弹性力学重点复习题及其答案.doc
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弹性力学重点复习题及其答案
一、填空题
1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L-1MT-2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量MPa,MPa,MPa,则主应力150MPa,0MPa,。
8、已知一点处的应力分量,MPa,MPa,MPa,则主应力512MPa,-312MPa,-37°57′。
9、已知一点处的应力分量,MPa,MPa,MPa,则主应力1052MPa,-2052MPa,-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构,然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分:
一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
16、每个单元的应变一般总是包含着两部分:
一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的,即所谓常量应变。
17、为了能从有限单元法得出正确的解答,位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变,还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
18、为了使得单元内部的位移保持连续,必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为了使得相邻单元的位移保持连续,就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相同的位移。
19、在有限单元法中,单元的形函数Ni在i结点Ni=1;在其他结点Ni=0及∑Ni=1。
20、为了提高有限单元法分析的精度,一般可以采用两种方法:
一是将单元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况;二是采用包含更高次项的位移模式,使位移和应力的精度提高。
二、判断题(请在正确命题后的括号内打“√”,在错误命题后的括号内打“×”)
1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。
(√)
2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。
(×)
3、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。
(×)
4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。
(×)
5、如果某一问题中,,只存在平面应力分量,,,且它们不沿z方向变化,仅为x,y的函数,此问题是平面应力问题。
(√)
6、如果某一问题中,,只存在平面应变分量,,,且它们不沿z方向变化,仅为x,y的函数,此问题是平面应变问题。
(√)
7、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
(×)
8、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。
(×)
9、当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。
(√)
10、当物体的位移分量完全确定时,形变分量即完全确定。
(√)
11、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。
(×)
12、按应力求解平面问题,最后可以归纳为求解一个应力函数。
(×)
13、在有限单元法中,结点力是指单元对结点的作用力。
(×)
14、在有限单元法中,结点力是指结点对单元的作用力。
(√)
15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。
(√)
三、简答题
1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。
在研究对象方面,材料力学基本上只研究杆状构件,也就是长度远大于高度和宽度的构件;而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外,还对非杆状结构,例如板和壳,以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。
在研究方法方面,材料力学研究杆状构件,除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外,大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定,这就大简化了数学推演,但是,得出的解答往往是近似的。
弹性力学研究杆状构件,一般都不必引用那些假定,因而得出的结果就比较精确,并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。
2、简述弹性力学的研究方法。
答:
在弹性体区域内部,考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。
即根据微分体的平衡条件,建立平衡微分方程;根据微分线段上形变与位移之间的几何关系,建立几何方程;根据应力与形变之间的物理关系,建立物理方程。
此外,在弹性体的边界上还要建立边界条件。
在给定面力的边界上,根据边界上微分体的平衡条件,建立应力边界条件;在给定约束的边界上,根据边界上的约束条件建立位移边界条件。
求解弹性力学问题,即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
3、弹性力学中应力如何表示?
正负如何规定?
答:
弹性力学中正应力用表示,并加上一个下标字母,表明这个正应力的作用面与作用方向;切应力用表示,并加上两个下标字母,前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴,后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。
并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负。
相反,作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正,沿坐标轴正方向为负。
4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。
答:
平面应力问题是指很薄的等厚度薄板,只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力,同时,体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
对应的应力分量只有,,。
而平面应变问题是指很长的柱形体,在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力,同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化,对应的位移分量只有u和v
5、简述圣维南原理。
如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同,对于同一点的主矩也相同),那么,近处的应力分布将有显著的改变,但是远处所受的影响可以不计。
6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。
答:
所谓逆解法,就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数;并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量;然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状,看这些应力分量对应于边界上什么样的面力,从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。
7、以三节点三角形单元为例,简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。
(1)取三角形单元的结点位移为基本未知量。
(2)应用插值公式,由单元的结点位移求出单元的位移函数。
(3)应用几何方程,由单元的位移函数求出单元的应变。
(4)应用物理方程,由单元的应变求出单元的应力。
(5)应用虚功方程,由单元的应力出单元的结点力。
(6)应用虚功方程,将单元中的各种外力荷载向结点移置,求出单元的结点荷载。
(7)列出各结点的平衡方程,组成整个结构的平衡方程组。
8、为了保证有限单元法解答的收敛性,位移模式应满足哪些条件?
答:
为了保证有限单元法解答的收敛性,位移模式应满足下列条件:
(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移;
(2)位移模式必须能反映单元的常量应变;(3)位移模式应尽可能反映位移的连续性。
9、在有限单元法中,为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移?
每个单元的位移一般总是包含着两部分:
一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是本单元的形变无关的,即刚体位移,它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
甚至在弹性体的某些部位,例如在靠近悬臂梁的自由端处,单元的形变很小,单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。
因此,为了正确反映单元的位移形态,位移模式必须能反映该单元的刚体位移。
10、在有限单元法中,为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变?
答:
每个单元的应变一般总是包含着两部分:
一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的,即所谓常量应变。
而且,当单元的尺寸较小时,单元中各点的应变趋于相等,也就是单元的应变趋于均匀,因而常量应变就成为应变的主要部分。
因此,为了正确反映单元的形变状态,位移模式必须能反映该单元的常量应变。
11、在平面三结点三角形单元中,能否选取如下的位移模式并说明理由:
(1),
(2),
答:
(1)不能采用。
因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项;对坐标x,y不对等;在单元边界上的连续性条件也未能完全满足。
(2)不能采用。
因为,位移模式没有反映刚体位移和常量应变项;在单元边界上的连续性条件也不满足。
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
(1),,;
(2),,;
其中,A,B,C,D,E,F为常数。
解:
应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:
(1)在区域内的平衡微分方程;
(2)在区域内的相容方程;(3)在边界上的应力边界条件;(4)对于多连体的位移单值条件。
(1)此组应力分量满足相容方程。
为了满足平衡微分方程,必须A=-F,D=-E。
此外还应满足应力边界条件。
(2)为了满足相容方程,其系数必须满足A+B=0;为了满足平衡微分方程,其系数必须满足A=B=-C/2。
上两式是矛盾的,因此,此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量,,,体力不计,Q为常数。
试利用平衡微分方程求系数C1,C2,C3。
解:
将所给应力分量代入平衡微分方程
得
即
由x,y的任意性,得
由此解得,,,
3、已知应力分量,,,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
解:
将已知应力分量,,,代入平衡微分方程
可知,已知应力分量,,一般不满足平衡微分方程,只有体力忽略不计时才满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程:
将已知应力分量,,代入上式,可知满足相容方程。
按应力求解平面应变问题的相容方程:
将已知应力分量,,代入上式,可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
(1),,;
(2),,;
(3),,;
其中,A,B,C,D为常数。
解:
应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件,即
将以上应变分量代入上面的形变协调方程,可知:
(1)相容。
(2)(1分);这组应力分量若存在,则须满足:
B=0,2A=C。
(3)0=C;这组应力分量若存在,则须满足:
C=0,则,,(1分)。
5、证明应力函数能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,)。
l/2
l/2
h/2
h/2
y
x
O
解:
将应力函数代入相容方程
可知,所给应力函数能满足相容方程。
由于不计体力,对应的应力分量为
,,
对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上的面力分别为:
上边,,,,,;
下边,,,,,;
左边,,,,,;
右边,,,,,。
可见,上下两边没有面力,而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。
因此,应力函数能解决矩形板在x方向受均布拉力(b>0)和均布压力(b<0)的问题。
6、证明应力函数能满足相容方程,并考察在如图所示的矩
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