向量坐标知识点总结Word下载.docx
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A(X1,Y1)B(X2,Y2),则A+B=(X1+X2,Y1+Y2),A-B=(X1-X2,Y1-Y2)
简单地讲:
向量的加减就是向量对应分量的加减。
类似于物理的正交分解。
向量加法的运算律:
交换律:
a+b=b+a;
结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)。
减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0
OA-OB=BA.即“共同起点,指向被
向量的减法
减”
a=(x,y)b=(x'
y'
)则a-b=(x-x'
y-y'
).
如图:
c=a-b
以b的结束为起点,a的结束为终点。
a+(-b)=a-b
1.3向量的数乘
实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。
当λ>
0时,λa的方向与a的方向相同;
当λ<
0时,λa的方向与a的方向相反;
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
注:
按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>
1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>
0)或反方向(λ<
0)上伸长为原来的∣λ∣倍
当∣λ∣<
0)或×
×
反方向(λ<
0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
实数p和向量a的点乘乘积是一个数。
数与向量的乘法满足下面的运算律
(λa)·
b=λ(a·
b)=(a·
λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律):
(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):
λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律:
①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
需要注意的是:
向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。
1.4向量的线性关系与向量的分解
如果V是一个线性空间,如果存在不全为零的系数c1,c2,...,cn∈F,使得c1v1+c2v2+...+cnvn=0,那么其中有限多个向量v1,v2,...,vn称为线性相关的.
反之,称这组向量为线性无关的。
更一般的,如果有无穷多个向量,我们称这无穷多个向量是线性无关的,如果其中任意有限多个都是线性无关的。
分解定理
平面向量分解定理:
如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一基底。
定比分点公式
定比分点公式(向量P1P=λ·
向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是直线上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个任意实数λ且λ不等于-1,使向量P1P=λ·
向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)/(1+λ);
(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。
(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三向量共面的充要条件是他们线性相关
空间任何四个向量总是线性相关
空间四个以上向量总是线性相关
1.5标架与坐标
三个坐标面把空间分成八个部分,每个部分叫做一个卦限。
含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限,其他第二、三、四卦限,在xoy面的上方,按逆时针方向确定。
在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。
空间向量的八个卦限的符号
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
x
+
-
y
z
空间的一个定点O,连同三个不共面的有序向量e1,e2,e3的全体,叫做空间中的一个标架,记做{O;
e1,e2,e3}。
如果e1,e2,e3都是单位向量,那么{O;
e1,e2,e3}就叫做笛卡儿标架。
两两互相垂直的标架叫做笛卡儿直角标架。
在一般情况下,{O;
e1,e2,e3}叫做仿射标架。
标架一般是完全决定空间坐标系来用的,所以空间坐标系也可以用标架{O;
e1,e2,e3}来表示,这时候点O就可以叫做坐标原点,而向量e1,e2,e3都叫做坐标向量。
当空间取定标架{O;
e1,e2,e3}后,空间全体向量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x,y,z的集合具有一一对应的关系,这种一一对应的关系就叫做空间向量或点的一个坐标系。
此时,向量或点关于标架{O;
e1,e2,e3}的坐标,也称为该向量或点关于由这标架所确定的坐标系的坐标。
标架是空间坐标系的向量化。
笛卡尔坐标系(Cartesian)-系统用X、Y和Z表示坐标值。
柱坐标系(Cylindrical)-系统用半径、theta(q)和Z表示坐标值。
球坐标系(Spherical)-系统用半径、theta(q)和phi(f)表示坐标值。
1.6向量在轴上的射影
设向量AB的始点A和终点B在轴l上的射影分别为A’和B’,那么向量A’B’叫做向量AB在轴l上的射影向量,记做射影向量lAB
射影lAB=|AB|COSθ,θ=∠(l,AB)
1.7两向量的数量积
定义:
已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量(没有方向),记作a·
b。
若a、b不共线,则a·
b=|a|·
|b|·
cos〈a,b〉(依定义有:
cos〈a,b〉=a·
b
/|a|·
|b|);
若a、b共线,则a·
b=±
∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示:
a·
b=x·
x'
+y·
y'
。
向量的数量积的运算律
b=b·
a(交换律)
b)(关于数乘法的结合律)
(a+b)·
c=a·
c+b·
c(分配律)
向量的数量积的性质
a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·
b=0。
|a·
b|≤|a|·
|b|。
(该公式证明如下:
b|=|a|·
|cosα|因为0≤|cosα|≤1,所以|a·
|b|)
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1.向量的数量积不满足结合律,即:
(a·
b)·
c≠a·
(b·
c);
例如:
b)²
≠a²
·
b²
2.向量的数量积不满足消去律,即:
由a·
b=a·
c(a≠0),推不出b=c。
3.|a·
b|与|a|·
|b|不等价
4.由|a|=|b|,不能推出a=b,也不能推出a=-b,但反过来则成立。
1.8两向量的向量积
两个向量a和b的向量积
向量的几何表示
(外积、叉积)是一个向量,记作a×
b(这里“×
”并不是乘号,只是一种表示方法,与“·
”不同,也可记做“∧”)。
若a、b不共线,则a×
b的模是:
∣a×
b∣=|a|·
sin〈a,b〉;
a×
b的方向是:
垂直于a和b,且a、b和a×
b按这个次序构成右手系。
若a、b垂直,则∣a×
b∣=|a|*|b|(此处与数量积不同,请注意),若a×
b=0,则a、b平行。
向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。
运算法则:
运用三阶行列式
设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量
A=(x1,y1,z1)B=(x2,y2,z2)则A*B=
abc
x1y1z1
x2y2z2
向量的向量积性质:
b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a=0。
a平行b〈=〉a×
b=0
向量的向量积运算律
b=-b×
a
(λa)×
b=λ(a×
b)=a×
(λb)
(b+c)=a×
b+a×
c.
(a+b)×
c=a×
c+b×
上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。
在演算中应注意不能交换“×
”号两侧向量的次序。
如:
(2b)=b×
(2a)和c×
(a+b)=a×
c都是错误的!
向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
1.9三向量的混合积
给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×
b,再和向量c作数量积(a×
c,
向量的混合积
所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×
c
混合积具有下列性质:
1.三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数;
当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV(当a、b、c构成右手系时ε=1;
当a、b、c构成左手系时ε=-1)
2.上性质的推论:
三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
3.(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
例题
正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连,L是EH中点,求证LB⊥GK?
设AE=a﹙向量﹚,AG=a'
AD=c,AB=c'
CH=b,CK=b'
有aa'
=bb'
=cc'
=0,a2=a'
2,b2=b'
2,c2=c'
2,a'
b=ab'
a'
c'
=-ac,a'
c=ac'
bc=b'
.b'
c=-bc'
﹙*﹚EH=-a+c+c'
+bLB=EH/2-b-c=﹙-a-c+c'
-b﹚/2,GK=-a'
+c'
+c+b'
从﹙*﹚:
﹙-a-c+c'
-b﹚·
﹙-a'
﹚=……=0.∴LB⊥GK
1.10三向量的双重向量积
由于二重向量叉乘的计算较为复杂,于是直接给出了下列化简公式以及证明过程:
二重向量叉乘化简公式及证明
向量积和数量积的关系式
给定空间内四个向量a、b、c、d,则这四个向量之间满足如下关系:
证明:
由混合积的性质可知
(即把c×
d看成一个新的向量e,利用性质(a×
e=a·
(b×
e))
再根据二重向量积的性质可知
该公式可用于证明三维的柯西不等式
令公式中a=c、b=d,则:
设
,那么:
即
等号成立的条件是
,即a、b共线(
或b=0)
第2章轨迹与方程
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