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判定方法3:
同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言:
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形.
要点三、平行线的性质
性质1:
两直线平行,同位角相等;
性质2:
两直线平行,内错角相等;
性质3:
两直线平行,同旁内角互补.
(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”.
(2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;
从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.
要点四、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线
的距离.
(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线的距离.
(2)两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变,即平行线间的距离处处相等.
要点五、命题、定理、证明
1.命题:
判断一件事情的语句,叫做命题.
(1)命题的结构:
每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.
(2)命题的表达形式:
“如果……,那么…….”,也可写成:
“若……,则…….”
(3)真命题与假命题:
真命题:
题设成立结论一定成立的命题,叫做真命题.
假命题:
题设成立而不能保证结论一定成立的命题,叫做假命题.
2.定理:
定理是从真命题(公理或其他已被证明的定理)出发,经过推理证实得到的另一个真命题,定理也可以作为继续推理的依据.
3.证明:
在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这个推理过程叫做证明.
(1)证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据可以是已知条件,学过的定义、基本事实、定理等.
(2)判断一个命题是正确的,必须经过严格的证明;
判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可.
要点六、平移
1.定义:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移.
(1)图形的平移的两要素:
平移的方向与平移的距离.
(2)图形的平移不改变图形的形状与大小,只改变图形的位置.
2.性质:
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离,平移不改变线段、角的大小,具体来说:
(1)平移后,对应线段平行且相等;
(2)平移后,对应角相等;
(3)平移后,对应点所连线段平行且相等;
(4)平移后,新图形与原图形是一对全等图形.
【典型例题】
类型一、平行线
例1.下列说法正确的是()
A.不相交的两条线段是平行线.
B.不相交的两条直线是平行线.
C.不相交的两条射线是平行线.
D.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
【答案】D
例2.在同一平面内,下列说法:
(1)过两点有且只有一条直线;
(2)两条直线有且只有一个公共点;
(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(4)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
其中正确的个数为:
()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解析】正确的是:
(1)(3).
【变式1】下列说法正确的个数是()
(1)直线a、b、c、d,如果a∥b、c∥b、c∥d,则a∥d.
(2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直.
(3)两条直线被第三条直线所截,同位角相等.
(4)在同一平面内,如果两直线都垂直于同一条直线,那么这两直线平行.
A.1个B.2个C.3个D.4个
类型二、两直线平行的判定
例3.如图,给出下列四个条件:
(1)AC=BD;
(2)∠DAC=∠BCA;
(3)∠ABD=∠CDB;
(4)∠ADB=∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有().
A.
(1)
(2)B.(3)(4)C.
(2)(4)D.
(1)(3)(4)
【答案】C
【变式2】一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是()
A.第一次向左拐30°
,第二次向右拐30°
B.第一次向右拐50°
,第二次向左拐130°
C.第一次向右拐50°
,第二次向右拐130°
D.第一次向左拐50°
例4.如图所示,已知∠B=25°
,∠BCD=45°
,∠CDE=30°
,∠E=10°
.试说明AB∥EF的理由.
解法1:
如图所示,在∠BCD的内部作∠BCM=25°
,
在∠CDE的内部作∠EDN=10°
.
∵∠B=25°
(已知),
∴∠B=∠BCM,∠E=∠EDN(等量代换).
∴AB∥CM,EF∥DN(内错角相等,两直线平行).
又∵∠BCD=45°
∴∠DCM=20°
,∠CDN=20°
(等式性质).
∴∠DCM=∠CDN(等量代换).
∴CM∥DN(内错角相等,两直线平行).
∵AB∥CM,EF∥DN(已证),
∴AB∥EF(平行线的传递性).
解法2:
如图所示,分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点.
∵∠BCD=45°
,∴∠NCB=135°
∴∠CNB=180°
-∠NCB-∠B=20°
(三角形的内角和等于180°
).
又∵∠CDE=30°
,∴∠EDM=150°
又∵∠E=10°
∴∠EMD=180°
-∠EDM-∠E=20°
∴∠CNB=∠EMD(等量代换).
所以AB∥EF(内错角相等,两直线平行).
【变式3】已知,如图,BE平分ABD,DE平分CDB,且1与2互余,试判断直线AB、CD的位置关系,请说明理由.
解:
AB∥CD,理由如下:
∵BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,
∴∠ABD=2∠1,∠CDB=2∠2.
又∵∠1+∠2=90°
∴∠ABD+∠CDB=180°
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
【变式4】已知,如图,ABBD于B,CDBD于D,1+2=180°
,求证:
CD//EF.
【答案】
证明:
∵ABBD于B,CDBD于D,
∴AB∥CD.
又∵1+2=180°
∴AB∥EF.
∴CD//EF.
类型三、平行线的性质
例5.如图所示,如果AB∥DF,DE∥BC,且∠1=65°
.那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?
为什么.
解:
∵DE∥BC,
∴∠4=∠1=65°
(两直线平行,内错角相等).
∠2+∠1=180°
(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠2=180°
-∠1=180°
-65°
=115°
又∵DF∥AB(已知),
∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等).
∴∠3=115°
(等量代换).
【变式5】如图,已知
,且∠1=48°
,则∠2=,∠3=,∠4=.
【答案】48°
,132°
,48°
【变式6】如图所示,直线l1∥l2,点A、B在直线l2上,点C、D在直线l1上,若△ABC的面积为S1,△ABD的面积为S2,则()
A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.不确定
【答案】B
类型四、命题
例6.判断下列语句是不是命题,如果是命题,是正确的?
还是错误的?
①画直线AB;
②两条直线相交,有几个交点;
③若a∥b,b∥c,则a∥c;
④直角都相等;
⑤相等的角都是直角;
⑥如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.
【答案】①②不是命题;
③④⑤⑥是命题;
③④⑥是正确的命题;
⑤是错误的命题.
【变式8】把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式.
(1)两直线平行,同位角相等;
(2)对顶角相等;
(3)同角的余角相等.
【答案】
(1)如果两直线平行,那么同位角相等.
(2)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
(3)如果有两个角是同一个角的余角,那么它们相等.
类型四、平移
例7.(湖南益阳)如图所示,将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的
位置,若∠CAB=50°
,∠ABC=100°
,则∠CBE的度数为________.
【答案】30°
【变式9】(上海静安区一模)如图所示,三角形FDE经过怎样的平移可以得到三角形ABC()
A.沿EC的方向移动DB长
B.沿BD的方向移动BD长
C.沿EC的方向移动CD长
D.沿BD的方向移动DC长
【答案】A
类型五、平行的性质与判定综合应用
例8、如图所示,AB∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()
A.180°
B.270°
C.360°
D.540°
【解析】过点C作CD∥AB,
∵CD∥AB,
∴∠BAC+∠ACD=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
又∵EF∥AB
∴EF∥CD.
∴∠DCE+∠CEF=180°
又∵∠ACE=∠ACD+∠DCE
∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°
+180°
=360°
【课后作业】
一、选择题
1.下列说法中正确的有()
①一条直线的平行线只有一条.
②过一点与已知直线平行的直线只有一条.
③因为a∥b,c∥d,所以a∥d.
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
2.如果两个角的一边在同一直线上,另一边互相平行,则这两个角()
A.相等B.互补C.互余D.相等或互补
3.如图,能够判定DE∥BC的条件是()
A.∠DCE+∠DEC=180°
B.∠EDC=∠DCB
C.∠BGF=∠DCBD.CD⊥AB,GF⊥AB
4.一辆汽车在广阔的草原上行驶,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,那么这两次拐弯的角度可能是().
A.第一次向右拐40°
,第二次向右拐140°
B.第一次向右拐40°
,第二次向左拐40°
C.第一次向左拐40°
D.第一次向右拐140°
5.如图所示,下列条件中,不能推出AB∥CE成立的条件是()
A.∠A=∠ACEB.∠B=∠ACEC.∠B=∠ECDD.∠B+∠BCE=180°
6.(绍兴)学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的(如图,
(1)—(4)):
从图中可知,小敏画平行线的依据有()
①两直线平行,同位角相等.②两直线平行,内错角相等.③同位角相等,两直线平行.
④内错角相等,两直线平行.
A.①②B.②③C.③④D.④①
二、填空题
7.在同一平面内的三条直线,它们的交点个数可能是________.
8.如图,DF平分∠CDE,∠CDF=55°
,∠C=70°
,则________∥________.
9.规律探究:
同一平面内有直线a1,a2,a3…,a100,若a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4…,按此规律,a1和a100的位置是________.
10.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40°
,则另一个角的度数是
11.直线
同侧有三点A、B、C,如果A、B两点确定的直线
与B、C两点确定的直线
都与
平行,则A、B、C三点,其依据是
12.如图,AB⊥EF于点G,CD⊥EF于点H,GP平分∠EGB,HQ平分∠CHF,则图中互相平行的直线有.
三、解答题
13.如图,∠1=60°
,∠2=60°
,∠3=100°
,要使AB∥EF,∠4应为多少度?
说明理由.
14.小敏有一块小画板(如图所示),她想知道它的上下边缘是否平行,而小敏身边只有一个量角器,你能帮助她解决这一问题吗?
15.如图,把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠,已知∠ADB=20°
,那么∠BAF为多少度时,才能使AB′∥BD?
16.如图所示,由∠1=∠2,BD平分∠ABC,可推出哪两条线段平行,写出推理过程,如果推出另两条线段平行,则应将以上两条件之一作如何改变?
【答案与解析】
1.【答案】A
【解析】只有④正确,其它均错.
2.【答案】D
3.【答案】B
【解析】内错角相等,两直线平行.
4.【答案】B
5.【答案】B
【解析】∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角.
6.【答案】C
【解析】解决本题关键是理解折叠的过程,图中的虚线与已知的直线垂直,过点P的折痕与虚线垂直.
7.【答案】0或1或2或3个;
8.【答案】BC,DE;
【解析】∠CFD=180°
-70°
-55°
=55°
,而∠FDE=∠CDF=55°
,所以∠CFD=∠FDE.
9.【答案】a1∥a100;
【解析】为了方便,我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100,因为a1⊥a2∥a3,所以a1⊥a3,而a3⊥a4,所以a1∥a4∥a5.同理得a5∥a8∥a9,a9∥a12∥a13,…,接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100,所以a1∥a100.
10.【答案】40°
或140°
11.【答案】共线,平行公理;
【解析】此题考查是平行公理,它是论证推理的基础,应熟练应用.
12.【答案】AB∥CD,GP∥HQ;
【解析】
理由:
∵AB⊥EF,CD⊥EF.∴∠AGE=∠CHG=90°
.∴AB∥CD.
∵AB⊥EF.∴∠EGB=∠2=90°
.∴GP平分∠EGB.
∴∠1=
EGB=45°
∴∠PGH=∠1+∠2=135°
同理∠GHQ=135°
,∴∠PGH=∠GHQ.
∴GP∥HQ.
13.【解析】
∠4=100°
.理由如下:
∵∠1=60°
∴∠1=∠2,∴AB∥CD
又∵∠3=∠4=100°
∴CD∥EF,∴AB∥EF.
14.【解析】
如图所示,用量角器在两个边缘之间画一条线段MN,用量角器测得∠1=50°
∠2=50°
,因为∠1=∠2,所以由内错角相等,两直线平行,可知画板的上下边缘是平行的.
15.【解析】
要使AB′∥BD,只要∠B′AD=∠ADB=20°
∠B′AB=∠BAD+∠B′AD=90°
+20°
=110°
∴∠BAF=
∠B′AB=
×
110°
16.【解析】
可推出AD∥BC.∵BD平分∠ABC(已知).
∴∠1=∠DBC(角平分线定义).
又∵∠1=∠2(已知),∴∠2=∠DBC(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
把∠1=∠2改成∠DBC=∠BDC.
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- 平行线 判定 性质