专题二平行四边形常用辅助线的作法 精编排版Word下载.docx
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互相平分.
说明:
当已知条件中涉及到平行,且要求
证的结论中和平行四边形的性质有关,可
试通过添加辅助线构造平行四边形.
(2)利用两组对边平行构造平行四边形
2、如图,在△ABC
中,E、F
为
AB
上两点,AE=BF,ED//AC,FG//AC
交
BC
分别为
D,G.
ED+FG=AC.
当图形中涉及到一组对边平
行时,可通过作平行线构造另一组
对边平行,得到平行四边形解决问
(3)利用对角线互相平分构造平行四边形:
3、如图,已知
是△ABC
的中线,BE
于
E,交
F,且
AE=EF.求证
BF=AC.
本题通过利用对角线互相平分构造平行
四边形,实际上是采用了平移法构造平行四边
形.当已知中点或中线应思考这种方法.
(4)连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。
4、如图,在平行四边形
中,点
E,
F
在对角线
上,且
AE
=
CF
请你以
为一
个端点,
和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段
相等(只需证明一条线段即可)
D
F
E
图1
图2
(5)平移对角线,把平行四边形转化为梯形。
5、如右图
2,在平行四边形
中,对角线
和
BD
相交于点
O,如果
12
,
10
,
m
,那么
的取值范围是()
A、1
<
11B、
2
22
C、10
12D、
5
6
AD
3
(6)过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
P
6、已知:
如图,四边形
为平行四边形:
求证:
+
CD
DA2
图3
C
图
(7)延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。
7、已知:
如右上图
4,在正方形
中,
分别是
、
DA
的中点,
BE
交
P
点,求证:
APAB
二、课堂练习:
1、如图,E
的边
的中点,AC
DE
,若平行四边形
ABCD
A.1
个B.2
个C.3
个D.4
个
2、顺次连接一个任意四边形四边的中点,得到一个
____________________
四边形.
3、如图,AD,BC
垂直相交于点
O,AB∥CD,BC=8,AD=6,
则
AB+CD
的长=___________。
4、已知等边三角形
ABC
的边长为
a,
内一点,PD∥AB,PE∥BC,PF
∥AC,点
D、
E、F
分别在
BC、AC、AB
上,猜想:
PD+PE+PF=______,并证明你的
猜想.
CE
图4
K
5、平行四边形
E
G,
H
分别是四条边上的点,且
DH
试说明:
EF
GH
相互平分.
6、如图,平行四边形
交于
O,E、F
OB、OD
的中点,过
任作一直线分
别交
AB、CD
G、H.
GF∥EH.
7、如图,已知
,B
是
的中点,E
的中点.
2CE
8、如图,E
是梯形
腰
DC
S
∆ABE
=
梯形ABCD
5
9、已知六边形
ABCDEF
的
6
个内角均为
120°
,CD=2cm,BC=8cm,AB=8cm,AF=5cm,试
求此六边形的周长.
10、已知
∆ABC
是等腰三角形,AB=AC,D
边上的任一点,且
⊥
DF
CH
,垂足分别为
E、F、H,
求
证:
CH
11、已知:
在
Rt∆ABC
Rt∆ADE
连结
EC
,取
的中点
M
DM
BM
.
(1)若点
在边
上,点
上且与点
不重合,如图①,
且
(2)如果将图
8-①中的
∆ADE
绕点
逆时针旋转小于
45°
的角,如图②,那么
(1)
中的结论是否仍成立?
如果不成立,请举出反例;
如果成立,请给予证明.
M
ADC
图①
图-②
答案:
4、⑴
BF⑵
BF
DE
,
⑶
证明:
DB
设
交于点
∵四边形
为平行四边形∴
AO
OC,
DO
OB
∵
FC∴
-
OC
FC
即
OF
∴四边形
EBFD
5、解:
将线段
沿
方向平移,使得
CE
则有四边形
CDBE
为平行
四边形,
∵在
∆ACE
中,
2m
∴12
2m
,即
22解得
1
11故选
6、证明:
过
A,
分别作
于点
的延长线于点
∴
(
)
⋅
BC
(CD
2BC
CF
7
DA2
BE
∥
∠ABC
∠DCF∵
∠AEB
∠DFC
90
≅
∆DCF∴
7、证明:
延长
BA
为正方形
∠BAD
∠BCD
∠D
∠1
∠K又∵
∠DAK
0
AF∴
∆CDF
≌
∆KAF
22
0∴
∆BCE
∆CDF∴
∠2
∠3
∠2
∠CPB
则
∠KPB
AP
AB
1、
C2、平行3、104、
a
5、分析:
观察图形,EF
HG
为四边形
HEGF
的对角线,若能说明四边形
是平
行四边形,根据
平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到
相互平分。
6、分析:
观察图形,GF
EH
GEHF
的对边,若能说明四边形
EHFG
是平行
四边形,平行四
边形具有对边平行的性质可得
8
7、分析:
至
F,使
EF=CE,连结
AF、BF,得四边形
AFBC
是平行四边形,利
用平行四边形
的性质证明△DBC≌△FBC
即可。
8、分析:
过点
作
MN∥AB,交
N,交
的延长线于
M,则四边形
ABNM
行四边形,
ABE
ABNM,接下来说明
梯形
ABCD=S
9、
10、
点作
DG⊥CH
G
又
DE⊥AB
E,CH⊥AB
H
DGHE
为矩形∴DE=GHEH∥DG
∴∠B=∠GDC
AB=AC∴∠B=∠ACB
∴∠GDC=∠ACB
又∠DGC=∠DFC=90°
CD=DC(公共边)
∴△CDG≌△DCF(AAS)
∴DF=CG
9
CH=CG+GH
∴CH=DF+DG(等量代换)
11、
平行四边形中常用辅助线的添法
10
平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同
性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三
角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常
用方法有下列几种,举例简解如下:
(1)连对角线或平移对角线:
(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形
(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或
中位线
(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。
(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等
第一类:
连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。
如左下图
1,在平行四边形
请你
以
为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中
已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)
⑴连结
⑶证明:
DB,
第二类:
平移对角线,把平行四边形转化为梯形。
如右图
A1
11B
22C10
12D
11
解:
为平行四
边形,∵在
22解得1
第三类:
过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
已知:
3,四边形
为平行四边形
BE
第四类:
延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。
4:
中,E,
、DA
12
第五类:
延长一边上一点与一顶点连线,把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
5,在平行四边形
为边
上任一点,请你在该图基础上,
适当添加辅助线找出两对相似三角形。
的延长线相交于
,则有
∆AED
∽
∆FEC
∆FAB
∆FAB
AA
EN
BE图6C
B图5CF
第六类:
把对角线交点与一边中点连结,构造三角形中位线
6,在平行四边形
AN
BN
,求
:
BD
连结
ON
OA
OB
OD
NE
11BEBF
22ONFO
1BF2
3FO3
BF2
BO5
综上所述,平行四边形中常添加辅助线是:
连对角线,平移对角线,延长一边中点与
顶点连线等,这样可将平行四边形转化为三角形(或特殊三角形)、矩形(梯形)等图形,
为证明解决问题创造条件。
13
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