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m=\C\<
\G\=n
所以群G的所有元索的阶都不超过77。
4.4.若G是阶为n的循环群,求群G的母元素的数目,即G的元素可以表示成a的幕:
的元素a的数th
[证]•设(G,・)是循环群,。
是其一个母元素(生成元),a的阶为几(也是G的阶),则G={a,a2,...,an(=e)}。
(1).我们来证:
对任何自然数reN(0<
r<
n,(m)=l),元素化G都是G的一个母元素(生成元)。
为此,只需证/的阶为n即可。
首先,设R的阶为因此有ark=(ar)k=e,山于。
的阶为“,故根据引理*町得nIrk0已知Ow,(r,n)=1,因此只能有n\k,所以n<
ko
其次,
(/)“=/“(指数律)
(数的加法交换律)
=(疔(指数律)
r
因而,由k是元素/的阶,具有最小性,所以k<
n.
综合这两方曲,可得k=n.
(2)根据⑴的结论,可得,群G的母元素的数目为仅n)(欧拉函数,小于〃且与n互素的数的个数)。
注•引理*•设(G,・)是群°
VxgG,若x的阶为k,从而/=纟o则\/mgN,x!
tl=e<
=>
kImo[证].先证n):
若则必有RI加o
=e
故与;
v的阶为h具有最小性,矛盾。
次证<
=):
若kI
4・5•试证循环群G的子群仍是循环群。
[证].设(仏・)是循环群(G,•)=<
«
>
的一个子群,则H中的元素都可表示成。
的一些止方幕。
设严是H中指数最小的正方幕,我们來证(H,•)=<
"
o为此只要证明H中任一元素都可表示成屮的正方幕即可。
任取H中一个元素根据带余除法,可知有非负整数q及厂,使k=qm+r口.0<
/n
于是由(//,•)构成群,可知(ayeHf从而(O畑,于是/*(/化H
由加的选择(最小性)必须有cO,所以ak=(ayf这说明(H,)=<
/>
因而(//,•)循环群。
4.6.若H是G的子群,x和y是G的元素,试证xHcyH或为空,或xH=yHo[证].对任何xjgG,若xHnyH=0,则问题已证。
否则若H/cyH^0,则必至少有一元素gcHcyH,从而
x()exHcyH
xoexHaxoGyH
zz>
x()=x-hiax()=y-/?
2(这里h\,h2^H)
x・b=y-/?
2
x=y・1ay=x・h\・h『(*)
下而我们來证:
xH=yH.为此,要分证:
(DxH^yH;
⑵yH—H;
我们只证⑴;
(2)同理可证;
对任何元素G,
aExH=>
a=xhf=>
a=y・/?
2•力1^>
a=yhn=>
tieyH
(这里hUH)
(山(*):
x=yhrhi1)
(由H的封闭性:
hf,=hrhi]-hfEH)
所以xHcyH:
所以,由包含关系的反对称性,我们得到xH=yHo
4.7•若H是G的子群,,试证:
bcHI=k
其屮xeGo
[证].建立自然映射f:
HtxH,使得对任何/隹乩。
于是⑴后者唯一:
由•运算的结果唯一性可得;
⑵满射:
对任何bwxH,有a=hwH,使得b=x・h。
于是,有f(a)=f(h)=x-h=b:
(3)单射:
/(/“)=心2)
xh|=X-/?
/?
]二力2(群的消去律)o
所以,/是从丹到的双射,因此\xH\=\H\=ko
4.8•有限祥G的阶为弘H是G的子群,则丹的阶必除尽G的阶。
[证].这即是箸名的拉格郎U(Lagrange法国著名数学家、力学家1736-1814)定理。
设G的子群H={匕/片,,…‘力,-|}o
于是令aH={a•e=a,a•h^a•h2^-,a•hr_{},这里aeG,并且我们定义R是G上的二元关系,即AcGxG
V兀,ywG,xRy:
:
=(BbeG)(xgaHAyeaH)。
从而R是G上的等价关系,英等价块的形式为aH,设其代衣元为4,勺,…,色,则ci'
H^H,…,gH是所有的等价块,构成对G的一个划分(参见习题46)。
即
G=alH^a2H+-^akH
根据习题4.7.可得\a}H\=\a2H\=…=\akH\=\H\=ro
因此\G\=k\H\=kr=n,所以厂必能整除小即H的阶必除尽G的阶。
4.10.若兀和y在群G作用下属于同一等价类,则x所属的等价类y所属的等价类价有
IEJ=IEVIo
[证].设底基X={l,2,...,n}。
对任一个元素dwX,Ea={beXIBpeG,(a)p=b}0
因为已知x和y在群G作用下属于同一等价类,因此,存在zwX,使得艮,于是3php2eG,使得(z)p\=x,(z)P2=yo
我们来证:
Ex=Eyo为此,要分证:
⑴ExUEy;
(2)E、uEx;
我们只证⑴上一⑵同理可证;
aeEx
a=(x)p'
na=(z)pi/V=>
a=(y)p['
pe
对任何元素aeXf
(这里p'
eG)
(由(z)p\=x)
(由⑵”2=y,得(y)P2]=z(群G有逆元))(由群G的封闭性:
p"
=P』'
wG)
aeEy
所以Exc£
vo所以,由包含关系的反对称性,我们得到Ex=EyO
4.11.有一个3x3的正方形棋盘,若用红、蓝色对这9个格进行染色,要求两个格着红色,其余染蓝色,问有多少种着色方案?
□
a
[解].一个3x3的正方形棋盘,只能旋转,不能翻转,其详细的置换群为:
不动0°
:
Pi=d)
(2)(3)⑷⑸(6)(7)⑻⑼
逆时针旋转90°
P2=(5)(1793)(2486)
顺时针旋转90°
P3=5)(1397)(2684)
旋转180°
P4=(5)(19)(28)(37)(46)
转动群
格式
置换
循环节
不动
0°
(1r
1个
9个
中心
±
90°
⑴⑷
2个
3个
180°
(1)0
5个
第4」1题表
将2个格着以厂色,7个格着以b色,相当于用•二种颜色对3x3的止方形棋盘进行染色。
于是根据母函数形式的P61ya定理,方案枚举:
P(b,r)=—[(fe+r)9+2(/>
+r)(/?
4+r4)2+(i+r)(^2+r2)4]
4
其中方7/的系数即为所求染色方案数:
lr9!
4!
[
=—[1]
42!
7!
1!
3!
=[36+4]/4=10(种)。
4.12.试川贝恩塞特引理解决〃个人围一恻桌坐下的方案问题。
[解].(参见ppt第四章§
6•例467.)目标集:
n个坐位;
图象集:
n!
个着色方案(排坐)。
转动群的2n个置换(参见第7题(第二版),即第4.17题(第三版)),只有幺元有n!
个不动点(图象),其他2n-l个置换没有不动点(因为没有两个坐位坐同一人),即
Ci(e)=C|(P|)=n!
C|(P2)=C|(P3)=...=C|(P2n)=0o
故由Burnside引理有
7=[ci(e)]/2n=n!
/2n=(n-l)!
/2
个方案。
4.13.对正六角形的6个顶点川5种颜色进行染色,试问有多少种不同的方案?
旋转使之重合作为相同处理。
I解].见第4.13题图,使之重合的刚体运动群,它含有关于止六角形中心轴旋转±
60。
±
120。
180。
的置换,绕过2个对和的轴翻转180°
的置换,以及绕过2个对凹的轴翻转180°
的置撫
所求方案数
不动0°
(1)“
6个
56
旋转±
60°
(6)1
2-51
120°
(3)2
2-52
(2)3
53
翻转(角-角)180°
(1)W
4个
3-54
翻转(凹-凹)180°
⑵'
3・5‘
第4」3题表
丁-是根据P61ya定理,可得不同的染色方案数为:
/=—[56+2-5'
+2-52+53+3-54+3-53]12
=右(15625+10+50+125+1875+375)
I
=——18060
12
=1505(种)。
4.25.若G和G是两个群
GxG2{(g,0)lgwG,0wG'
},
(g2,g‘2)全(glg2,g'
lg‘2),
GxG1的单位元素是20)。
试证GxG成群。
[证]•T封闭性:
0@1,了1),(g2,g‘2)eGXG‘
(g],g2EG)/\(gl,『2WGJ
(gig2eG)a(g[g,2eG)(群G和G的封闭性)=>
(gig2,0ig‘2)WGxG'
(gi,g'
i)(g2,g‘2)eGxG‘
因而封闭性成立。
2。
结合律:
X/(gl,g'
l),(g2,g‘2),(g3,g‘3)WGxG'
((gl,g'
l)(g2,g‘2))(g3,g‘3)
=(glg2,g'
lg‘2)(g3,g‘3)
=((glg2)g3,(g'
lg‘2)g'
3)
=(gl(g2X3),g'
l(g虫‘3))(群G和G啲结合律)
=(gl,g'
l)(gN3,g‘2^3)=(gl,01)((g2,g‘2)(g3,g‘3))
因而结合律成立。
3。
有幺元:
(学gGxG,这里£
是群G的幺元,"
是群G的幺元。
0(g,gjwGxG\(e,N)(g,g'
)=(eg,ergf)
=(g,g‘)2沪g,e'
g'
=g'
)
=(ge,g'
H)3=ge,g'
e、=(g,g'
)(e,e'
因而(£
"
)是幺元。
4。
有逆元:
V(g,/)wGxG'
(gwG)/\(g'
wG‘)=>
(g"
wG)/\(gEwG)(群G和G有逆元)=>
(g*)wGxG
使得(g,g'
)(g"
gE)=(gg“,g'
g‘"
=(gW)(g,g‘)
因而有逆元。
所以GxGf构成群。
4.26.若G是关TX={xi,x2,...,x„}的置换群,G是关于X’二{门,班,…,箱}的置换群,对于GxG的每一对元素
证GxG,是关于XuX的置换群。
[证]•将题中GxG中的置换的前置定义换为如下等价的后置定义:
e)(g,F)全
e)g,
e)g'
vgXz
因而GxG={(gM)lgwG,0wG}o
于是,我们可定义GxG上的二元“乘法”运算如下:
由丁•置换群G和G;
也是群,爲根坯习题4.25.,可知GxG是群。
又由于GxG是X5,上置换的集合,所以GxG是关于X3C的置换群。
4.27.-个项链山7颗珠子装饰而成的,其中两颗珠子是红的,3颗是蓝的,其余两颗是绿
的,问有多少种装饰方案?
试列举Z?
懈].见第4.27题图,使Z重合的刚体运动群,令a=51-,
7
它含有关于圆环中心轴旋转土丄・360。
二土a,
23
--360°
=±
2a,±
3a,以及绕过一个顶点及其
77
对弧中点的轴翻转180°
的置换:
不动0。
⑴⑵⑶⑷⑸⑹(7)
旋转土a:
(1234567),(7654321)
旋转±
2a:
(1357246),(7531642)
3a:
(1473625),(7415263)
翻转(点-弧)180°
(1)(27)(36)(45),
(2)(13)(47)(56),(3)(15)(24)(67),⑷(17)(26)(3
5),(5)(12)(37)(46),(6)(12)(37)(46),(7)(16)(25)(34)。
(l)7
7个
旋转
(7)1
2a
(7)*
3a
(7)i
翻转(点-弧)
(Dl
(2)3
第4.27题表
将2颗厂色,2颗g色,3颗b色的珠子装饰在圆环的7个等分点上的问题,相当于用b,小厂三种颜色对正七边型进行染色。
于是根据母函数形式的P61ya定理,染色方案枚举:
P(b,g,g丄[@+計尸)7+60+/+/)1+7@+計厂)\b2+g2+P)3]
14
其中聞的系数即为所求项链串珠方案数:
1
=—•252
=18(种)。
所求18种项链串珠方案枚举如下:
4・28.—个正八而体,用红、蓝两色对6个顶点进行着色;
用黄、绿两种颜色对8个而进行染色,试求其中4个顶点为红,两个顶点为蓝,黄和绿的面各四血的方案数。
注.正八面体可以看作是正方体的对偶,每一面用中心代表一个顶点,相交于一个顶点的3个面对应过3个中心的三角形,由此构成的6个顶点,8个面的几何图形。
[解].(参见第二版第17题)本题相当于把止八血休的6个顶点、8个面合并起来作为目标集;
6个顶点、8个而,共14个元索的置换群。
(1)6-
(1)8
14个
面心-面
(lfy4)l-(4)2
面心-面心
(1)2⑵2■⑵4
8个
顶点-顶点
(3)2■⑴$⑶?
棱中-棱中
⑵二⑵4
第17题图
第4.28题图
P(r,b,y,g)二丄[(r+fr)6(y+^)8+6(r+Z?
)2(r4+Z?
4),(y4+^4)2+3(r+/?
)2(r2+fe2)2(y2+^2)4
24
+8(八猗2(),+g)2(b+g3)2+6(/+b2)3(y2+g2)4]
其中rVyY的系数即为所求项链串珠方案数:
J_
[15x704-6x2+3x(2+1)x6+6x3x6]
[1050+12+54+108]
=—•1224
=51(种)。
详细的点-血混合的置换群为:
不动0。
⑴⑵⑶(4)(5)(6)-
(1)⑵⑶⑷⑸(6)(7)⑻
绕外接正方体
面心■面心轴旋转90°
(1)(2345)(6)-(1234)(5678)
(2)(1563)(4)-(1485)(2376)
(3)(1264)(5)-(1562)(3487)-90°
(1)(5432)(6)-(4321)(8765)
(2)(3651)(4)-(5841)(6732)
(3)(4621)(5)-(2651)(7843)
(1)(24)(35)(6)-(13)(24)(57)(68)
(2)(16)(35)(4)-(18)(45)(27)(36)
(3)(16)(24"
5)-(16)(25)(38)(47)
绕外接止方体
棱中•棱中轴旋转180°
:
(16X25)(34)-(17)(26)(35)(48)
(16)(23)(45)-(15)(28)(37)(46)
(24)(15)(36)-(17)(28)(34X56)
(24)(13)(56)-(12)(35)(46)(78)
(35)(12)(46)■(⑷(28)(35)(67)
(35)(14)(26)-(17)(23)(46X58)绕外接止方体
顶■顶轴旋转120。
(123)(456)・
(1)(245)(386)(7)
(134)(265)-
(2)(163)(457)(8)
(145)(236)-(3)(168)(274)(5)
(152)(346)-(4)(138)(275)(6)
-120°
(321)(654)-(1>
(542)(683)(7)
(431)(562)-
(2)(631)(754)(8)
(541)(632)-(3)(861)(472)(5)
(251)(643)-(4)(831)(572)(6)。
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