名师整理最新中考数学专题复习《一次函数的图象与性质》精品教案Word格式文档下载.docx
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(5)实际问题中,自变量的取值范围还要和实际情况相符合,使之有意义。
【随堂练习】
(济宁)函数
y=x
中的自变量
的取值范围是()
A.
x≥0B.
x≠﹣1C.
x>0D.
x≥0
且
x≠﹣1
答案:
解:
根据题意得:
x+1≠0,解得
x≥0,故选:
A。
一次函数的概念
若两个变量
x,y
间的关系式可以表示成
y=kx+b(k,b
为常数,k≠0)的
形式,则称
的一次函数(x
为自变量),特别地,当
b=0
时,称
的
正比例函数。
【重要提示】
(
1)一次函数的自变
量的取值范围是一切实数,实际问题中要根据函数的
实际意义来确定。
(2)一次函数
为常数,k≠0)中的“一次”和一元一次方
程、一元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量
的次数为
1,一次项
系数
k
必须是不为零的常数,b
可为任意常数。
一次函数的图象
任何一次函数的图象都是一条直线,且具有以下特点:
(1)正比例函数
y=kx(k≠0)的图象是经过(0,0)和(1,k)两点的一
条直线,在坐标平面内过原点的直线(与
轴,y
轴不重合)是正比例函数的
图象。
y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,b)且和直线
y=kx
平行
的一条直线,由图象的特点可区分一次函数和正比例函数。
(3)根据两点确定一条直线,在画一次函数图象时,只要先描出两点,再
连成直线即可。
2
4.
正比例函数和一次函数及性质
【核心归纳】
正比例函数一次函数
一般地,形如
y=kx(k
是一般地,形如
y=kx+
(k,b
是常数,
概
念
常数,
k≠0)的函数叫做
k≠0),那么
叫做
的一次函数。
正比例函数,其中
当
时,是
y=kx,所以说正比例
比例系数
函数是一种特殊的一次函数
自变
量
范x
为全体实数
围
图
象一条直线
必过
k
k>0,b>0,直线经过第一、二、三
k>
0
时,直线经过一、象限
走三象限k>0,b<0
直线经过第一、三、四
向
k<
时,直线经过二、
象限
四象限
k<0,b>0
直线经过第一、二、四
3
增减
倾斜
度
k<0,b<0
直线经过第二、三、四
0,y
随
的增大而增大;
(从左向右上升)
的增大而减小。
(从左向右下降)
|k|越大,越接近
轴;
|k|越小,越接近
轴
y=kx+b
的图象是一条直线,它可以看做是由直线
平移|b|
个单位长度而得到(当
b>
时,向上平移;
b<
时,向下平移)。
(温州)一次函数
y=2x+4
轴交点的坐标是()
(0,﹣4)B.
(0,4)C.
(2,0)D.
(﹣2,0)
思路分析:
令
x=0,得
y=2×
0+4=4,则函数与
轴的交点坐标是(0,
4)。
故选
B。
B
典例精析
例题
1
y=kx+b,当
1≤x≤4
时,3≤y≤6,则
b
的值是。
由于
的符号不能确定,故应分
k>0
k<0
两种情况进行解
答。
时,此函数是增函数,
∵当
时,3≤y≤6,∴当
x=1
时,y=3;
x=4
时,y=6,
+
=
⎩4k
6
⎩b
时,此函数是减函数,
4
时,y=6;
时,y=3,
⎨⎨
∴
⎧k
6
,解得
-1,∴b=﹣7。
3⎩b
7
故答案为:
2
或﹣7。
技巧点拨:
本题考查的是一次函数的性质,在解答此题时要注意分类讨论,
不要漏解。
l
2如图,直线
l
经过第二、三、四象限,
的解析式是
y=(m-2)x+n,
则
m
的取值范围在数轴上表示为()
A.
B.
C.
D.
根据一次函数图象与系数的关系得到
m-2<0
n<0,解得
m
<2,然后根据数轴表示不等式的方法进行判断。
∵
直线
y=(m-2)x+n
经过第二、三、四象限,
n<0,∴
m<2
n<0,故选:
C。
本题考查了一次函数图象与系数的关系:
y=kx+b(k、
为常数,k≠0)是一条直线,当
时,图象经过第一、三象限,y
增大而增大;
时,图象经过第二、四象限,y
的增大而减小;
图象
与
轴的交点坐标为(0,b),也考查了在数轴上表示不等式的解集。
3
已知点
A
的坐标为(2,0),点
P
在直线
y=x
上运动,当以点
为
圆心,PA
的长为半径的圆的面积最小时,点
的坐标为()
5
(1,-1)B.
(0,0)C.
(1,1)D.
,
)
PA
最小时,以点
为圆心,PA
的长为半径的圆的面积最小,
根据垂线段最短可知,过点
作
AP
与直线
垂直,垂足为点
P,此时
PA
最小。
如图,过点
最小,则以点
的长为半径的圆的面积最小,过点
PM
x
轴垂直,垂足为点
M,
在
OAP
中,∵
∠
OPA=90°
,∠
POA=45°
,∴
OAP=45°
PO=PA,
PM⊥x
轴于点
M,∴
OM=MA=
OA=1,∴
PM=OM=1,∴
点
的坐标
为(1,1),
故选:
技巧点拨:
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,垂线的性质,等腰
直角三角形的判定与性质及对圆的认识,综合性较强,难度适中,得出点P
位置是解题的关键。
提分宝典
利用一次函数图象性质总结坐标变化规律
【拓展提高】
(1)利用解析式上的点的坐标特征,用运动、变化的观点来分析题中的数
量关系,研究两个变量之间的对应关系。
(2)将图象上的点与函数性质结合,寻找点的变化规律,运用数形结合思
想方法,将数与形结合,分析、研究、综合解决问题。
【满分训练】
(孝感)正方形
A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图的方式放置。
A1,A2,A3,…和点
C1,C2,C3,…分别在直线
y=x+1
轴上,则点
B6
的坐标是。
的纵坐标是:
1=20,A
的横坐标是:
0=20-1,点
B
的坐标为(1,1),
1+1=21,A
1=21-1,点
的坐标为(3,2),
2+2=22,A
1+2=22-1,点
的坐标为(7,
4+4=8=23,A
1+2+4=7=23-1,点
的坐
的坐标为(25-1,25),∴
的坐标是:
26-1,25)即(63,32),
首先利用直线的解析式,分别求得
A1,A2,A3,A4…的坐标,
由此得到一定的规律,据此求出点
An
的坐标,即可得出点
B6
的坐标。
y=x+1,x=0
时,y=1,∴
A1B1=1,
111
222
333
4),
444
标为(15,8),
即点
A4
的坐标为(7,8),据此可以得到
2n-1,横坐标是:
2n-1-1,
的坐标为(2n-1-1,2n-1),
66
(63,32)。
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规
律,正确得到点的坐标的规律是解题的关键。
同步测试
y=kx-k(k<0)的图象大致是()
ABCD
已知正比例函数
y=kx(k<0)的图象上两点
A(x1,y1)、B(x2,y2),且
x1<x2,则下列不等式中恒成立的是()
y1+y2>0B.
y1+y2<0C.
y1-y2>0D.
y1-y2<0
已知过点(2,-3)的直线
y=ax+b(a≠0)不经过第一象限,设
s=a+2b,
s
-5≤s≤-
D.
-7<s≤-
如图,已知
A1、A2、A3\…、An、An+1
轴上的点,且
OA1=A1A2=A2A3=…
=AnAn+1=1,分别过点
A1、A2、A3、…、An、An+1
轴的垂线交直线
y=2x
于
B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1,连接
A1B2、B
A2、A2B
、B2A3、…、AnBn+1、
BnAn+1,依次相交于点
P1、P2、P3、…、Pn,
A1B1P1、A2B2P2、△AnBnPn
的面积依次记为
S1、S2、S3、…、Sn,则
Sn
为()
A.n
2n
n2
3n
-
n2
5.
如图,直线
轴分别交于
A,B
两点,以
OB
为边在
轴右
侧作等边三角形
OBC,将点
C
向左平移,使其对应点
C′恰好落在直线
AB
上,
8
则点
C′的坐标为。
6.
如图放置的△
OAB1
B1A1B2
B2A2B3,…都是边长为
的等边三角
是。
7.
y=
x+2
轴、y
A、B
两点,D
轴上一点,坐标
为(x,0
ABD
的面积为
S。
(1)求点
和点
的坐标;
(2)求
S
的函数关系式;
(3)当
S=12
时,求点
D
8.
y=-
x+3
与坐标轴分别交于点
A,B,与直线
交于点
C,
线段
OA
上的点
Q
以每秒
个长度单位的速度从点
O
出发向点
做匀速运动,
运动时间为
t
秒,连接
CQ。
(1)求出点
(2
OQC
是等腰直角三角形,则
的值为;
(3)若
CQ
OAC
的面积,求直线
对应的函数关系式。
9
10
试题答案
解析:
∵k<0,∴-k>0,∴一次函数
y=kx-k
的图象经过第一、二、四
象限,故选:
C解析:
∵直线
k<0,∴函数值
的增大而减小,
∵x1<x2,∴y1>y2,∴y1-y2>0,故选:
B解析:
y=ax+b(a≠0)不经过第一象限,∴a<0,b≤0,
y=ax+b(a≠0)过点(2,-3),∴2a+b=-3,a=
-b
,b=-2a-3,
∴s=a+2b=
+2b=
b-
≤-
,s=a+2b=a+2(-2a-3)=-3a-6>-6,
2222
即
的取值范围是-6<s≤-
,故选:
D解
析
:
∵A1
、
A2
A3
…
An+1
轴
上
且
OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1,分别过点
轴的
垂线交直线
于点
B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1,
∴依题意得:
B1(1,2),B2(2,4),B3(3,6),…,Bn(n,2n)
∵A1B1∥A2B2,
∴△A1B1P
∽A2B2P1,
B2
22
P
×
2=
,
同理可得:
△
A
5
7
11
5.(-1,2)解析:
轴交于
点,∴y=0
时,2x+4=0,
解得
x=-2,
∴B(0,4),∵以
轴右侧作等边三角形
OBC,
∴C
在线段
的垂直平分线上,∴C
点纵坐标为
2,
将
y=2
代入
y=2x+4,得
2=2x+4,解得
x=-1,故答案为:
(-1,2)。
(2014
,2016)
过
B1
向
轴作垂线
B1C,垂足为
由题意可得:
A(0,2),AO∥A1B1,∠B1OC=30°
,∴CO=OB1cos30°
∴B1
的横坐标为:
,则
A1
连接
AA1,可知所有三角形顶点都在直线
AA1
33
(
(1)令
y=0,则
x+2=0,解得
x=-4,令
x=0,则
y=2,
所以,点
的坐标分别为(-4,0)和(0,2);
|
(2)∵A(-4,0),D(x,0),∴AD=|x-(-4)
,∴S=
AD•OB=
|x-(-4)
|×
2=|x+4|;
(3)∵S=12,∴|x+4|=12,即
x+4=12
或
x+4=-12,解得
x=8
x=-16,
12
所以,D
的坐标为(8,0)或(-16,0)。
(1)∵由
⎨2
⎪⎩
y=x
⎧
⎨
,得
,∴C(2,2);
⎩
y=2
(2)如图
1,当∠CQO=90°
,CQ=OQ,
∵C(2,2),∴OQ=CQ=2,∴t=2,
②如图
2,当∠OCQ=90°
,OC=CQ,
C2
CM⊥OA
于
M,∵
(2,),∴CM=OM=2,∴QM=OM=2,∴t=2+2=4,
的值为
4,故答案为:
4;
(3)令
+3
=
x=6,由题意:
Q(3,0),设直线
的解析式是
y=kx+b,
把
C(2,2),Q(3,0)代入得:
⎧⎨
3k
⎩2k
∴直线
对应的函数关系式为:
y=-2x+6。
,解得:
k=-2,b=6,
13
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