关于的中国的邮递员问地的题目和欧拉图地的应用.docx
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关于的中国的邮递员问地的题目和欧拉图地的应用
关于中国邮递员问题和欧拉图应用
中国邮递员问题:
1962年有管梅谷先生提出中国邮递员问题(简称CPP)。
一个邮递员从邮局出发,要走完
他所管辖的每一条街道,可重复走一条街道,然后返回邮局。
任何选择一条尽可能短的路线。
这个问题可以转化为:
给定一个具有非负权的赋权图G,
(1)用添加重复边的方法求G的一个Euler赋权母图G*,使得尽可能小。
(2)求G*的Euler环游。
人们也开始关注另一类似问题,旅行商问题(简称TSP)。
TSP是点路优化问题,它是NPC
的。
而CPP是弧路优化问题,该问题有几种变形,与加权图奇点的最小完全匹配或网络流
等价,有多项式算法。
[1]
欧拉图:
图G中经过每条边一次并且仅一次的回路称作欧拉回路。
存在欧拉回路的图称为欧拉图。
无向图欧拉图判定:
无向图G为欧拉图,当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。
有向图欧拉图判定:
有向图G为欧拉图,当且仅当G的基图[2]连通,且所有顶点的入度等于出度。
欧拉回路性质:
性质1设C是欧拉图G中的一个简单回路,将C中的边从图G中删去得到一个新的图G'则G'的每一个极大连通子图都有一条欧拉回路。
性质2设C1、C2是图G的两个没有公共边,但有至少一个公共顶点的简单回路,我们
可以将它们合并成一个新的简单回路C'。
欧拉回路算法:
1
在图G中任意找一个回路C;
2
将图G中属于回路C的边删除;
3
在残留图的各极大连通子图中分别寻找欧拉回路;
4
将各极大连通子图的欧拉回路合并到C中得到图G的欧拉回路。
由于该算法执行过程中每条边最多访问两次,因此该算法的时间复杂度为0(|E|)。
如果使用递归形式,得注意|E|的问题。
使用非递归形式防止栈溢出。
如果图是有向图,我们仍然可以使用以上算法。
有向图欧拉图和半欧拉图判定
Online/problem?
id=2337输出路径
中国邮递员问题①:
一个邮递员从邮局出发,要走完他所管辖的每一条街道,可重复走一条街道,然后返回邮局。
所有街道都是双向通行的,且每条街道都有一个长度值。
任何选择一条尽可能短的路线。
分析:
双向连通,即给定无向图G。
如果G不连通,则无解。
如果G是欧拉图,则显然欧拉回路就是最优路线。
如果G连通,但不是欧拉图,说明图中有奇点[3]。
奇点都是成对出现的,
证明从略。
对于最简单情况,即2个奇点,设(u,v)。
我们可以在G中对(u,v)求最短路径R,构造出新图G'=GUR。
此时G'就是欧拉图。
证明:
u和v加上了一条边,度加一,改变了奇偶性。
而R中其他点度加二,奇偶性不变。
由此可知,加一次R,能够减少两个奇点。
推广到k个奇点的情况,加k/2个R就能使度全为偶数。
接下的问题是求一个k个奇点的配对方案,使得k/2个路径总长度最小。
这个就是无向完全图最小权匹配问题。
有一种Edmonds算法,时间复杂度0(“铝)。
[4]
也可转换为二分图,用松弛优化的KM算法,时间复杂度也是0(NT)。
完整的算法流程如下:
1如果G是连通图,转2,否则返回无解并结束;
2检查G中的奇点,构成图H的顶点集;
3求出G中每对奇点之间的最短路径长度,作为图H对应顶点间的边权;
4对H进行最小权匹配;
5把最小权匹配里的每一条匹配边代表的路径,加入到图G中得到图G'
6在G'中求欧拉回路,即所求的最优路线。
中国邮递员问题②:
和①相似,只是所有街道都是单向通行的。
分析:
单向连通,即给定有向图G。
和①的分析一样,我们来讨论如何从G转换为欧拉图G'
首先计算每个顶点v的入度与出度之差d'(v)。
如果G中所有的v都有d'(v)=0,那
么G中已经存在欧拉回路。
d'(v)>0说明得加上出度。
d'(v)<0说明得加上入度。
而当d'(v)=0,则不能做任何新增路径的端点。
可以看出这个模型很像网络流模型。
顶点d'(v)>0对应于网络流模型中的源点,它发出d'(v)个单位的流;顶点d'(v)
<0对应于网络流模型中的汇点,它接收-d'(v)个单位的流;而d'(v)=0的顶点,则
对应于网络流模型中的中间结点,它接收的流量等于发出的流量。
在原问题中还要求增加的
路径总长度最小,我们可以给网络中每条边的费用值设为图中对应边的长度。
这样,在网
络中求最小费用最大流,即可使总费用最小。
这样构造网络N:
1其顶点集为图G的所有顶点,以及附加的超级源和超级汇;
2对于图G中每一条边(u,v),在N中连边(u,v),容量为费用为该边的长度;
3从源点向所有d'(v)>0的顶点v连边(s,v),容量为d'(v),费用为0;
4从所有d'(v)<0的顶点向汇点t连边(u,t),容量为-d'(v),费用为0。
完整的算法流程如下:
1如果G的基图连通且所有顶点的入、出度均不为0,转2,否则返回无解并结束;
2计算所有顶点v的d'(v)值;
3构造网络N;
4在网络N中求最小费用最大流;
5对N中每一条流量f(u,v)的边(u,v),在图G中增加f(u,v)次得到G';
6在G'中求欧拉回路,即为所求的最优路线。
NPC问题:
如果部分街道能够双向通行,部分街道只能单向通行。
这个问题已被证明是NPC的。
[5]
[1]大城市邮政投递问题及其算法研讨
[2]忽略有向图所有边的方向,得到的无向图称为该有向图的基图。
[3]度为奇数的顶点称为奇点。
[4]J.Edmonds,E.Johnson
《Matching,Eulertours,andtheChinesepostman
[5]C.Papadimitriou
《Thecomplexityofedgetraversing
中国邮递员问题的C++实现源代码
//PKU2337
#include
#include
#include
#include
#include
usingnamespacestd;
constintMAX=1100;charstr[MAX][25];
intn,in[MAX],out[MAX];
vector
intvis[30];
intf[30],ss,is,os,ps;
intseq[MAX],step;
voidfind_euler(intpos)
•••{
inti,j;
while(out[pos])...{
for(;vis[pos] stringsnext=words[pos][vis[pos]]; j=snext[snext.length()-1]」a';out[pos]--; vis[pos]++; find_euler(j); } } seq[step++]=pos; } voidunion_f(ints,inte) •••{ intts=s,te=e; while(s! =-1&&f[s]! =s)...{s=f[s]; } if(s==-1)...{ f[ts]=s=ts; } while(e! =-1&&f[e]! =e)...{intt=e; e=f[e]; f[t]=s; } if(e>=0)...{ f[e]=s; } } intmain() ...{ intt,i,j; scanf("%d",&t); while(t--)...{ scanf("%d",&n); getchar(); for(i=0;i<30;i++)words[i].clear();memset(in,O,sizeof(in)); memset(out,0,sizeof(out));memset(f,-1,sizeof(f)); ss=is=os=ps=0; for(i=0;i gets(str[i]); intlen=strlen(str[i]); intchs=str[i][O]-'a'; intche=str[i][len-1]-'a';words[chs].push_back(string(str[i]));in[che]++; out[chs]++; union_f(chs,che); } boolflag=true; for(i=0;i<30;i++)...{ if(f[i]==i)ss++; if(in[i]==out[i]+1)os++; elseif(in[i]+1==out[i])is++; elseif(in[i]! =out[i])flag=false; } if(ss>1)flag=false; if(! (os==0&&is==0)&&! (os==1&&is==1))flag=false;if(! flag)...{ puts("***"); } else...{ intspos; if(os==1&&is==1)...{ for(i=0;i<30;i++)...{ if(in[i]+1==out[i])...{ spos=i; break; } } } else...{ for(i=0;i<30;i++)...{ if(f[i]! =-1)...{ spos=i; break; } } } for(i=0;i<30;i++)sort(words[i].begin(),words[i].end()); step=0; memset(vis,0,sizeof(vis)); find_euler(spos); 〃memset(vis,0,sizeof(vis)); for(i=step-1;i>0;i--)...{ spos=seq[i]; stringsnext; for(j=0;j snext=words[spos][j]; if(seq[i-1]==snext[snext.length()-1]」a')...{words[spos].erase(words[spos].begin()+j);break; } } printf("%s",snext.c_str()); if(i>1)putchar('.'); } puts(””); } } }
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