最优化在数学建模中的应用.doc
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最优化在数学建模中的应用
海南大学
毕业论文(设计)
题目:
最优化在数学建模中的应用
学号:
20081605B008
年级:
2009级
学院:
信息科学技术学
系别:
数学系
专业:
数学与应用数学
完成日期:
2013年4月19日
摘要
最优化方法是一种崭新的技术,它在自动控制、物质运输、机械设计、采矿冶金、工程规划等科学技术领域中有广泛应用,矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
关键词:
最优化方法、线性规划,目标函数、约束条件、决策变量
Abstract
Inthedailylifeandworkweoftenencounteravarietyofdataneedtobeprocessed,weusuallytakethemathematicalmodelingapproachtoabstraction,theactualproblemsbyusingmathematicalknowledge,mathematicalmodelisestablished,andthenbyusingthemethodofmathematicsandcomputertechnologytosolve.Sothecomplexpracticalproblemsaresimplified,sothatthepracticalproblemcanbesolved.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
Theoptimizationmethodplaysamoreandmoreimportantroleinsolvingpracticalproblems,thispaperthroughseveralpracticaltointroducehowtothroughtheestablishmentofmathematicalmodel,togettheresults.Throughtheestablishmentofmathematicalmodeloftheactualproblem,andtheoptimaltreatmentmethodtoexplainandelaboratepracticallife,greattodowithoptimizationmethod.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
Keywords:
optimization,linearprogramming,objectivefunction,constraintcondition,thedecisionvariables酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
目录
一、 引言 5彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
1.1 选题背景及意义 5謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
1.2 国内外研究进展 5厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
1.3 本文探讨的内容 5茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
二、 理论知识 6鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
2.1 线性规划模型 6籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。
2.2 线性规划的几种解法 6預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
2.2.1图解法 6渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。
2.2.2单纯形法 7铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。
2.3 灵敏度分析 8擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。
2.4 非线性规划模型 8贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。
2.5 一维搜索法 8坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。
2.6无约束最优化模型 9蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。
2.7约束最优化模型 9買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。
三、 应用实例 10綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。
3.1 工程施工的土方运输问题 10驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。
3.11模型的建立 11猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。
3.1.2数据的处理 12锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。
3.1.3运用Excel求解的具体操作步骤 13構氽頑黉碩饨荠龈话骛。
31.4模型的求解 14輒峄陽檉簖疖網儂號泶。
3.2 公交车调度问题 17尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。
3.2.1模型的建立 18识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。
3.2.2模型的求解 19凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。
3.2.3小结 22恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。
3.3资金最优使用方案 22鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。
3.3.1模型的建立 22硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。
3.3.2模型的求解 23阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。
四、 总结 24氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。
附录1 27釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。
附录2 28怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。
一、引言
1.1 选题背景及意义
从理论上讲,通过学习最优化方法,不仅使我们处理实际问题更加方便快捷,而且可以训练我们的逻辑思维方式,体会最优化方法在数学建模中的巨大的实际意义,了解通过建模来解决实际问题的全过程,更可以使我们对最优化方法以及对Matlab软件的使用予以熟悉和巩固。
在现实生活中,由于越来越趋于多元化发展的经济,使得数学的应用越来越广泛,其中越来越多的实际问题需要我们使用数学建模的思想来予以解决,而为了获得最优化的解决方式,从而获得最好的收益,最优化方法在数学建模中的应用也一步一步的被人们所了解,重视。
人们通过对最优化思想的研究为今后处理各种各样实际问题,特别是愈来愈火的经济问题打下坚实的理论基础。
谚辞調担鈧谄动禪泻類。
1.2国内外研究进展
最优化问题的发展历史相当长久,最早开始于牛顿、拉格朗日时代,由于牛顿等对微积分的重要贡献,才使得差分方程法解决最优化问题的方法变成可行,先锋者包括贝诺利(Bemot),欧拉(Eller)和拉格郎日等。
20世纪50年代出现了高速计算机,最优化的发展进入蓬勃发展期,出现了大量的新型算法。
Dantzig提出了解决线性规划问题的simplex方法;Bellman提出了动态规划的最优化最优性原理,使得约束最优化变为可能性;Kuhn和Tucher提出的最优化规划问题的充分和必要条件开创了非线性规划优化技术的基础。
构成现代优化理论的相关技术是遗传算法GA、模拟退火SA、、禁忌搜索、蚁群算法、神经网络、EDA、CMA-ES等现代启发式最优化算法,他们均是从上世纪60年代发展起来的,这些算法同样是建模产生的.嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。
1.3 本文探讨的内容
追求最优化目标基于人类的理想,最优化方法就是从众多可能方案中选择最佳者,以达到最优目标的科学方法。
随着现代化生产的发展和科学技术的进步,人们越来越重视最优化方法。
当求解一个实际的最优化问题时,首先要把这个问题进行转化,即建立数学模型,使得问题得到最优化的解决。
而其中最难进行的就是模型的建立,万事开头难,建立一个好的模型是解决问题的关键,而好的模型的构造是一种创造,成功的模型往往是科学和艺术的结晶。
熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。
本文就是通过对最优化方法和数学模型的学习与建立,浅谈最优化的一些实际问题如何通过数学模型的建立来解决,以及建模过程中遇到的问题如何解决,从而提高对所学知识的认识和理解能力。
鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。
二、 理论知识
2.1 线性规划模型
线性规划问题的一般形式为:
minz=c1x1+……..+cnxn
s.t.ai1x1+ai2x2+…….+ainxn=bi,i=1,…..,p
ai1x1+ai1x2+…….+ainxnbii=p+1,……m
xj0,j=1,…..q
xj><0,j=q+1,…..n
其中xj,j=1,…n,为待定的决策变量,已知的系数aij组成的矩阵
a11a12….a1n
A=a21a22….a2n
……………….
am1am2….amn
目标函数:
z=,如果原问题是求目标函数最大值,可等价转换为求的最小值。
一个满足所有约束条件的向量x=(x1,….,xn),称为问题的可行解,所有的可行点组成的集合称为问题的可行区域,记为D。
纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。
由现行代数和微积分中求条件极值可以知道,当D为空集时,称该问题无解,D不是空集,但目标函数在D上面无界时,该问题无界,当D不是空集,且目标函数有有限个最优值,此时该问题有最优解。
求一个线性规划问题就是判断该问题是否有最优解,当有最优解时,还需要在可行区域中求出使目标函数打到最小值的点,也就是目标函数的最优值。
颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。
2.2 线性规划的几种解法
2.2.1图解法
如果一个线性规划只有两个变量,则它的可行区域在平面上具体的能够被画出,便于直接观察,同事又可以快捷的使用目标函数与可行区域的关系,那么我们采用图解法解决该问题濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。
例:
解线性规则
maxz=-x1+x2
s.t.2x1-x2
x1-2x2
x1+x2x1x2
解这一问题的可行区域如图所示,变量x1,x2的非负约束决定了图形在第一象限内,由3个不等式决定了可行区域的范围,即图上阴影部分,当移动到A2时,继续移动就不再相交,则A2为最优解,最优值为Z=-1+4=3.銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。
求解上述过程的方法即为图解法
图1图解法
2.2.2单纯形法
考虑标准形式的LP问题
minz=cTx
s.t.Ax=b
x
仍假设D非空,秩(A)=m 挤貼綬电麥结鈺贖哓类。 直接用公式进行单纯形法是很不方便的,其中最复杂的就是进行基变换,但施行基变换所用的实际上是消元法,我们可以将单纯形法的全部过程在一个类似增广矩阵的数表上进行,这种表格称为单纯形表,利用单纯形表解决单纯形问题是非常简化的方法,这里就不赘述了。 赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈。 2.3灵敏度分析 在设计实际的线性规划模型时,所收集的数据不是很精确,另一方面在市场经济大环境下,信息瞬息万变,当研究数据发生变化时,考虑解的变化情况是很重要的,因此,灵敏度分析就相当重要。 塤礙籟馐决穩賽釙冊庫。 改变价值向量,或者是改变右端向量,在同样的约束条件下求解,当原问题只有个别数据改变,特别是变化幅度不大的时候,用灵敏度分析要比对原问题
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- 优化 数学 建模 中的 应用