傅里叶光学基础01Word文件下载.docx
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三角形函
数
|x|
1x1
()a
光瞳为矩形的非
相干成像系统的
光学传递函数
狭缝或矩孔的
sinc函数
xsin(x/a)
sinc()
ax/a
夫琅禾费衍射
图样
高斯函数
2
Gaus()exp
aa
激光器发出的
高斯光束
xy
22
circ()
r
圆域函数圆孔的透过率
22
1xyr
0else
二、傅里叶级数的定义
一个周期性函数g(x),周期为T(频率f=1/T),在满足狄里赫利条件(函数在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点),可以展开为三
角傅里叶级数:
gxanfxbnfx
()cos
(2)sin
(2)
nn
n1
傅里叶系数
在[-T/2,T/2]区间逐项积分:
aa
T2T2T2T2
gxdxdxanfxdxbnfxdxT
00
(1)nn
22T2T2T2T2
因此有:
T2
ag(x)dx
02
T
T
将公式
(1)两端同乘以cos(2πmfx),并利用三角函数的正交性:
0,formn
0,
sin(mx)sin(nx)dxcos(mx)cos(nx)dx
formn,
sin(mx)cos(nx)dx0,foranymandn
formn
逐项积分:
T2T2
g(x)cos(2mfx)dxcos(2mfx)dx
T2T2=0
=0
acos(2nfx)cos(2mfx)dxbsin(2nfx)cos(2mfx)dx
nTnT
22
(mn)T2
a
anfxdxT
cos
(2)n
nT
ag(x)cos(2nfx)dx
2
系数:
T/2
直流分量
0/2
余弦分量的幅度
ag(x)cos2nfxdx
/2
正弦分量的幅度
bg(x)sin2nfxdx
用傅里叶级数展开表示矩形
周期函数
a
gxanfxbnfx
()cos2sin2
f周期信号可分解为直流,基波()和
fnf
各次谐波()的线性组合。
随着三角波数量逐渐的增长,
最终会叠加成一个标准的矩形
复指数形式的傅里叶级数
满足狄里赫利条件的周期函数g(x)也可以表示为无限多不同频率的复指数函数的线性组合,即指数傅里叶级数形式
gxcjnfx
()exp
(2)
nn
为了确定系数,用(exp(j2πmfx)*)乘两端并积分,得:
T2j2mfxT2j2(nm)fx
gxedxcedx
()
n
T2T2
n
右端仅n=m时积分不为零,因此有:
T2j2nfx
g(x)edxcT
cg(x)edx
傅里叶系数cn是频率fn/Tnf的函数,称为频谱函数。
利用欧拉公式,可以确定指数傅里叶级数系数cn与三角傅里叶
级数系数an,bn之间的关系:
g(x)0acos(2nfx)bsin(2nfx)
j2nfxj2nfxj2nfxj2nfx
aeeee
0ab
222j
aajbajb
j2nfxj2nfx
0annebnne
222
n1
若令
a
c
cajb
nnn
cajb
nnn
则有
g(x)ccejnfxcejnfx
22
0nn
ce
j2nfx
n
指数傅里叶级数系数和三角
傅里叶级数系数是同一种级
数的两种表示方法
三、频谱的概念
푔(푥ሻ一个周期变化的物理量既可以在空间(或时间)域x中用描述,
휇푐푛也可以在空间(或时间)频率域中用描述,两者是等效的。
复函数cn:
振幅频谱+相位频谱
*122b
cccabarctan
()n
nnnnnn
2a
周期信号可分解为直流,基波(0)和各次谐波()的线性组合。
c关系曲线称为幅度频谱图
~n
关系曲线称为相位频谱图
将一个系统的输入函数展
开成傅里叶级数,在频率
域中分析各谐波的变化,
最后综合出系统的输出函
数,这种处理方法称作频谱分析方法。
锯齿波及它的振幅频谱图形
周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性!
四、傅里叶变换
对非周期函数也可以作傅里叶分析,只是其频率取值不是离散而是连续的。
1.二维傅里叶变换
푔(푥,푦ሻ푥푦
非周期函数在整个无限平面上满足狄里赫利条件,而且
g(x,y)dxdy存在,则有
1gxyGffjfxfydfdfFGff
(,)(,)exp2()(,)
XYXYXYXY
其中(,)(,)exp2()(,)
GffgxyjfxfydxdyFgxy
XYXY
Gffg(x,y)(,)
(,)Gff
是函数的傅里叶变换(或称为傅里叶频谱),
的作用类似于傅里叶系数,表示各频率成分的权重因子,描述了各复
指数分量的相对幅值和相移
g(x,y)
是频谱函数G(f,f)的傅里叶逆变换。
XY
2.广义傅里叶变换
若函数可以定义为某个可变换函数所组成的序列的极限,对序列中每
一个函数进行变换,组成一个新的变换式序列,这个新序列的极限就是原
来函数的广义傅里叶变换。
例如:
对于函数g(x,y)=1,显然它不符合傅里叶变换存在条件,但是可以把它定义为矩形函数序列的极限
g(x,y)limrect()rect()
矩形函数的傅里叶变换为
xy
Frectrect2ff
()()=sincsinc
xy
根据广义变换定义
2
Fgx,y=limsincfsincff,f
xyxy
即
1=,
Fff
1.2光波的傅里叶分析一、单色光波场:
单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动E(x,y,z,t)可表示为
Ex,y,z,tAx,y,zcos2vtx,y,z
其中,v是光波的时间频率;
A(x,y,z)和(x,y,z)分别是P点光振动的振幅和初相位。
根据欧拉公式,可将该波函数表示为复指数函数:
jvtxyz
Ex,y,z,tAx,y,ze
2,,
二、平面波
其中复振幅为:
UxyzAxyze
(,,),,j(x,y,z)
沿k方向传播的单色平面波,在光场中
P(x,y,z)点产生的复振幅可以表示为:
Uxyzajkxyz
,expcoscoscos
其中
(1)a是常量振幅;
(2)cos、cos、cos为传播方向的方向余弦,而且有
cos2cos2cos21
改写为
Ux,y,zaexpjkxcosycoszcos
22
aexpjkz1coscosexpjkxcosycos
引入复数常量A
Aajkz
exp1coscos
xy平面上复振幅分布可以表示为
UxyAjkxy
expcoscos
等位相线的方程
xyC
coscos
三、平面波的空间频率
Ux,yAexpjkxcosycos
首先研究传播矢量位于x0z平面的简单情况,此时cos=0,
(1)xy平面上复振幅分布为
expcos
UxyAjkx
(2)xy平面内,等位相线是一组
垂直于x轴且等间距平行线。
复振
幅在xy平面周期分布的空间周期
可以用位相差2的两相邻等位相
线的间隔X表示:
kX
cos2
X
kcoscos
空间周期的倒数即为空间频率
f
1cos
y
1
Y
xy平面上的复振幅分布
exp2
UxyAjfx
(3)光沿Z方向传播
xy平面内等相位线是一组斜平行线。
则沿x和y方向的空间
频率为
1cos
复振幅
Ux,yAexpj2fxfy
(4)光沿任意方向传播
z
cos
Ux,y,zAexpjkxcosycoszcos
UxyzAjfxfyfz
,exp2
xyz
空间频率
coscoscos1
ffff
2222
2
四、复振幅分布的空间频谱
(角谱)
平面波
UxyAjfxfy
exp2
利用傅里叶变换对位于单色光场中的xy平面上的复振幅分布进行傅里叶
分析,有:
Ux,yAf,fexpj2fxfydfdf
xyxyxy
其逆变换为:
Af,fUx,yexpj2fxfydxdy
ff
其中,
平面上的复振幅分布U(x,y)看作频率不同的复指数分量的线性组合,
各频率分量的权重因子是A(x,y),而且
exp2
jfxfy
代表一个传播方向余弦为(cos=x、cos=y)的单色平面波。
复振幅分布可以看作为不同方向传播的单色平面波分量
的线性叠加,A(x,y)则为复振幅分布U(x,y)的空间频谱。
一、角谱的定义
根据傅里叶逆变换可以看出,A(x,y)也可用方向余弦表示
coscoscoscos
A,Ux,yexpj2xydxdy
此时,称A(cos/,cos/)为xy平面上复振幅分布的角谱。
引入角谱的概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义:
(1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的
单色平面波的叠加;
(2)在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位,它们的
值分别取决于角谱的模和幅角。
二、角谱的传播
物场像场
E(x,y,z)
单色平面波入射到(x,y)
平面上,并有沿着z方向传播
的分量,令z=0处,平面光波
为U(x,y,0)采用傅里叶光学变换
E(x,y,0)
Ux,y,0Af,f,0expj2fxfydfdf
Af,f,0Ux,y,0expj2fxfydxdy
U(x,y,0)角谱
coscos2
A(,;
0)U(x,y,0)exp[i(cosxcosy)]dxdy
U(x,y,0)角谱
0)U(x,y,0)exp[i(cosxcosy)]dxdy
0
xU(x,y,z)
,expcoscoscos
UxyzAjkxyz
U(x,y,0)
U(x,y,z)角谱
A(,;
z)U(x,y,z)exp[i(cosxcosy)]dxdy
逆变换
coscos2coscos
U(x,y,z)A(,,z)exp[i(cosxcosy)]dd
2Uk2U0
U(x,y,z)满足亥姆霍兹方程
d
dz
coscoscoscos
A(,)k(1coscos)A(,)0
222
coscoscoscos2
A(,,z)A(,,0)exp[i(1coscos)z]
0
2222
讨论:
1/f
λ
fff2222
zXY
fff
cos/;
cos/;
cos/,
XYZ
X
(1)当cos2cos21时,1cos2cos2是实数。
22
(ff)
说明:
经过z距离的传播,光场中各个平面波分量的振幅
不变,只是改变了各自的相对相位.
(2)当cos2cos21时,cos0
(ff)22
22
光场在z轴方向上的净能流为0,对角谱传播无贡献。
0
(2)当cos2cos21时,
122j22
coscoscoscos1
coscoscoscos
22
A,;
zA,;
0expkzcoscos1
随z的增大,迅速衰减,在一个波长的距离几乎衰减为0。
这些方向上的波动分量称为倏逝波。
电磁波()
远场(>
)
倏逝波:
局限于物
近场(<
~)
倏逝波
体表面且急剧衰减。
其性质与物体的表
面结构,材料紧密
相关(非辐射场)
物体
A,A,expjkz1coscos
输出频谱输入频谱传递函数
1/fY
AffAffHff
,,
xy0xyxy
系统在频域的效应由传递函数表征:
1/fX
Hf,
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