，于是有，整理得，

解这个方程得，，

当时，△＝，

当时，△＝，

所以符合条件的m的值为-2．

3、

（1）根据题意，得△＝（2k-3）2-4（k-1）（k+1）＝，

所以．由k-1≠0，得k≠1.

当且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；

（2）不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则

，解得．

当时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根．

所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数．

类型五、一元二次方程的应用

6．如图所示，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．

7．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?

【答案】1、设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×（1-80%）．

解得x1＝2，x2＝-2．

经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．

∴x＝2．

答：

截去的小正方形的边长为2cm．

2、设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为（10+2x）元，每晚出租出去的床位为（100-10x）张，

根据题意，得（10+2x）（100-10x）＝1120．

整理，得x2-5x+6＝0．

解得，x1＝2，x2＝3．

∴当x＝2时，2x＝4；

当x＝3时，2x＝6．

答：

每床每晚提高4元或6元均可．

举一反三：

1、有一块长方形的土地，如图所示，宽为120m，建筑商把它分成三部分：

甲、乙、丙．甲和乙为正方

形，现计划甲建住宅区；乙建商场；丙开辟公园，公园的面积为3200m2，那么这块地长应为多少?

2、甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.

3、某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。

原计划每天拆迁1250m2，因为准备工

作不足，第一天少拆迁了20％。

从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2.

求：

（1）该工程队第一天拆迁的面积；

（2）若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数.

【答案】1、根据题意可得（x-120）·[120-（x-120）]＝3200，（x-120）（240-x）＝3200，

解得x1＝200，x2＝160．经检验可知，x1＝200，x2＝160均符合题意．

所以这块地长为200m或160m．

2、设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.

根据题意，得

解之,得x1=16，x2=－2.

经检验：

x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去.

∴当x=16时，x+4=20.

答：

甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米.

3、

（1）1000m2；

（2）20%.

巩固练习

（一）

一、选择题

1.已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　）

A.1 B.﹣1C.0 D.无法确定

2．若一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的两根为0．2，则|3a＋4b|之值为何（　　）

A．2 B．5C．7 D．8

3．某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（）

A．B．

C．D．

4．将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（　　）

A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+4

5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（）．

A．k＜0B．k≤0C．k≠1且k≠0D．k≤1且k≠0

6．从一块正方形的铁片上剪掉2cm宽的长方形铁片，剩下的面积是48cm2，则原来铁片的面积是（）

A.64cm2B.100cm2C.121cm2D.144cm2

7．若t是一元二次方程的根，则判别式和完全平方

式的关系是（　　）

　　A.△=M　　　B.