春九年级数学下册第二章二次函数22二次函数的图象与性质课时作业新版北师大版Word格式.docx
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C.直线x=D.直线x=-3
【变式拓展】函数y=-x2-1的开口方向和对称轴分别是(B)
A.向上,y轴B.向下,y轴
C.向上,直线x=-1D.向下,直线x=-1
6.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法中正确的是(D)
A.若y1=y2,则x1=x2
B.若x1≠x2,则y1≠y2
C.若0<
x1<
x2,则y1>
D.若x1<
x2<
0,则y1>
7.已知二次函数y=ax2的图象是由y=-5x2+1向下平移得到的,那么将y=ax2向下平移3个单位,所得新函数的表达式为(B)
A.y=-5x2+3B.y=-5x2-3
C.y=5x2-3D.y=5x2+3
综合能力提升练
8.对于抛物线y=-x2+2和y=x2的论断:
①开口方向不同;
②形状完全相同;
③对称轴相同.其中正确的有(D)
A.0个B.1个C.2个D.3个
9.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为(D)
A.a+cB.a-c
C.-cD.c
10.二次函数y=-2x2+1的图象上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若0<
x2,则y1,y2的大小关系是(A)
A.y1>
y2B.y1<
C.y1>
y2>
0D.y1<
11.(泰安中考)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是(A)
12.(成都中考)二次函数y=2x2-3的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法,正确的是(D)
A.抛物线开口向下
B.抛物线经过点(2,3)
C.抛物线的对称轴是直线x=1
D.抛物线与x轴有两个交点
13.若二次函数y=x2+与y=-x2+k的图象的顶点重合,则下列结论不正确的是(C)
A.这两个函数图象有相同的对称轴
B.这两个函数图象的开口方向相反
C.方程-x2+k=0没有实数根
D.二次函数y=-x2+k的最大值为
14.已知y=(m+2)+1是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m的值.
(2)m为何值时,该二次函数图象有最低点?
求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,函数有最大值?
最大值是多少?
这时当x为何值时,y随x的增大而减小?
(1)∵y=(m+2)+1是关于x的二次函数,
∴m2+m-4=2且m+2≠0,解得m1=2,m2=-3.
(2)当m=2时,该二次函数的图象有最低点,
此时y=4x2+1,最低点为(0,1),当x>
(3)当m=-3时,该二次函数的图象有最高点,函数有最大值,
此时y=-x2+1,最高点为(0,1),故此函数的最大值为1,
当x>
0时,y随x的增大而减小.
15.已知二次函数y=ax2+n的图象与抛物线y=-2x2的开口大小和开口方向相同,且y=ax2+n的图象上的点到x轴的最小距离为3.
(1)求a,n的值;
(2)指出抛物线y=ax2+n的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)∵抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的开口大小和开口方向相同,∴a=-2.
∵抛物线y=ax2+n的图象上的点与x轴的最小距离为3,
∴n=-3.
(2)由
(1)知抛物线的表达式为y=-2x2-3,抛物线开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,-3).
16.已知A1,A2,A3是抛物线y=x2上的三点,A1B1,A2B2,A3B3分别垂直于x轴,垂足为B1,B2,B3,直线A2B2交线段A1A3于点C.如图,若A1,A2,A3三点的横坐标依次为1,2,3,求线段CA2的长.
∵A1,A2,A3三点的横坐标依次为1,2,3,
∴A1B1=×
12=,A2B2=×
22=2,A3B3=×
32=.
设直线A1A3的表达式为y=kx+b.
把代入y=kx+b,得
解得
∴直线A1A3的表达式为y=2x-.
∴CB2=2×
2-.
∴CA2=CB2-A2B2=-2=.
拓展探究突破练
17.如图,二次函数y=ax2+c图象的顶点为B,若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A,C也在该抛物线上,求ac的值.
∵抛物线y=ax2+c的顶点B的坐标为(0,c),四边形ABCO是正方形,
∴∠COB=45°
CO=BC,
∴△COB是等腰直角三角形,
∴C点横纵坐标绝对值相等,且等于BO长度的一半,
∴C点坐标为,
将点C代入抛物线y=ax2+c,得ac=-2.
第2课时二次函数的图象与性质
(2)
知识点1二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质
1.抛物线y=-2(x-3)2的顶点坐标和对称轴分别是(B)
A.(-3,0),直线x=-3
B.(3,0),直线x=3
C.(0,-3),直线x=-3
D.(0,3),直线x=-3
2.已知二次函数y=3(x+1)2的图象上有三点A(1,y1),B(2,y2),C(-2,y3),则y1,y2,y3的大小关系为(B)
y3B.y2>
y1>
C.y3>
y2D.y3>
y1
【变式拓展】对于二次函数y=-x2+2,当x为x1和x2时,对应的函数值分别为y1和y2.若x1>
x2>
0,则y1和y2的大小关系是(B)
C.y1=y2D.无法比较
3.已知抛物线y=a(x-h)2,当x=2时,y有最大值,且抛物线过点(1,-3).
(1)求抛物线的表达式;
(2)当x为何值时,y随x的增大而增大;
(3)求抛物线与y轴交点的坐标.
(1)∵当x=2时,y有最大值,
∴抛物线的表达式为y=a(x-2)2,
∵抛物线过点(1,-3),∴-3=a(1-2)2,解得a=-3,
∴此抛物线的表达式为y=-3(x-2)2.
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=2,且开口向下,
∴当x<
2时,y随x的增大而增大.
(3)当x=0时,y=-3×
(0-2)2=-12,
∴抛物线y=-3(x-2)2与y轴交点的坐标为(0,-12).
知识点2二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象的平移规律
4.把抛物线y=2(x+1)2的图象平移后得到抛物线y=2x2的图象,则平移的方法可以是(D)
A.沿y轴向上平移1个单位长度
B.沿y轴向下平移1个单位长度
C.沿x轴向左平移1个单位长度
D.沿x轴向右平移1个单位长度
5.已知函数y=2x2,y=2(x-4)2和y=2(x+1)2.
(1)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)分析分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x-4)2和y=2(x+1)2?
(1)y=2x2的开口向上,对称轴为y轴(直线x=0),顶点坐标为(0,0);
y=2(x-4)2的开口向上,对称轴为直线x=4,顶点坐标为(4,0);
y=2(x+1)2的开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,0).
(2)抛物线y=2x2向右平移4个单位得到抛物线y=2(x-4)2,
向左平移1个单位得到抛物线y=2(x+1)2.
6.已知某二次函数的图象是由抛物线y=-2x2向左平移得到的,且当x=-1时,y=-8.
(1)求此二次函数的表达式;
(2)当x为何值时,y随x的增大而增大.
(1)设平移后的二次函数表达式为y=-2(x+a)2,
∵当x=-1时,y=-8,∴-8=-2(-1+a)2,
解得a=-1(舍去)或a=3.
∴二次函数表达式为y=-2(x+3)2.
(2)∵二次函数y=-2(x+3)2的对称轴是直线x=-3,且开口向下,
-3时,y随x的增大而增大.
7.对于任何实数h,关于抛物线y=(x-h)2与抛物线y=x2的说法正确的是(A)
A.开口方向相同B.对称轴相同
C.顶点坐标相同D.都有最高点
8.如图,二次函数y=(x+a)2与一次函数y=ax-a的图象可能是(D)
9.对于函数y=3(x-2)2,下列说法正确的是(C)
A.当x>
0时,y随x的增大而减小
B.当x<
0时,y随x的增大而增大
C.当x>
2时,y随x的增大而增大
D.当x>
-2时,y随x的增大而减小
10.(玉林中考)对于函数y=-2(x-m)2的图象,下列说法不正确的是(D)
A.开口向下B.对称轴是直线x=m
C.最大值为0D.与y轴不相交
11.已知二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2,则下列说法:
①它们的图象都是开口向上;
②它们的对称轴都是y轴,顶点坐标都是原点(0,0);
③当x>
0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大;
④它们的开口的大小是一样的.其中正确的有(B)
A.1个B.2个C.3个D.4个
12.(衡阳中考)已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a>
2,则y1与y2的大小关系是y1 >
y2.(填“<
”“>
”或“=”)
13.二次函数y=(x+h)2的图象如图所示,已知OA=OC,试求该抛物线的表达式.
∵y=(x+h)2,
∴当x=0时,y=h2,则C,
又A(-h,0),OA=OC,
∴-h=h2,解得h=0(舍去)或h=-2,
∴该抛物线的表达式为y=(x-2)2.
14.已知抛物线y=a(x+m)2的对称轴是直线x=2,抛物线与y轴的交点是(0,8),求a,m的值.
∵抛物线y=a(x+m)2,且抛物线的对称轴是直线x=2,
∴m=-2,
∵抛物线与y轴的交点是(0,8),
∴8=a(0-2)2,解得a=2.
15.已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y=-8x2都相同,并且它的顶点在抛物线y=2的顶点上.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求将
(1)中的抛物线向左平移5个单位后得到的抛物线的表达式;
(3)若
(2)中所示抛物线的顶点不动,将抛物线的开口反向,求反向后的抛物线的表达式.
(1)y=-8.
(2)y=-8.
(3)y=8.
16.如图,抛物线y=a(x+1)2的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且OB=OA.
(2)若点C(-3,b)在该抛物线上,求S△ABC的值.
(1)由条件,得A(-1,0),B(0,-1),
将x=0,y=-1代入抛物线的表达式,得a=-1,
则抛物线的表达式为y=-(x+1)2=-x2-2x-1.
(2)过点C作CD⊥x轴于点D,
将C(-3,b)代入抛物线的表达式,得b=-4,即C(-3,-4),
则S△ABC=S梯形OBCD-S△ACD-S△AOB=×
3×
(4+1)-×
4×
2-×
1×
1=3.
第3课时二次函数的图象与性质(3)
知识点1二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质
1.对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是(B)
A.对称轴是直线x=1,最小值是2
B.对称轴是直线x=1,最大值是2
C.对称轴是直线x=-1,最小值是2
D.对称轴是直线x=-1,最大值是2
2.关于二次函数y=-4(x+5)2+3的说法:
①顶点的坐标为(5,3);
②对称轴为直线x=-5;
③当x<
-5时,y随x的增大而增大;
④函数图象与y轴的交点坐标为(0,3).正确的有(B)
A.1个B.2个
C.3个D.4个
3.对于二次函数y=2(x-3)2+1,下列说法正确的是(C)
A.其图象的开口向下
B.其图象的对称轴为直线x=-3
C.其最小值为1
D.当x<
3时,y随x的增大而增大
知识点2二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的平移规律
4.要得到二次函数y=-x2-2x+1的图象,则需将y=-(x-1)2+2的图象(D)
A.向右平移2个单位
B.向下平移1个单位
C.关于x轴作轴对称变换
D.关于y轴作轴对称变换
5.已知将二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图象的表达式为y=x2-4x-5,则b,c的值为(C)
A.0,6B.0,-5
C.0,-6D.0,5
6.作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2,将抛物线C2向左平移2个单位,向上平移1个单位,得到的抛物线C的函数表达式是y=2(x+1)2-1,则抛物线C1所对应的函数表达式是y=-2x2+4x .
7.(丽水中考)将函数y=x2的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的是(D)
A.向左平移1个单位B.向右平移3个单位
C.向上平移3个单位D.向下平移1个单位
8.一个运动员打高尔夫球,若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y=-(x-30)2+10,则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为(A)
A.10mB.20mC.30mD.60m
9.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图所示,则一次函数y=mx+n的图象经过(A)
A.第二、三、四象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第一、二、三象限
10.(绍兴中考)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1).一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,这个点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为y=x2,再次平移透明纸,使这个点与点C重合,则该抛物线的函数表达式变为(A)
A.y=x2+8x+14B.y=x2-8x+14
C.y=x2+4x+3D.y=x2-4x+3
11.如果一条抛物线与抛物线y=-x2+2的形状相同,且顶点坐标是(4,-2),则它的函数表达式是y=±
(x-4)2-2.
12.(张家界中考)已知抛物线的顶点为A(-1,4),与y轴的交点为D(0,3).求抛物线的表达式.
∵抛物线的顶点为A(-1,4),
∴设抛物线的表达式为y=a(x+1)2+4,
把D(0,3)代入y=a(x+1)2+4,得3=a+4,
∴a=-1,∴抛物线的表达式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.
13.把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数y=(x+1)2-1的图象.
(1)试确定a,h,k的值;
(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)由题意易得a=,h=1,k=-5.
(2)开口向上,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,-5).
14.如图,已知抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为直线x=1.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)已知M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标.
(1)由题意可知h=1,则y=a(x-1)2+k.
将点(3,0),(0,3)分别代入,得解得
故抛物线对应的函数表达式为y=-(x-1)2+4.
(2)①当MA=MB时,M(0,0);
②当AB=AM时,M(0,-3);
③当AB=BM时,M(0,3+3)或M(0,3-3).
综上可知,点M的坐标为(0,0)或(0,-3)或(0,3+3)或(0,3-3).
15.(湘潭中考)如图,P为抛物线y=x2上一动点.
(1)若抛物线y=x2是由抛物线y=(x+2)2-1通过图象平移得到的,请写出平移的过程;
(2)若直线l经过y轴上一点N,且平行于x轴,点N的坐标为(0,-1),过点P作PM⊥l于点M.
①问题探究:
如图1,在对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF恒成立?
若存在,求出点F的坐标;
若不存在,请说明理由.
②问题解决:
如图2,若点Q的坐标为(1,5),求QP+PF的最小值.
(1)∵抛物线y=(x+2)2-1的顶点为(-2,-1),
∴抛物线y=(x+2)2-1的图象向上平移1个单位,再向右平移2个单位得到抛物线y=x2的图象.
(2)①存在一定点F,使得PM=PF恒成立.
当PM=PF时,设点P的坐标为.
ⅰ)当点P不在原点时,且yP>
yF时,过点P作PB⊥y轴于点B,
如图所示.
∴PF=PM=a2+1.
在Rt△PBF中,BF=a2-1(a>
2或a<
-2),
∴OF=OB-BF=a2-=1,
∴点F的坐标为(0,1).
当yP<
yF时,过点P作PD⊥y轴于点D.
∴PF=PM=a2+1,
在Rt△PDF中,DF==1-a2(-2<
a<
0或0<
2),
∴OF=OD+DF=a2+=1,
当yP=yF时,此时PF⊥y轴,
∴PF=|a|,PM=a2+1,
∴a2+1=|a|,解得a=±
2,
∴PM=FN=2,∴点F的坐标为(0,1).
ⅱ)当点P在原点时,此时a=0,PM=PF=1,
综上,点F的坐标为(0,1).
②∵PM=PF,
∴QP+PF的最小值为QP+PM的最小值,
当Q,P,M三点共线时,QP+QM有最小值,最小值为点Q到直线l的距离:
5-(-1)=6.
∴QP+PF的最小值为6.
第4课时二次函数的图象与性质(4)
知识点1二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴及顶点坐标
1.二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是(A)
A.(-1,8)B.(1,8)
C.(-1,2)D.(1,-4)
2.李磊在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳,函数h=3.5t-4.9t2(t的单位:
s,h的单位:
m)可以描述他跳跃时重心高度的变化,则他起跳后到重心最高时所用的时间是(D)
A.0.71sB.0.70s
C.0.63sD.0.36s
3.完成下列各题.
(1)已知抛物线y=3x2-6x+10,求它的对称轴和顶点坐标;
(2)求抛物线y=x2-2x-3的对称轴和顶点坐标,并画出示意图.
(1)∵y=3x2-6x+10=3(x2-2x)+10=3(x-1)2+7,
∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,7).
(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-4),作图略.
知识点2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及性质
4.已知抛物线y=-2x2+12x-13,则此抛物线(D)
A.开口向下,对称轴为直线x=-3
B.顶点坐标为(-3,5)
C.最小值为5
3时,y随x的增大而减小
5.如果抛物线C:
y=ax2+bx+c(a≠0)与直线l:
y=kx+d(k≠0)都经过y轴上一点P,且抛物线C的顶点Q在直线l上,那么称此直线l与该抛物线C具有“点线和谐”关系.如果直线y=mx+1与抛物线y=x2-2x+n具有“点线和谐”关系,那么m+n=0.
6.已知二次函数y=ax2+4x+c的图象经过点A(3,-4),B(0,2).
(1)求a,c的值;
(2)求二次函数图象的顶点坐标;
(3)直接写出函数y随x增大而增大的自变量x的取值范围.
(1)∵二次函数y=ax2+4x+c的图象经过点A(3,-4),B(0,2),
∴解得
(2)由
(1)知y=-2x2+4x+2=-2(x-1)2+4,
∴顶点坐标为(1,4).
(3)∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,
1时,函数y随自变量x的增大而增大.
7.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点(a+b,ac)在(D)
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
8.(宁波中考)抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在(A)
9.(德州中考)如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(B)
10.设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<
0)的图象的对称轴,下列说法正确的是(C)
A.若m>
1,则(m-1)a+b>
B.若m>
1,则(m-1)a+b<
C.若m<
1,则(m+1)a+b>
D.若m<
1,则(m+1)a+b<
11.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0),对称轴为直线x=1,则下列结论中正确的是(D)
A.a>
B.当x>
1时,y随x的增大而增大
C.c<
D.x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
【变式拓展】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是(D)
A.函数有最小值
B.对称轴是直线x=
C.当x<
时,y随x的增大而减小
D.当-1<
x<
2时,y>
12.(扬州中考)如图,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,2),B(1,0),C(2,1),若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b的取值范围是(C)
A.b≤-2B.b<
-2
C.b≥-2D.b>
提示:
抛物线y=x2+bx+1与y轴的交点为(0,1),∵C(2,1),∴对称轴x=-≤1时,二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,∴b≥-2.
13.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>
0)过O(0,0),A(2,0),B(-3,y1),C(4,y2)四点,则y1>
y2.(填“>
”“<
14.如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(-2,0).
(1)求此二次函数的顶点B的
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- 九年级 数学 下册 第二 二次 函数 22 图象 性质 课时 作业 新版 北师大