02长期班高等数学讲义汪诚义第二章2551Word格式.docx
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∆y=f(x0+∆x)-f(x0)是曲线y=f(x)在点x0处相应
于自变量增量∆x的纵坐标f(x0)的增量,微分dyx=x0是曲线
y=f(x)在点M0(x0,f(x0))处切线的纵坐标相应的增量(见图)。
6.可微与可导的关系
f(x)在x0处可微⇔f(x)在x0处可导。
且dyx=x0=A(x0)∆x=f'
(x0)dx
一般地,y=f(x)则dy=f'
(x)dx
26
所以导数f'
(x)=dy也称为微商,就是微分之商的含义。
dx
7.高阶导数的概念
如果函数y=f(x)的导数y'
=f'
(x)在点x0处仍是可导的,则把y'
(x)在点x0处的导数称为y=f(x)在点x0处的二阶导数,记以y'
'
称f(x)在点x0处二阶可导。
如果y=f(x)的n-1阶导数的导数存在,称为y=f(x)的n阶导数,记以y(n),(n)x=x0d2y,或f'
(x0),或dx2x=x0等,也ydny(x),n等,这时也称y=f(x)是n阶可导。
二、导数与微分计算
1.导数与微分表(略)
2.导数与微分的运算法则
(1)四则运算求导和微分公式
(2)反函数求导公式
(3)复合函数求导和微分公式
(4)隐函数求导法则
(5)对数求导法
(6)用参数表示函数的求导公式
(乙)典型例题
一、用导数定义求导数
例设f(x)=(x-a)g(x),其中g(x)在x=a处连续,求f'
(a)解:
f'
(a)=limx→af(x)-f(a)(x-a)g(x)-0=lim=g(a)x→ax-ax-a
二、分段函数在分段点处的可导性
例1设函数
⎧x2,x≤1f(x)=⎨⎩ax+b,x>
1
试确定a、b的值,使f(x)在点x=1处可导。
解:
∵可导一定连续,∴f(x)在x=1处也是连续的。
f(x)=limx=1由f(1-0)=lim--x→1x→12
27
f(1+0)=limf(x)=lim(ax+b)=a+b++x→1x→1
要使f(x)在点x=1处连续,必须有a+b=1或b=1-a
f(x)-f
(1)x2-1=lim=lim(x+1)=2又f-'
(1)=lim--x-1-x-1x-1x-1x-1
(1)=lim+x-1f(x)-f
(1)ax+b-1a(x-1)=lim=lim=ax-1+x-1+x-1x-1x-1
要使f(x)在点x=1处可导,必须f-'
(1)=f+'
(1),即2=a.
故当a=2,b=1-a=1-2=-1时,f(x)在点x=1处可导.
x2en(x-1)+ax+b例2设f(x)=lim,问a和b为何值时,f(x)可导,且求f'
(x)n→∞en(x-1)+1
n(x-1)=+∞,解:
∵x>
1时,limen→∞
x<
1时,limen(x-1)=0n→∞
⎧x2,x>
1,⎪⎪a+b+1,x=1,∴f(x)=⎨2⎪x<
1,⎪⎩ax+b,
f(x)=limx2=1,f
(1)=由x=1处连续性,lim++x→1x→1a+b+1=1,可知a+b=12
再由x=1处可导性,
x2-f
(1)f+'
(1)=lim存在
x→1+x-1
(1)=lim-x→1(ax+b)-f
(1)存在x-1
且f+'
(1)=f-'
(1)根据洛必达法则f+'
(1)=lim+x→12x=21
a=a,∴a=2x→11
于是b=1-a=-1f-'
(1)=lim-
28
1,⎪f(x)=⎨1,x=1,
⎪2x-1,x<
1,⎩
⎧2x,x≥1,f'
(x)=⎨2,x<
三、运用各种运算法则求导数或微分
例1设f(x)可微,y=f(lnx)⋅ef(x),求dy解:
dy=f(lnx)def(x)+ef(x)df(lnx)
例2设y=xx(x>
0),求x=f'
(x)ef(x)f(lnx)dx+=ef(x)[f'
(x)f(lnx)+1f'
(lnx)ef(x)dxx1f'
(lnx)]dxxdydx
lny=xxlnx对x求导,得
11y'
=(xx)'
lnx+xxyx
再令y1=x,lny1=xlnx,对x求导,x
1xx'
=lnx+1,∴(x)'
=x(lnx+1)y1y1
于是
yx例3设y=y(x)由方程x=y所确定,求xdy=xx(lnx+1)lnx+xx-1xx(x>
0)dx[]dydx
两边取对数,得ylnx=xlny,
对x求导,y'
lnx+yx=lny+y'
xy
xyy2-xylnyy'
(-lnx)=-lny,y'
=2yxx-xylnx
29
例4设
⎧x=teu2sinududx⎰t⎪求⎨2tudy⎪y=⎰eln(1+u)du0⎩2
dx42dxdt2tetsint2-etsint解:
==dydy2e2tln(1+2t)
dt
四、求切线方程和法线方程
例1已知两曲线y=f(x)与y=
程,并求limnf()。
n→∞⎰arctanx0e-tdt在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方22n
e-(arctanx)2
由已知条件可知f(0)=0,f'
(0)=1+x2
故所求切线方程为y=xx=0=1
2f()-f(0)2limnf()=lim2⋅=2f'
(0)=2n→∞n→∞n
n
例2已知曲线的极坐标方程r=1-cosθ,求曲线上对应于θ=
坐标方程。
π6处的切线与法线的直角
⎧x=(1-cosθ)cosθ=cosθ-cos2θ解:
曲线的参数方程为⎨
⎩y=(1-cosθ)sinθ=sinθ-sinθcosθ
dy
dxdy=dx
dθcosθ-cos2θ+sin2θ=-sinθ+2cosθsinθ=1θ=π
6θ=π
故切线方程y-13+=1⋅(x-+)2424
353+=044即x-y-
法线方程
y-13+=-(x)24
113+=044即x+y-
30
例3.设f(x)为周期是5的连续函数,在x=0邻域内,恒有
f(1+sixn-)f3-(1x=siαxn+。
)其中xlimx→0α(x)x=0,f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程。
由题设可知f(6)=f
(1),f'
(6)=f'
(1),故切线方程为
y-f
(1)=f'
(1)(x-6)
所以关键是求出f
(1)和f'
(1)
由f(x)连续性lim[f(1+sinx)-3f(1-sinx)]=-2f
(1)x→0
由所给条件可知-2f
(1)=0,∴f
(1)=0f(1+sinx)-3f(1-sinx)8xα(x)=lim(+)=8x→0x→0sinxsinxsinx
f(1+t)-3f(1-t)=8,又∵f
(1)=0令sinx=t,limt→0t再由条件可知lim
∴上式左边=lim[f(1+t)-f
(1)]f(1-t)-f
(1)+3limt→0t→0t(-t)
(1)+3f'
(1)=4f'
则4f'
(1)=8f'
(1)=2
所求切线方程为y-0=2(x-6)即2x-y-12=0
五、高阶导数
1.求二阶导数
例1设y=ln(x+
y'
=x2+a2),求y'
x+'
=1
x+x+a22(1+
3xx+a22)=1x+a22-12x2y'
=-(x+a)2⋅2x=-2232(x+a)
31
⎧x=arctantd2y例2设⎨求22dx⎩y=ln(1+t)
2tdy
dy2解:
===2t1dxdx
dt1+t2
dydyd()d()2dy=/dx==dx2dxdtdt
例3设y=y(x)由方程x2+y2=1所确定,求y'
2x+2yy'
=0,y'
=-2=2(1+t2)11+t2xy
x2
y+1⋅y-xy'
yy'
=-=-y2y2
y2+x21=-=-33yy
2.求n阶导数(n≥2,正整数)
(n)先求出y'
y'
,总结出规律性,然后写出y,最后用归纳法证明。
有一些常用的初等函数的n阶导数公式
(1)y=ey
xx(n)=ex(n)
(2)y=a(a>
0,a≠1)y
(3)y=sinx
(4)y=cosx
(5)y=lnx=ax(lna)nnπ)2nπ=cos(x+)2y(n)=sin(x+y(n)y(n)=(-1)n-1(n-1)!
x-n
两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式
[u(x)v(x)](n)k(k)=∑Cnu(x)v(n-k)(x)k=0n
其中Cn=
kn!
(0)(0),u(x)=u(x),v(x)=v(x)k!
(n-k)!
32
假设u(x)和v(x)都是n阶可导
例1设y=xk(k正整数),求y(n)(n正整数)解:
y(n)⎧k(k-1)(k-n+1)xk-n,n≤k,=⎨n>
k⎩0,
xn
例2设y=,求y(n)(n正整数)1-x
(xn-1)+11=-(xn-1+xn-2++x+1)解:
y=1-x1-x
y(n)=[(1-x)-1](n)=
例3设y=
y=n!
n+1(1-x)1(n),求(n正整数)y2x-3x+2111=-=(x-2)-1-(x-1)-1(x-1)(x-2)x-2x-1
=-[(x-2)-2-(x-1)-2]
=(-1)(-2)[(x-2)-3-(x-1)-3]
……
y(n)=(-1)nn!
[(x-2)-(n+1)-(x-1)-(n+1)]
例4设y=sinx+cosx,求y
y=(44(n)(n正整数)1-cos2x21+cos2x2)+()22
13124x=(2+2cos2x)=+cos444
1nπnπy(n)=⋅4ncos(4x+)=4n-1cos(4x+)422
例5设y=xe,求y
用莱布尼兹公式32x(n)(n正整数)
y
(n)k=∑Cn(x3)(k)(e2x)(n-k)k=0n33
=x3(e2x)(n)+3nx2(e2x)(n-1)+n(n-1)n(n-1)(n-2)6x(e2x)(n-2)+⋅6⋅(e2x)(n-3)
=2n-3e2x[8x3+12nx2+6n(n-1)x+n(n-1)(n-2)]
2.2微分中值定理
本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理:
罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理和泰勒定理(泰勒公式)。
这部分有关考题主要是证明题,其中技巧性比较高,因此典型例题比较多,讨论比较详细。
一、罗尔定理
设函数f(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导;
(3)f(a)=f(b)
则存在ξ∈(a,b),使得f'
(ξ)=0
几何意义:
条件
(1)说明曲线y=f(x)在A(a,f(a))和B(b,f(b))之间是连续曲线;
[包括点A和点B]。
条件
(2)说明曲线y=f(x)在A,B之间是光滑曲线,也即每一点都有不垂直于x轴的切线[不包括点A和点B]。
条件(3)说明曲线y=f(x)在端点A和B处纵坐标相等。
结论说明曲线y=f(x)在点A和点B之间[不包括点A和点B]至少有一点,它的切线平行于x轴。
二、拉格朗日中值定理
34
(2)在开区间(a,b)内可导
则存在ξ∈(a,b),使得
f(b)-f(a)=f'
(ξ)b-a
或写成f(b)-f(a)=f'
(ξ)(b-a)(a<
ξ<
b)
有时也写成f(x0+∆x)-f(x0)=f'
(x0+θ∆x)⋅∆x(0<
θ<
1)
这里x0相当a或b都可以,∆x可正可负。
条件
(1)说明曲线y=f(x)在点A(a,f(a))和点B(b,f(b))之间[包括点A和点B]是连续曲线:
条件
(2)说明曲线y=f(x)[不包括点A和点B]是光滑曲线。
结论说明:
曲线y=f(x)在A,B之间[不包括点A和点B],至少有点,它的切线与割线AB是平行的。
推论1若f(x)在(a,b)内可导,且f'
(x)≡0,则f(x)在(a,b)内为常数。
推论2若f(x)和g(x)在(a,b)内可导,且f'
(x)≡g'
(x),则在(a,b)内f(x)=g(x)+C,其中C为一个常数。
(注:
拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广,当f(a)=f(b)特殊情形,就是罗尔定理)
三、柯西中值定理
设函数f(x)和g(x)满足:
(1)在闭区间[a,b]上皆连续;
(2)在开区间(a,b)内皆可导;
且g'
(x)≠0,则存在ξ∈(a,b)使得
f(b)-f(a)f'
(ξ)=g(b)-g(a)g'
(ξ)(a<
柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形g(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理)
⎨⎧x=g(t)t∈[a,b]⎩y=f(t)
35
点A(g(a),f(a)),点B
(g(b),f(b))曲线,除端点外是光滑曲线,那么在曲线上至少有一点,它
的切线平行于割线AB.值得注意:
在数学理论上,拉格朗日
中值定理最重要,有时也称为微分学基本定理。
罗尔定理看
作拉格朗日中值定理的预备定理,柯西中值定理虽然更广,
但用得不太多。
在考研数学命题中,用罗尔定理最多,其次
是用拉格朗日中值定理,而用柯西中值定理也是较少。
四、泰勒定理(泰勒公式)
定理1(带皮亚诺余项的n阶泰勒公式)
设f(x)在x0处有n阶导数,则有公式____
(x0)f'
(x0)f(n)(x0)2f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)++(x-x0)n+Rn(x)1!
2!
n!
(x→x0)
其中Rn(x)=o[(x-x0)n](x→x0)称为皮亚诺余项。
(limRn(x)=0)x→x0(x-x)n
前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形,根据不同情形取适当的n,所以对常用的初等函数如ex,sinx,cosx,ln(等的n阶泰勒公式都要熟记。
1+x)和(1+x)a(α为实常数)
定理2(带拉格朗日余项的n阶泰勒公式)
设f(x)在包含x0的区间(a,b)内有n+1阶导数,在[a,b]上有n阶连续导数,则对x∈[a,b],有公式
(x0)f(n)(x0)2f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)++(x-x0)n+Rn(x)1!
f(n+1)(ξ)其中Rn(x)=(ξ在x0与x之间)称为拉格朗日余项。
(x-x0)n+1,(n+1)!
上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。
x0=0时,也称为麦克劳林公式。
如果limRn(x)=0,那么泰勒公式就转化为泰勒级数,这在后面无穷级数中再讨论。
n→∞
一、用罗尔定理的有关方法
例1设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f
(1)+f
(2)=3,f(3)=1.
36
试证:
必存在ξ∈(0,3),使f'
证:
∵f(x)在[0,3]上连续,∴f(x)在[0,2]上连续,且有最大值M和最小值m.于是m≤f(0)≤M;
m≤f
(1)≤M;
m≤f
(2)≤M,故
1m≤[f(0)+f
(1)+f
(2)]≤M.由连续函数介值定理可知,至少存在一点c∈[0,2]使得3
1f(c)=[f(0)+f
(1)+f
(2)]=1,因此f(c)=f(3),且f(x)在[c,3]上连续,(c,3)3
内可导,由罗尔定理得出必存在ξ∈(c,3)⊂(0,3)使得f'
(ξ)=0。
例2设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3⎰1
2
3f(x)dx=f(0)
求证:
存在ξ∈(0,1)使f'
(ξ)=0证:
由积分中值定理可知,存在c∈[,1],使得2
3
⎰1
32f(x)dx=f(c)(1-)3
得到f(c)=3⎰1
对f(x)在[0,c]上用罗尔定理,(三个条件都满足)
故存在ξ∈(0,c)⊂(0,1),使f'
例3设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,对任意k>
1,有f
(1)=k
-1求证存在ξ∈(0,1)使f'
(ξ)=(1-ξ)f(ξ)1⎰1k0xe1-xf(x)dx,111-x1-c证:
由积分中值定理可知存在c∈[0,]使得⎰kxef(x)dx=cef(c-0)0kk
令F(x)=xe1-xf(x),可知F
(1)=f
(1)这样F
(1)=f
(1)=k⎰1
k
0xe1-xf(x)dx=ce1-cf(c)=F(c),对F(x)在[c,1]上用罗尔定理
37
(三个条件都满足)存在ξ∈(c,1)⊂(0,1),使F'
而F'
(x)=e1-xf(x)-xe1-xf(x)+xe1-xf'
(x)
∴F'
(ξ)=ξe1-ξ1[f'
(ξ)-(1-)f(ξ)]=0ξ
又ξe1-ξ≠0,则f'
(ξ)=(1-)f(ξ)1
ξ
在例3的条件和结论中可以看出不可能对f(x)用罗尔定理,否则结论只是f'
(ξ)=0,而且条件也不满足。
因此如何构造一个函数F(x),它与f(x)有关,而且满足区间上罗尔定理的三个条件,从F'
(ξ)=0就能得到结论成立,于是用罗尔定理的有关证明命题中,如何根据条件和结论构造一个合适的F(x)是非常关键,下面的模型Ⅰ,就在这方面提供一些选择。
模型Ⅰ:
设f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,f(a)=f(b)=0则下列各结论皆成立。
(1)存在ξ1∈(a,b)使f'
(ξ1)+lf(ξ1)=0(l为实常数)
k-1
(2)存在ξ2∈(a,b)使f'
(ξ2)+kξ2f(ξ2)=0(k为非零常数)
(3)存在ξ3∈(a,b)使f'
(ξ3)+g(ξ3)f(ξ3)=0(g(x)为连续函数)
(1)令F(x)=ef(x),在[a,b]上用罗尔定理
∵F'
(x)=lef(x)+ef'
∴存在ξ1∈(a,b)使F'
(ξ1)=le
消去因子elξ1lxlxlxlξ1f(ξ1)+elξ1f'
(ξ1)=0,即证.
k
(2)令F(x)=exf(x),在[a,b]上用罗尔定理
F'
(x)=kxk-1exfx(+)exf'
x()
k-1ξ2存在ξ2∈(a,b)使F'
(ξ2)=kξ2ef(ξ2)+eξ2f'
(ξ2)=0kkkk
消去因子ekξ2,即证。
38
(3)令F(x)=eG(x)f(x),其中G'
(x)=g(x)
G(x)F'
(x)=g(x)ef(+x)G(x)e'
f(由x)F'
(ξ3)=0
清去因子e
G(ξ3),即证。
例4设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f
(1)=0,f()=1,试证:
(1)存在η∈(,1),使f(η)=η。
(2)对任意实数λ,存在ξ∈(0,η),使得f'
(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
证明:
(1)令Φ(x)=f(x)-x,显然它在[0,1]上连续,又1212
111Φ
(1)=-1<
0,Φ()=>
0,根据介值定理,存在η∈(,1)使Φ(η)=0即f(η)=η222
(2)令F(x)=e-λxΦ(x)=e-λx[f(x)-x],它在[0,η]上满足罗尔定理的条件,故存在ξ∈(0,η),使F'
(ξ)=0,即
e-λξ{f'
(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]-1}=0
fξ(-)ξ=]1从而f'
(ξ)-λ[
在例4
(2)的证明中,相当于模型Ⅰ中
(1)的情形,其中l取为-λ,f(x)取为Φ(x)=f(x)-x)
模型Ⅱ:
设f(x),g(x)在[a,b]上皆连续,(a,b)内皆可导,且f(a)=0,g(b)=0,则存在ξ∈(a,b),使
(ξ)g(ξ)+f(ξ)g'
令F(x)=f(x)g(x),则F(a)=F(b)=0,显然F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条
件,则存在ξ∈(a,b),使F'
(ξ)=0,即证.
例5设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=0,k为正整数。
存在ξ∈(0,1)使得ξf'
(ξ)+kf(ξ)=f'
(ξ)
39
令g(x)=(x-1)k,a=0,b=1,则f(0)=0,g
(1)=0,用模型Ⅱ,存在
ξ∈(0,1)使得
(ξ)(ξ-1)k+k(ξ-1)k-1f(ξ)=0
故f'
(ξ)(ξ-1)+kf(ξ)=0
则ξf'
例6设f(x),g(x)在(a,b)内可导,且f'
(x)g(x)≠f(x)g'
(x),求证f(x)在(a,b)内任
意两个零点之间至少有一个g(x)的零点
反证法:
设a<
x1<
x2<
b,f(x1)=0,f(x2)=0而在(x1,x2)内g(x)≠0,则令F(x)=f(x)在[x1,x2]上用罗尔定理g(x)
[f(x1)=f(x2)=0,∴F(x1)=f(x1)f(x2)=0,F(x2)==0]g(x1)g(x2)
(不妨假设g(x1)≠0,g(x2)≠0否则结论已经成立)
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- 02 长期 高等数学 讲义 汪诚义 第二 2551