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在三角形中,从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线,顶点与垂足之间的线段称为三角形的高。
注:
(1)三角形的高必为线段;
(2)三角形的高必过顶点垂直于对边;
(3)三角形有三
条高。
2、三角形的角平分线
1、定义:
在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点间的
线段称为三角形的角平分线。
2、注:
(1)三角形的角平分线必为线段,而一个角的角平分线为一条射线;
(2)三角形的角平分线必过顶点平分三角形的一内角;
(3)三角形有三条角平分线。
三角形的三条角平分线相较于一点,这点叫做三角形的内心
3、三角形的中线
在三角形中,连结一个顶点与它对边中点的线段,叫做三角形的中线。
2、注1)三角形的中线必为线段;
2)三角形的中线必平分对边;
3)三角形有三条中线。
三角形的三条中线相较于一点,这点称为三角形的重心
重心定理:
三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
外心定理:
三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
垂心定理:
垂心:
三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
内心定理:
三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心定理:
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。
它们都是三角形的重要相关点。
试一试:
1在厶ABC中,AD是角平分线,BE是中线,/BAD=40,
则/CAD=,若AC=6cm贝UAE=
2下列说法正确的是()
A三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
B直角三角形只有一条高
C三角形的三条至少有一条在三角形内
D钝角三角形的三条高均在三角形外
下列各图中的AD是厶ABC的高吗?
若不是,画出正确图形。
11•说出图中的阴影线的各三角形的面积(每一小正方形的边长为一个长度单位)
12.在△ABC中,已知/ABC=60°
,/ACB=50°
BE是AC上的高,CF是AB上的高,H是BE和CF的交点。
求/ABE、/ACF和/BHC的度数。
三•例题精讲:
例1.一个等腰三角形的周长为28cm,有一边长为8cm,则这个三角形的边长是多少?
例2、如图,A65,ABD30,ACB72,
例3.如图,CD是/ACB的平分线,DE//BC,/B=7C°
ZACB=50,
求/EDC/BDC的度数。
认识三角形同步练习
一、选择题
1.现有两根铁条,它们的长分别是30cm和50cm,如果要做成一个三角形铁架,那么在
下列四根铁条中应选取()
A.20cm的铁条;
B.30cm的铁条;
C.80cm的铁条;
D.90cm的铁条.
2.以下列长度的线段为边,可以作一个三角形的是()
A.5cm>
10cm>
15cm;
B.5cm、10cm、20cm;
C.10cm、15cm、20cm;
D.5cm、20cm、25cm.
3.已知三角形的三边长分别是
3,
8,x;
若X的值为偶数,则
X的值有(
)
A.6个;
B.
5个;
C.4个;
D.3个.
4.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形的形状是
()
A.锐角三角形;
E.直角三角形;
C.钝角三角形;
D.等腰三角形.
5•三角形的角平分线是(
A.射线;
E.直线;
C.线段;
D.线段或射线.
二、填空题
6.等腰三角形的两条边长分别为3cm和4cm,则这个等腰三角形的周长为cm.
2.三角形的两边分别为4和5,第三边为盂,则忑的取值范围是.
3.在△ABC中,AB=9,BC=2并且AC为奇数,那么△ABC的周长是.
2
4.AABC中,/A=2/B=<
/C,则三个内角分别为.
5.一个三角形最多有个直角:
有个锐角;
有个钝角.
6.
在△ABC中,/A-ZB=15°
,/C=75,则/A=,/B=.
7.如图,ZA=80°
Z2=130°
则Z1=度
8•等腰三角形的两条边长分别为4cm和9cm,则第三边长为
9.已知,如图,已知AD、AE分别是△ABC的中线,高线,
且AB=5cm,AC=3cm;
则厶ABD和厶ADC的周长之差等
于cm;
△ABD与厶ACD的面积关系是.
10.用一根长为15cm的细铁丝围成一个三角形,其三边的长
(单位:
cm)分别为整数a、b、c,且a>
b>
c,
(1)请写出一组符合上述条件的a、b、c的值
(2)a最大可取,c最小可取
11.如图在△ABC中,,D是ZACB与ZABC的角平分线的交点,BD的延长线交AC于E,且ZEDC=50,求ZA的度数.
12.如图所示,AB丄BC,DCLBQ若/DBC=45,/A=70°
求/D,ZAED/BFE的度数.
全等三角形
一、课标要求(学习本章节需要达到的目的)
1、了解全等形及全等三角形的概念;
2、掌握全等三角形的性质,体会通过三角形的平移、翻折和旋转,图形变换的保形性
3、掌握一般三角形全等的四种判定方法和直角三角形全等的判定方法,会运用三角形全等
解决日常生活中问题;
4、会画角平分线,了解角平分线的性质和判定方法
二、知识疏理
1、三角形全等的有关概念和性质
能够完全重合的两个图形叫做全等形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形•互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边
叫做对应边,互相重合的角叫做对应角
全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等,对应角相等
2、一般三角形全等的判定
(1)边角边公理(SAS:
有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等
(2)角边角公理(ASA:
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
(3)角角边公理(AAS:
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
(4)边边边公理(SSS:
有三边对应相等的两个三角形全等
3、直角三角形全等的特殊判定方法
斜边直角边公理(HL:
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
注意:
判定直角三角形全等也可以用SAS,ASA,AAS,SSS
4、角的平分线的定义、性质和判定定理
定义:
把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线
性质:
角平分线上的点到这个角两边的距离相等
判定:
到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上
三、典型例题解析
例1如图,ABCDEB,ab=de,EABC,
则C的对应角为,
BC的对应边为。
例2如图,ABCEFC,且CF=3cm,EFC64°
贝HBC=cm,B=;
例3下列说法错误的是()
A.全等三角形对应边相等
B•全等三角形对应角相等
C.若两个三角形全等且有公共顶点,则公共顶点就是它们的对应顶点
D.若两个三角形全等,则对应边所对的角是对应角
例4在ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接
(1)求证:
ABCADC;
(2)求证:
ADCADB900.
例5如图,在ABC中,C90°
,am平分
那么M至UAB的距离是cm.
4、如图:
AB=ADAE平分/BAD则图中有()对全等三角形。
A.2B.3C.4D.5
5、工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法是:
如图在/AOB的边OAOB上分别取OM=ON
移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与MN重合,得到/AOB的平分线OP做法中用到三
角形全等的判定方法是()
A.
SSS
B.SAS
C.
ASA
D.
HL
6、.如图,D是/BAC的平分线上一点,
DE丄AC于
E,DF丄AB于F,
下列结论中不正确
的是(
DE=DF
B.AE=AF
△ADE^AADF
D.
AD=DE+DF
7、如图:
EA//DF,AE=DF要使△AEC^ADBF,则只要()
A.AB=CD
B.EC=BF
C.ZA=ZD
D.AB=BC
8、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那
么最省事的办法是(
9、如图:
直线a,b,c表示三条相互交叉环湖而建的公路,现在建立一个货物中转站,要
求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(
10、如图:
△ABC中,
/C=90°
AC=BCAD平分/CAB交BC于D,DELAB于E,且AB=6
13、已知,如图2:
ZABCMDEFAB=DE要说明△ABC^ADEF若以“SAS为依据,还要添加的条件为;
14、如图3:
要测量河岸相对的两点A、B之间的距离,先从B处出发与AB成90°
角方向,
向前走50米到C处立一根标杆,然后方向不变继续朝前走50米到D处,在D处转90°
沿
DE方向再走17米,到达E处,使AC与E在同一直线上,那么测得AB的距离为
米。
15、如图:
在厶ABC中,AD=AEBD=EC/ADB玄AEC=105,/B=40°
则/CAE
16、如图,在△ABC中,AD=DE,AB=BE,ZA=80°
则/CED=
(第16题)(第17题)
17、如图:
两个三角形全等,其中已知某些边的长度和某些角的度数,?
则x=.
18、、如图,在△ABC中,/C=90°
AD平分/BACBC=10cm,BD=6cm则点D到AB的距
离为。
22、如图:
人。
是厶ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=ACFD=CD
求证:
BE丄AG
23、如图:
E是/AOB勺平分线上一点,
(1)OC=OD
(2)DF=CF
A
24、如图:
在△ABCAB=ACBD丄AC于D,CELAB于E,求证:
AF平分/BAC
尺规作图专题
尺规作图的定义:
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图
通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图:
1、作一条线段等于已知线段;
2、作一个角等于已知角;
3、作已知线段的垂直平分线;
4、作已知角的角平分线;
5、过一点作已知直线的垂线;
题目一:
作一条线段等于已知线段。
已知:
如图,线段a.
求作:
线段AB使AB=a.
作法:
(1)作射线AP;
(2)在射线AP上截取AB=a.则线段AB就是所求作的图形。
题目二:
作已知线段的中点。
已知:
如图,线段MN.
点0,使MO=NO艮卩0是MN的中点)作法:
(1)分别以MN为圆心,大于二的相同线段为半径画弧,
两弧相交于P,Q;
(2)连接PQ交MN于O
则点0就是所求作的MN的中点。
(试问:
PQ与MN有何关系?
a
(己知)
(作线段尊于已知线段)
、P
1
(作线段的中点)
题目三:
作已知角的角平分线。
如图,/AOB
求作
射线0P,使/A0圧/BOP(即0P平分/AOB
(1)以0为圆心,任意长度为半径画弧,分别交OA0B于MN;
(2)分别以MN为圆心,大于7
的相同线段为半径画弧,两弧交/A0B内于P;
(3)作射线0P
则射线0P就是/A0B的角平分线。
NB
(作角平分线)
题目四:
作一个角等于已知角
(请自己写出“已知”“求作”并作出图形,不写作法)
题目五:
已知三边作三角形。
如图,线段a,b,c.
△ABC使AB=c,AC=b,BC=a.
(1)作线段AB=c;
(2)以A为圆心b为半径作弧,以B为圆心a为半径作弧与前弧相交于C;
(3)连接AC,BC
则厶ABC就是所求作的三角形。
(已知三边作三角形)
题目六:
已知两边及夹角作三角形。
已知求作作法
(1)
(2)
(3)
如图,线段mn,/.
△ABC使/A=Z,AB=m
作/A=Z;
在AB上截取AB=m,AC=n连接BC
AC=n.
〔已知)
:
已知两边及夹角作三角形)
题目七:
已知两角及夹边作三角形。
如图,/,/,线段m.
(1)作线段AB=m
(2)在AB的同旁
作/A=Z,作/B=Z,
/A与/B的另一边相交于C。
则厶ABC就是所求作的图形(三角形)
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