九年级圆的基础知识点、经典例题与课后习题.doc
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圆
【知识梳理】
1.圆的有关概念和性质
(1)圆的有关概念
①圆:
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中定点为圆心,定长为半径.
②弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.
③弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.
(2)圆的有关性质
①圆是轴对称图形;其对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称图形,对称中心为圆心.
②垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
说明:
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:
①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
③弧、半圆、优弧、劣弧:
弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“⌒”表示,以CD为端点的弧记为“”,读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆:
直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。
优弧:
大于半圆的弧叫做优弧
劣弧:
小于半圆的弧叫做劣弧。
(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。
)
④弧、弦、圆心角的关系:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
推论:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角;90”的圆周角所对的弦是直径.
⑤等圆:
能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧:
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦圆心角:
顶点在圆心的角叫做圆心角.
⑧弦心距:
从圆心到弦的距离叫做弦心距.
(3)对圆的定义的理解:
①圆是一条封闭曲线,不是圆面;
②圆由两个条件唯一确定:
一是圆心(即定点),二是半径(即定长)
2.与圆有关的角
(1)圆心角:
顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角:
顶点在圆上,两边分别和圆相交的角,叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
(3)圆心角与圆周角的关系:
同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(4)圆内接四边形:
顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形.
圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角.
3.点与圆的位置关系及其数量特征:
如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则
①点在圆上<===>d=r;
②点在圆内<===>d ③点在圆外<===>d>r. 其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。 4.确定圆的条件: 1.理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 2.经过三点作圆要分两种情况: (1)经过同一直线上的三点不能作圆. (2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形. (2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质: 三角形外心到三顶点的距离相等. 5.直线与圆的位置关系 1.直线和圆相交、相切相离的定义: (1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线. (2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点. (3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. 2.直线与圆的位置关系的数量特征: 设⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d; ①d ②d=r<===>直线L和⊙O相切. ③d>r<===>直线L和⊙O相离. 3.切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 4.切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线;②过切点;③过圆心. 5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形. 6.三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等. (2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角. 由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 6.圆和圆的位置关系. 1.外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义. (1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离. (2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点. (3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交. (4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点. (5)内含: 两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2.两圆位置关系的性质与判定: (1)两圆外离<===>d>R+r (2)两圆外切<===>d=R+r (3)两圆相交<===>R-r (4)两圆内切<===>d=R-r(R>r) (5)两圆内含<===>d 3.相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 4.相交两圆的性质: 相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 7.圆内接四边形 若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补; ②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角. 8.弧长及扇形的面积 1.圆周长公式: 圆周长C=2R(R表示圆的半径) 2.弧长公式: 弧长(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数) 3.扇形定义: 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 4.弓形定义: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5.圆的面积公式. 圆的面积(R表示圆的半径) 6.扇形的面积公式: 扇形的面积(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数) 弓形的面积公式: (如图5) 图5 (1)当弓形所含的弧是劣弧时, (2)当弓形所含的弧是优弧时, (3)当弓形所含的弧是半圆时, 例题解析 【例题1】如图1,⊙是的外接圆,是直径,若,则等于() A.60ºB.50ºC.40ºD.30º 图1图2图3 【例题2】如图2,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若大圆半径为 10cm,小圆半径为6cm,则弦AB的长为cm. 【例题3】如图3,△ABC内接于⊙O,AB=BC,∠ABC=120°,AD为⊙O的直径,AD=6,那么BD=_________. 【例题4】如图4已知⊙O的两条弦AC,BD相交于点E,∠A=70o,∠c=50o,那么sin∠AEB的值为() A.B.C.D. 图4 P B C E A (图8) 【例题5】如图5,半圆的直径,点C在半圆上,. (1)求弦的长; (2)若P为AB的中点,交于点E,求的长. 三、课堂练习 1、如图6,在⊙O中,∠ABC=40°,则∠AOC=度. C A B S1 S2 B C A O 图6图7图8 2、如图7,AB是⊙O的直径,AC是弦,若∠ACO=32°,则∠COB的度数等于. 3、已知⊙O的直径AB=8cm,C为⊙O上的一点,∠BAC=30º,则BC=______cm. 4、如图8,已知在中,,,分别以,为直径作半圆,面积分别记为,,则+的值等于. 5、如图9,⊙O的半径OA=10cm,P为AB上一动点,则点P到圆心O的最短距离为___________cm。 图9 6、如图10,在⊙O中,∠ACB=∠BDC=60°,AC=, (1)求∠BAC的度数; (2)求⊙O的周长 7、已知: 如图11,⊙O的直径AB与弦CD相交于E,弧BC=弧BD,⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F. (1)求证: CD∥BF. (2)连结BC,若⊙O的半径为4,cos∠BCD=,求线段AD、CD的长. 8、如图12,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC, 交AB的延长线于E,垂足为F. (1)求证: 直线DE是⊙O的切线; (2)当AB=5,AC=8时,求cosE的值. 图12 四、经典考题解析 1.如图13,在⊙O中,已知∠ACB=∠CDB=60○,AC=3,则△ABC的周长是____________. 图13
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