保险精算第二版习题及答案Word文件下载.docx

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12t

t

0tdt

a2（t）e0

1.01

t2

e^

e丐t1.432847643

10.基金X中的投资以利息强度

t0.01t0.1（0<

tW20）,

基金丫中的投资以年实际利率i积累；

现分

别投资1元，则基金X和基金Y在第

1i

20年年末的积累值相等，求第

3年年末基金Y的积累值。

a1（t）

a2（t）

ttdt00生0.1t

e0te2

0.01*202

.20-^―

ie

0.1*20

e4

3

1.8221

11.

某人1999年初借款

3万元,

按每年计息3次的年名义利率

6%投资，到2004年末的积累值为（）万

兀。

A.

B.C.D.

3（1

3*53*1.0215

4.0376

12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本

）元。

金部分为（

225213136987

i⑵

2*2

i2*24

（1一）1.0341.1255

2

第二章：

年金

练习题

1.证明

iami

an。

iaman

i（i

2.某人购买一处住宅，价值16

10年。

年计息12次的年名义利率为%。

计算购房首期付款额

万元，首期付款额为A,余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付

A。

1000a^

160000

.120

1v

1000

i

79962.96

79962.96（i8.7%/12）

80037.04

3.已知

5.153,

a诃7.036,帝

9.180,计算i。

17*

i0.08299

ai8a71

4.某人从50岁时起，每年年初在银行存入款作为生活费用，拟提取10年。

年利率为10%

5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔计算其每年生活费用。

5000&

0x占輪

x12968.7123

5.年金A的给付情况是：

1〜10年，每年年末给付1000元；

11〜20年，每年年末给付2000元；

21〜30年，每年年末给付

1000元。

年金B在1〜10年,

年末给付

K元，若

A与B的现值相等，已知V

10

1000窃

1

2000——

20

每年给付额为K元；

11〜20年给付额为0;

21〜30年，每年

-，计算K。

1「阴

1800

v10

v20

，并解释该式意义。

ai01

v10v20

7.

款每次为

1叫2000X5a517000

110

3.355%

8.

某期初付年金每次付款额为

1元，共付20次，第k年的实际利率为—，计算

8k

V⑵。

V

（2）

1i1

2L

11

L

（1i1）（1i2）

9

28

（1iJL（1i19）

某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第分所领取的年金，

1n

9.

n年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等

1到n年每年末平

那么v=（）

B.3n

2an

1vn

n1

v-

2vn1

C.

1D.3n

延期5年连续变化的年金共付款

6年，在时刻t时的年付款率为t1,t时刻的利息强度为1/（1+t）,

该年金的现值为（

5|a6

v（t）

5V（t）（t

1）2dt

a（t）e0tdt11X

第三章：

生命表基础

54

x2

e2500，求：

人在50岁〜60岁之间死亡的概率。

岁的人在60岁以前死亡的概率。

人能活到70岁的概率。

岁的人能活到70岁的概率。

1.给出生存函数sx

（1）

（2）50⑶

（4）50

P（50

X60）s50s（60）

10q50

P（X

s50s（60）

s（50）

70）s（70）

s70

20p50

2.

已知Pr:

5vT（60）w6:

=,Pr:

T（60）>

5:

=，求q60。

5060

—S（66）0.1895,5P60S-6^0.92094一'

s（60）

q65

s（60）

s65s（66）0.2058

s（65）

3.

已知q800-07,d80

3129，求l81。

q80

d80

〔80

0.07

4.

分别为

设某群体的初始人数为

15人和18人。

求生存函数

3000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数

s（x）在20岁、21岁和22岁的值。

s（20）

d1Ld20

0.92,s（21）

d1Ld21

l0

0.915,s（22）■d^~L—

0.909

5.

如果

—2—,0wxw100,

100x

求l0=10000时，在该生命表中

1岁到4岁之间的死亡人数

为（

s（x）e

x

0xdx

x22

dxe0x1100x

100X

x1

6.

已知20岁的生存人

l0（s

（1）

s（4））

2081.61

数为1000

人,

21

岁的生存人数为998人,

22岁的生存人数为

992人，则1|q20为（

B.

D.

1|q20

l21

l20

0.006

第四章：

人寿保险的精算现值

1.

设生存函数为sx1（0

100

wxw100），年利率

i=，计算（保险金额为

趸缴纯保费1荷的值。

这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var（Z）。

s（x）1

tpxgxt

s（x）

10t10

0VtPxgxtdt0

A30:

101

11c

1.170

Var（Z）

2—1—12

T0（A30:

T0）

102t

0vtPxg

设年龄为

0.092

112

——一dt0.09220.055

1.2170

35岁的人，购买一张保险金额为1000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的

tdt0.0922

保单年度末给付，年利率i=，试计算：

该保单的趸缴纯保费。

该保单自35岁〜39岁各年龄的自然保费之总额。

与

（2）的结果为何不同？

为什么？

⑵

⑶

（1）

（1）法一:

1000A35:

5

k

k1

VkPxqx

1（d35d36d37d38d39）

k135（1.061.0621.0631.0641.065）

查生命表l35

979738,d35

1170,d36

1248,d371336,d38

1437,d391549代入计算:

1000心5

v

k0

kpxqxk

丄（电

l351.06

d36d37

1.061.06

d38

1.06

鲁）5.747

—1

法二：

1000A35：

1000归

D35

M40

查换算表1000忑：

弓1000M35M40

10009^0^

1000p35

1000P36

1000P37

1000P38

1000心1

1000p39

1000（P35

l>

35I厶/幵ocluu

C35

143.58

1000

1000g

1.126

127469.03

C36

144.47

1.203

D36

120110.22

C37

145.94

1000

1.29

D37

113167.06

C38

148.05

1.389

D38

106615.43

C39

150.55

1.499

D39

100432.54

p38

P39）

6.457

1000心

1000A37:

1000冗9：

g2P35A37：

1Vg3P35A38:

P36P37

2v

A35:

5A3511VP35A36:

i1

5P35

P36p37

P38p39

设AxO.25,Ax20

（1）AX:

20。

V4g4P35冗91

O.40,Ax:

20O.55，试计算:

（2）A爲。

改为求A爲

AXAx:

20Ax20gAx20

Ax：

20Ax：

201

20g0.4

AX:

20A^]

Ax:

0.25

0.55

心。

0.05

0.5

udD假设条件下:

dx：

n

1^—A爲。

.（X）购买了一份

2年定期寿险保险单，据保单规定，若（X）在保险期限内发生保险责任范围内的死亡,

则在死亡年末可得保险金

1元，qx0.5,i0,Varz0.1771,试求q*1。

已知，A76

0.8,D76400,D77360,i

0.03,求A77。

7.现年30岁的人，付趸缴纯保费5000元,

所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。

购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时

解:

5000

RA30：

5000

A30：

其中

19

VkP30q30

11

—（d30

l301.06

M30M50

D30

l30kd30k

l30k

l30

vk

1d

d30k

2d31

（1.06）231

3d32L

（1.06）332

（T^d49）

查（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表中数据

I30,d30,d31,d32Ld49带入计算即可，或者i=以及

（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表换算表

M30,M50,D30带入计算即可。

例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据

20984635（1.06867

12917—977

（1.06）2（1.06）3

2144）

0.017785596

R281126.3727

8.考虑在被保险人死亡时的那个丄年时段末给付

m

j是死亡那年存活的完整—年的时段数。

个单位的终身寿险，设k是自保单生效起存活的完

整年数,

求该保险的趸缴纯保费AXm）。

设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明

AXm）

.现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定:

元；

10年后死亡，给付金额为20000元。

试求趸缴纯保费。

7（myAx。

被保险人在

10年内死亡，给付金额为15000

趸交纯保费为15000^5诃

2000010|A35

Vkp35q35k

1^5kd35k

l35l35k

I35k

d35k

10|A35

丄（丄d35

I351.06

M35M45

70

vkP35q35

k10

2d36

（1.O6）236（1.06严37

13590.2212077.31

10d44）

（1.O6）1044

0.01187

「（一—11d45

I35（1.06）

M45

yk1心kd35kk10l35l35k

1d

12d46（1.O6）1246

170k1d—vd35k

I35k10

（T^d47

12077.31ccc,”

0.09475127469.03

所以趸交纯保费为

15000儿诃2OOOO10I冗5178.05

18952073.05

40岁的人，以现金10000元购买一份寿险保单。

保单规定：

被保险人在其死亡的年末给付金额3000元；

如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额

11.设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：

元；

如至70岁时仍生存，给付金额为

10.年龄为

5年内死亡，则在

1500元。

R元。

试求R值。

70岁以前死亡，给付数额为3000

试求该寿险保单的趸缴纯保费。

该趸交纯保费为：

3OOOa50帀

1500A50:

A50：

19k

kp50q50

—d50

I501.06

M50M70

D5O

119

I50kd50k

I50k

I50

I50k0

d50k

2051

（1.O6）251

3052L

（1.O6）352

（T^d69）

珞:

羽V7070P50V70^

D70

d50

查生命表或者相应的换算表带入计算即可。

12.设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定:

的保单年度末给付

5000元，此后保额每年增加

1000元。

若（30）在第一个保单年计划内死亡，则在其死亡求此递增终身寿险的趸缴纯保费。

该趸交纯保费为:

4OOOA3O

1OOO（IA）304000M30

D3O

1000甩

A30

（IA）30

75

Vkp30q30k

丄（丄d30

I301.06

M30

（k1）vk1

—（dsO

R30

1l30kd30k

（1.06）2

kp30q30k

I30

d31

175

（W%2

（k

严。

5）

k1l30kd30k1

1）v

l30l30kl30k0

3032L76dr

（1.06）3（1.06）76

（k1）vk1d30k

13.

（1）1000

（2）1000趸缴纯保费为

某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单：

元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。

元储蓄寿险，被保险人生存n年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的

800元。

若现有

1700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险

的趸缴纯保费。

解：

保单1）精算式为1000Axn750Al：

n1750Al：

n1000Ax1,750

保单2）精算式为

1000码800心1000Axn1800A：

n2000Ax：

n800

求解得嘉7/17,Ax:

n1/34，即

1700Ax诃1700隔1700鵝750

14.设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：

被保险人在第一个保单年度

内死亡，则给付10000元；

在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；

在第三个保单年度内死亡，则给付9400

每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。

试求其趸缴纯保费。

1元保险金。

其中，给定lx110x,0<

x<

110。

利息力5

=。

Z表示保险人给付额的现值，则密度

fx0.8

等于（）

C.D.

InZ

lnv

fT（t）

Pxx

S（xt）tS（x）

fz（Z）

fT（g（z））g（z）

lxtnr

1/z

%。

70Inv

70z

7z

15.某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付

fZ（0.8）0.36

16.已知在每一年龄年

udD假设成立,

表示式

（IA）x

E（T

1vT）E（Tvt）

Ax

E（vT）

E（（1S）vKS）（T

E（vKS）（

KS）

E（（1S）vS）

E（vS）

0（1s）vsds11

d

vsds

X）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。

保险人给

乙则Var（Z）=（

17.在x岁投保的一年期两全保险，在个体付额现值记为

Pxqxv2be2

PxqxV2b2e2

2.PxqxVb

v2b2qx

e2Px

bv）qx,P（Zev）b2v2）qx,P（Z2bvqxevpx

P（Z

P（Z2

E（Z）

E（Z2）b2v2qxe2v2p

Var（Z）E（Z2）E（Z）

Px

22、

ev）

2.2222.

bvqxeVPxbvqxevpx

v2qxPx（be）2

第五章：

年金的精算现值

设随机变量T=T（x）的概率密度函数为f（t）0.015

e0.015t

（t>

0），利息强度为5=。

试计算精

算现值

ax

dfT（t）dt

0.05t

1ecc,L0.015tu,Lcc

0.015edt15.38

•设ax10

2-

7.375,

Var

aT

50。

试求：

；

（2）Qx。

axAx

2ax

Varan

2Ax

0.035

0.65

0.48375

某人现年

14.75

（Ax）2）50

12（2Ax

（Ax）2）

50岁，以10000元购买于51

岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。

所缴付款额也不退还。

人每次所获得的年金额。

23岁，约定于36年内每年年初缴付2000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止,而当此人活到

60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。

试求此

2000&

3:

36R37|&

2000龟36

37|a&

a&

361

35

vkkP23

:

kl23k

l23

l—（I23

N23N59

D23

l23k

35k

V

（1.06）"

（T^126

（W"

158〉

3a&

371

82

VkP23

k37

37

V37P23060

82|

k<

23k

|1（l60

No

c」60

37E23龜

Vl23k

I23k

（1.O6）T62

爲l63

（T^l105）

习题5将参考课本P87例现年35岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付

1000元，设年利率

i=6%，求下列年金的精算现值。

（1）终身生存年