数学分析课程标准Word文件下载.docx

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数学分析不仅为各学科提供各种计算工具及方法，同时因其课程特点，贯穿高度抽象的方法、高度严密的推理、高度系统的结构，致力于培养学生科学严谨的思考习惯及认真细致的工作作风，其重要作用和对学生产生的影响是其他课程难以替代的。

其教学内容极为丰富，是连接初等数学及高等数学的桥梁，是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变函数、泛函分析以及数值分析等后继课程的基础。

课程的目标是通过三个学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

同时，培养学生良好的学习习惯，提高自我选择知识、吸取知识、创造知识的能力，为学生应用数学的理论和方法解决实际问题提供基本的数学素质。

课程学习目标

根据课程教学要求中明确要掌握的技能、知识（原理和方法），以及态度要求，确定学习目标；

学习目标包括个人学习目标、团队学习目标。

学习该课程的目标：

1．使学生理解数学分析的基本概念，基本上掌握数学分析中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的能力。

2．通过本课程的学习，学生可以对近代应用数学的发展有一个初步的了解，进而提高学习数学的兴趣，提高应用所学数学知识解决实际问题的能力及意识，为进一步学习《复变函数论》、《微分方程》、《概率论》、《实数函数及泛函分析》等后继课程奠定基础。

3．该课程是数学各专业硕士研究生入学考试中两门专业基础课程之一，在数学

（一）、数学

（二）、数学（三）、数学（四）及MBA数学考试中也占有相当的比重。

课程学习形式

学习形式可以是课堂、实验室、校内或校外实训现场、社会调研或服务；

自学、小组学习、网络学习、；

或综合性学习形式。

为保证学生顺利实施和完成项目教学任务，本课程在理实一体化教室（专门的实训教室）完成教学过程，学生学习以教学互动学习、小组学习和网络学习等多种方式相结合的形式开展。

1.对相近多专业使用本课程的，应分别予以描述。

2.对于有项目教学模块的课程填写本表；

对于以项目教学为主体的课程另填。

二、课程内容和学时分配

序号

单元名称

主要教学知识点

学习目标及能力要求

学习情境

学时

作业

1

预备知识和函数

实数集的性质、函数的概念、复合函数和反函数、基本初等函数

（1）理解实数的有序性、稠密性及封闭型；

（2）理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、周期函数、奇函数和偶函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；

（3）牢记基本初等函数的定义、性质及其图像。

会求初等函数的定义域、值域，会分析初等函数的复合关系。

掌握几个特殊函数的表示方法。

1.实数概述

2.函数概念

3.几种特殊类型的函数

4.函数的运算

5.初等函数

8

P35

ex12,13

P47

Ex2,3,4,14

P55

Ex5,9,10

2

极限

数列极限的概念、性质及四则运算，数列收敛性的判别法，无穷大量的定义、性质和运算。

函数极限的概念、基本性质，海涅定理；

无穷小（大）量及其阶的概念。

区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理

（1）掌握数列极限的定义及相关概念；

（2）理解并能证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性及不等式性质；

（3）掌握并会应用收敛数列的四则运算定理、夹逼定理以及单调有界定理；

（4）理解函数极限“”的定义，能运用定义证明及函数极限有关的某些命题；

（5）掌握函数极限的基本性质；

（6）掌握海涅定理，领会其实质以及证明的基本思路；

（7）掌握两个重要极限；

（8）掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

（9）理解上、下确界的含义；

（10）理解区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理；

1.数列极限的概念；

2.收敛数列的性质及运算；

3.数列极限的存在条件；

4.无穷小量及无穷大量

20

P76

Ex6,8,9

P92

Ex7,9,11,

12

P106

Ex3,5,7

P118

Ex3,6,8,

9,11

P126

Ex4,5,10

P139

Ex3,4,6,7,

3

连续函数

掌握连续函数的定义，理解一致连续的概念，掌握闭区间上连续函数的性质及零点定理的应用；

1）理解间断点的概念，识别不同类型的间断点；

（2）熟知复合函数的连续性和反函数的连续性；

（3）掌握闭区间上连续函数的性质和运用；

（4）理解一致连续的概念；

1.函数极限的概念，单侧极限的概念；

2.函数极限的性质及运算，两个重要极限归结原则，柯西准则。

P152

Ex2,3,4,

8,9,10

P165

5,10,11

4

导数及微分

导数的概念，导数的几何意义，求导法则，微分的概念，高阶导数，高阶微分。

（1）理解导数概念，明确其实际背景并给出物理、几何解析，明确可导及连续的关系；

（2）掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，会求由参数方程所给出的函数的导数及反函数的导数；

（3）理解函数在一点的微分的定义，可导及可微的一致性，能熟练求初等函数的微分；

（4）掌握高阶导数及高阶微分的定义，会求高阶导数及高阶微分。

1.导数概念，导数的几何意义；

2.求导法则及导数公式；

3.微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；

4.高阶导数及高阶微分。

16

P180

Ex3,4,7,

9

P207

Ex1,2,5,

6,9,11

P219

Ex2,4,5

5

微分学中值定理

三个中值定理，泰勒公式。

（1）理解中值定理及几何意义，掌握三个中值定理的证明方法，能应用中值定理证明某些有关的命题；

（2）掌握常用初等函数的泰勒公式，会进行近似计算并估计误差；

1.洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗必达法则；

2.泰勒公式，某些函数的泰勒展开式，近似计算；

10

P229

Ex2,3,6

7,8,9

P240

Ex2,3,4,5

6

导数的应用

罗比塔法则，，函数的升降、凸性及极值，平面曲线的曲率。

（1）掌握函数的升降、凸性及极值的判定方法，求解函数作图及实际应用问题；

（2）熟练应用罗比塔法则计算极限。

1.函数特性讨论单调性、极值及最值、凹凸性拐点、渐近线；

2.函数图象的讨论及描绘。

P250

Ex2,3

P276

Ex2,4,5,

10,12

7

不定积分

不定积分的概念及运算法则，不定积分换元法和分部积分法，求有理函数及部分无理函数不定积分的方法。

（1）理解并掌握原函数及不定积分的关系及其几何意义；

（2）掌握不定积分的线性运算法则，能熟练运用基本积分表中的公式；

（3）熟练掌握换元积分法，分部积分法并能解决求积问题；

（4）掌握特殊类型的初等函数的积分。

如有理函数的积分、三角函数有理式的积分及某些无理函数的积分。

1.原函数及不定积分概念，基本积分表，线性运算法则；

2.换元积分法，分部积分法；

3.有理函数积分法，三角函数有理式积分，几种无理函数的积分。

18

P284

Ex2

P294

Ex1,2,3

P304

P314

定积分

定积分的概念、性质，微积分基本定理，换元积分法和分部积分法

（1）理解定积分的概念及定积分存在的充要条件。

（2）掌握可积函数类。

（3）掌握定积分的第一中值定理及牛顿－莱布尼兹公式。

（4）掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

1.定积分的概念，函数可积的必要条件，可积函数类；

2.定积分的性质，积分中值定理；

3.微积分基本定理，可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；

4.积分法：

换元积分法分部主积分法。

P9

Ex9

P21

5,6,7

P31

Ex1,2,3,

6,8

P45

5,8

定积分应用

求面积，体积，弧长，曲率，压力，功及重心。

（1）掌握定积分的几何应用---平面图形面积、平面曲线弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面已知的立体体积；

（2）物理应用---质量、功、引力、压力。

1.定积分的几何应用：

平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积平面曲线的弧长及微分，旋转体的侧面积；

2.定积分在物理上的应用：

功、液体压力、重心、平均值。

P64

Ex1,2,5,6

数值级数

上、下极限及其性质，数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法。

（1）理解上极限及下极限的概念及其性质，会求上、下极限；

（2）理解敛散性概念、级数收敛的性质，熟练求一些级数的和；

（3）熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert判别法及其极限形式，积分判别法判别正项级数的敛散性；

（4）理解Leibniz级数，熟练利用Leibniz级数，Abel、Dirichlet判别法判别一般级数的敛散性。

1.数项级数的收敛性：

无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质；

2.正项级数收敛原理：

比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法；

3.任意项级数：

交错级数及莱布尼兹判别法，条件收敛，绝对收敛定理。

P93

8,10

P108

8,9

P120

Ex2,3,4,6

7,8

11

函数级数

函数项级数和函数列一致收敛的概念及其判别方法，一致收敛函数项级数和函数列的连续、可导和可积性；

幂级数的收敛半径和收敛域及其半径求法，函数的幂级数展开

（1）理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法；

（2）掌握并应用函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstrass判别法，Abel、Dirichlet判别法；

（3）掌握一致收敛级数的连续性、可导性和可积性；

（4）求幂级数收敛半径，可以利用幂级数可导和可积性求幂级数的和；

（5）掌握函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开；

（6）了解Weierstrass第一逼近定理。

1.函数列及函数项级数收敛及一致性收敛性，函数列的极限函数、函数项级数的和函数，函数列及函数项级数的一致收敛概念，一致收敛柯西准则，优级数判别法；

2.极限函数及和函数的分析性质（连续性，可积性，可微性）。

P142

Ex2,3,4,6,

7,8,9

P171

6,7

广义积分

无穷限广义积分和无界函数的广义积分概念、性质、判别法则等。

（1）理解广义积分概念，了解无穷限广义积分和数项级数的关系，掌握比较判别法和柯西判别法

（2）理解无界函数的广义积分概念、性质、判别法则（3）熟练计算广义积分。

P189

P201

Ex2,3,4

13

多元函数及其连续性

平面点集理论，多元函数的极限和连续，有界闭区域上连续函数的性质。

（1）理解多元函数及其极限的概念；

（2）了解二元函数的极限概念，二重极限和二次极限的关系和计算；

（3）掌握二元函数的连续性概念，有界闭区域上连续函数的性质。

1.多元函数的概念：

平面点集、平面点集的基本概念、平面点集的基本定理、二元函数的概念、n维空间及n元函数；

2.二元函数的极限、累次极限；

3.二元函数的连续性：

二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续性；

P213

Ex2,4

P223

Ex2,3,5,

多元函数微分学

偏导数和全微分的概念、运算、性质、求导方法和几何应用，二元函数的泰勒公式。

（1）理解偏导数及全微分的概念，了解全微分存在的必要和充分条件。

（2）掌握复合函数的偏导数的计算。

（3）会求隐函数（包括方程组所确定的隐函数）的偏导数。

（4）理解曲线的切线向量的定义，会求曲线的切线和法平面方程。

理解曲面的法线向量的定义，会求曲面的切平面和法线的方程。

（5）理解方向导数及梯度的概念并掌握其计算方法。

1.偏导数及全微分：

偏导数的概念，偏导数的几何意义，偏导数及连续性；

全微分概念；

连续性及可微性，偏导数及可微性；

2.复合函数的微分法：

复合函数的偏导数、复合函数的全微分；

3.高阶偏导数及高阶全微分：

高阶偏导数、高阶全微分；

P242

6,8,9

P251

P259

15

重积分

二重、三重积分的定义、计算及应用。

（1）掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会作一般变量变换计算二重积分；

（2）掌握三重积分（直角坐标、柱坐标、球坐标）的计算方法；

（3）应用重积分求一些几何量及物理量（面积、体积、质心、矩、引力等）。

1.二重积分的概念，存在性及其性质；

化二重积分为累次积分，矩形区域上的计算，一般区域上的计算；

二重积分的换元法，极坐标的变换，一般变换；

2.：

三重积分的概念，化三重积分为累次积分；

三重积分的换元法，一般变换，极坐标变换；

3.重积分的应用：

曲面的面积，物体的重心，

P289

6,7,8

P295

曲线积分

曲线积分和曲面积分的概念。

（1）理解两类曲线积分的概念，掌握两类曲线积分的计算公式，了解它们之间联系；

（2）理解第一类曲面积分概念，掌握计算公式（直角坐标、参数式），会求曲面面积；

（3）理解第二类曲面积分的概念，掌握计算公式（直角坐标）。

1.：

第一型曲线积分的概念及性质、计算，

2.第二型曲线积分的概念、定义、性质、计算，

3.两类曲线积分的联系，格林公式，单连通区域，平面闭曲线的方向，格林公式，曲线积分及路线的无关性；

P301

P308

P317

合计

1.学习情境描述说明实践环节的教学环境、项目或任务的目标、要求等

2.学时包括单元的理论和实践学时

三、课程教及学的策略

教学方法

如授受式教学，启发式教学，课堂讨论，当堂测试，学生讲授，学生自学，案例教学，参观实习，调研，角色游戏、活动教学、项目教学、实验、探究……选择其中几项，或补充其它教学方法。

1、利用数学方法论进行启发式教学。

数学作为一门科学，数学有自己的发展规律、数学思想方法，数学中的发现、发明和创新法则，如归纳法、类比法、抽象分析法、模型法、公理化方法等,我们经常将数学方法论应用于数学分析课程的教学实践。

2、采用启发式教学，由浅入深，调动学生的积极性，重点，难点内容要反复强调，讲深、讲透，让同学们理解和接受。

3、采用参及式教学，适当、适时地提出问题，要求学生回答或在黑板上解答，鼓励学生自己讲，培养自学能力；

如某些定理的证明，让学生自己讲，锻炼学生语言表达能力和思考问题的能力。

教学手段

如传统讲授，多媒体教学，语音教学，网络教学，VCD，录相，……选择其中几项，或补充其它教学手段。

利用现代教育技术的手段和方法于数学分析课程的教学实践,它在教学改革中的地位是传统教学手段无法替代的。

本课程的教学采用传统方式（板书为主）及多媒体课件相结合的方法，对于需要较多逻辑推理的论证内容，一般采用板书形式，以利于教学过程中的启发及互动，也比较适合学生的思考方式和记录习惯，即使采用多媒体形式，也“写字板”作为辅助工具，使之具有渐进式的推导过程，同时又有整齐、美观的版面。

对于教材中现成的内容（如定义、定理的叙述）以及板书中不宜描述的内容（如某些三维图形），一般采用多媒体课件及数学绘图软件，使之更直观、清晰、易于理解。

这既节省了板书时间，也提高了学生学习的兴趣。

教学设计

如学习团队组织；

情境（工程背景）创设；

以学生为中心的案例设计；

讨论及研究安排；

学习中的合作安排；

知识运用及实践的安排；

知识的梳理及认识（重构）;

学习报告等等方面的教学设计。

在教学设计上重视探究性学习、研究性学习，充分体现以学生为本的教育理念，按“问题-数学模型-问题的解决”组织教学,让学生学会如何发现问题、分析问题、解决问题，如何从个别现象发现一般规律，建立一整套面向地方性高等院校学生的教学方法。

说明：

以上提出的策略建议，在实际运用过程中，可采用或着重运用其中某些建议或采取其他的策略方案。

四、课程资源

【推荐教材】

刘玉琏等,数学分析讲义（上、下册）.北京:

高等教育出版社.第三版1998.

【活页教材（讲义）】

活页教材名称、编制教师、编制时间

【其他参考资料】

[1]陈纪修,於崇华,金路.　数学分析.　北京:

高等教育出版社,2002年第1版（第5次印刷）

[2]陈传璋,金福临,朱学炎,欧阳光中.　数学分析.高等教育出版社,1990年第2版.

[3]谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义上、下册.[Ｍ].北京:

高等教育出版社,2003年7月.

[4]吴良森等编.数学分析学习指导书上、下册，[Ｍ].北京:

高等教育出版社,2004年8月.

[5]裴礼文数学分析典型问题及方法.北京:

高等教育出版社.1993.5（2001重印）.

[6]《数学分析》习题精解，吴良森等编，北京：

科学出版社．

[7]《数学分析习题集题解》，吉米多维奇（著），黄空晖（译）.济南：

山东科学技术出版社．

[8]《数学分析习题集》，邝荣角等.北京：

教育科学出版社；

【仪器设备及教学技术】

列举必备仪器设备名称；

尽可能使用更为先进的教学媒体技术、CAI技术。

五、课程绩效评价考核

考核方式

考试或考核；

笔试或口试；

操作或综合。

形成性评价要求

考试、作业规定（讨论题、练习题、作业题、操作题，形式、数量）；

出勤要求（对考核的影响）等内容在课程绩效评价中所占的比例。

考核点

建议考核方式

成绩比例

现场授课项目

以课堂纪律、讨论发言情况及课后练习（条件成熟将改为网上练习）为评分依据，缺课不得分。

（教师评价+自评）

10%

平时作业项目

以平时作业的次数和成绩作为评分依据（教师评价+自评）

20%

项目知识点

以知识点考核形式进行，了解学生对知识点的理解和应用能力。

（教师评价）

70%

100%

考核方式可以为：

教师评价、教师评价+互评、教师评价+互评+自评、面试、口试、讨论等各种形式。

六、其他

【技术标准】本课程涉及的国家、行业、企业技术标准

【安全要求】相关技术标准和安全（主要为实验、实训环节安全要求）

【其他】