高考文科数学试题分项版解析专题12平面向量Word解析版17页Word下载.docx
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(1)平面向量的数量积
①理解平面向量数量积的含义及其物理意义;
②了解平面向量的数量积与向量投影的关系;
③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;
④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
(2)向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;
②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题
理解
★★★
2.平面向量的
长度问题
3.平面向量的夹角、
两向量垂直及数
量积的应用
分析解读1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;
掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.
2018年高考全景展示
1.【2018年浙江卷】已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2−4e·
b+3=0,则|a−b|的最小值是
A.
−1B.
+1C.2D.2−
【答案】A
【解析】分析:
先确定向量
所表示的点的轨迹,一个为直线,一个为圆,再根据直线与圆的位置关系求最小值.
点睛:
以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系,是解决这类问题的一般方法.
2.【2018年天津卷文】在如图的平面图形中,已知
则
的值为
B.
C.
D.0
【答案】C
【解析】分析:
连结MN,结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解:
如图所示,连结MN,由
可知点
分别为线段
上靠近点
的三等分点,
,由题意可知:
,
结合数量积的运算法则可得:
.
本题选择C选项.
求两个向量的数量积有三种方法:
利用定义;
利用向量的坐标运算;
利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.
3.【2018年文北京卷】设向量a=(1,0),b=(−1,m),若
,则m=_________.
【答案】
此题考查向量的运算,在解决向量基础题时,常常用到以下:
设
,则①
;
②
4.【2018年江苏卷】在平面直角坐标系
中,A为直线
上在第一象限内的点,
,以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若
,则点A的横坐标为________.
【答案】3
先根据条件确定圆方程,再利用方程组解出交点坐标,最后根据平面向量的数量积求结果.
以向量为载体求相关变量的取值或范围,是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.
2017年高考全景展示
1.【2017北京,文7】设m,n为非零向量,则“存在负数
,使得m=λn”是“m·
n<
0”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
【解析】
试题分析:
若
,使
,即两向量反向,夹角是
,那么
T,若
,那么两向量的夹角为
,并不一定反向,即不一定存在负数
,使得
,所以是充分不必要条件,故选A.
【考点】1.向量;
2.充分必要条件.
【名师点睛】判断充分必要条件的的方法:
1.根据定义,若
是
的充分不必要,同时
的必要不充分条件,若
,那互为充要条件,若
,那就是既不充分也不必要条件,2.当命题是以集合形式给出时,那就看包含关系,若
若
的充分必要条件,同时
,互为充要条件,若没有包含关系,就是既不充分也不必要条件,3.命题的等价性,根据互为逆否命题的两个命题等价,将
条件的判断,转化为
条件的判断.
2.【2017课标II,文4】设非零向量
满足
A.
⊥
∥
D.
【考点】向量数量积
【名师点睛】
(1)向量平行:
(2)向量垂直:
(3)向量加减乘:
3.【2017浙江,10】如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记
,则
A.
B.
C.
D.
因为
,所以
选C.
【考点】平面向量数量积运算
【名师点睛】平面向量的计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.本题通过所给条件结合数量积运算,易得
,由AB=BC=AD=2,CD=3,可求
,进而解得
.
4.【2017山东,文11】已知向量a=(2,6),b=
若a||b,则
.
【考点】向量共线与向量的坐标运算
【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
(3)三点共线问题.A,B,C三点共线等价于与共线.
5.【2017北京,文12】已知点P在圆
上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则
的最大值为_________.
【答案】6
所以最大值是6.
【考点】1.向量数量积;
2.向量与平面几何
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力,因为
是确定的,所以根据向量数量积的几何意义若
最大,即向量
在
方向上的投影最大,根据数形结合分析可得当点
在圆与
轴的右侧交点处时最大,根据几何意义直接得到运算结果
6.【2017课标3,文13】已知向量
,且
,则m=.
【答案】2
【解析】由题意可得:
7.【2017浙江,14】已知向量a,b满足
的最小值是________,最大值是_______.
【答案】4,
【考点】平面向量模长运算
【名师点睛】本题通过设入向量
的夹角
,结合模长公式,解得
,再利用三角有界性求出最大、最小值,属中档题,对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求.
8.【2017天津,文14】在△ABC中,
,AB=3,AC=2.若
(
),且
的值为.
【答案】
【考点】1.平面向量基本定理;
2.向量数量积.
【名师点睛】平面向量问题中,向量的线性运算和数量积是高频考点,当出现线性运算问题时,向要选好基底向量,如本题就要灵活使用向量
,要注意结合图形的性质,灵活运用向量的运算解决问题,当涉及到向量数量积时,要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.
9.【2017课标1,文13】已知向量a=(–1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=________.
【答案】7
由题得
,因为
,解得
【考点】平面向量的坐标运算,垂直向量
【名师点睛】如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则a
b的充要条件是x1x2+y1y2=0.
10.【2017江苏,12】如图,在同一个平面内,向量
的模分别为1,1,
与
的夹角为
且tan
=7,
的夹角为45°
.若
则
▲.
【答案】3
【解析】由
可得
,根据向量的分解,
易得
,即
,即得
所以
【考点】向量表示
(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.
(3)向量的两个作用:
①载体作用:
关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;
②工具作用:
利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
11.【2017江苏,16】已知向量
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记
求
的最大值和最小值以及对应的
的值.
(1)
(2)
时,
取得最大值,为3;
取得最小值,为
【考点】向量共线,数量积
2016年高考全景展示
1.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知向量
则
()
(A)300(B)450(C)600(D)1200
考点:
向量夹角公式.
【思维拓展】
(1)平面向量
的数量积为
,其中
的夹角,要注意夹角的定义和它的取值范围:
(2)由向量的数量积的性质有
,
,因此,利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题.
2.【2016高考天津文数】已知△ABC是边长为1的等边三角形,点
分别是边
的中点,连接
并延长到点
的值为()
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B
,∴
,故选B.
向量数量积
【名师点睛】研究向量数量积,一般有两个思路,一是建立直角坐标系,利用坐标研究向量数量积;
二是利用一组基底表示所有向量,两种实质相同,坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”,实质是“形”化为“数”.向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来.
3.【2016高考四川文科】已知正三角形ABC的边长为
,平面ABC内的动点P,M满足
的最大值是()
(B)
(C)
(D)
1.向量的数量积运算;
2.向量的夹角;
3.解析几何中与圆有关的最值问题.
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模,由于结论是要求向量模的平方的最大值,因此我们要把它用一个参数表示出来,解题时首先对条件进行化简变形,本题中得出
,因此我们采用解析法,即建立直角坐标系,写出
坐标,同时动点
的轨迹是圆,
,因此可用圆的性质得出最值.因此本题又考查了数形结合的数学思想.
4.【2016高考新课标2文数】已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=___________.
平面向量的坐标运算,平行向量.
【名师点睛】如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0.
5.【2016高考北京文数】已知向量
,则a与b夹角的大小为_________.
两向量夹角为
,且两个向量夹角范围是
,所以夹角为
,故填:
平面向量数量积
【名师点睛】由向量数量积的定义
为
的夹角)可知,数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一,再考虑到数量积还可以用坐标表示,因此又可以借助坐标进行运算.当然,无论怎样变化,其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高,应熟练掌握其解法.
6.【2016高考新课标1文数】设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a
b,则x=.
由题意,
向量的数量积及坐标运算
【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是:
则
7.【2016高考浙江文数】已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·
b=1.若e为平面单位向量,则|a·
e|+|b·
e|的最大值是______.
平面向量的数量积和模.
【思路点睛】先设
和
的坐标,再将
转化为三角函数,进而用辅助角公式将三角函数进行化简,最后用三角函数的性质可得三角函数的最大值,进而可得
的最大值.
8.【2016高考山东文数】已知向量
,则实数t的值为________.
平面向量的数量积
【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题,关键在于能从
出发,转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.
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