高考数学文复习练习第1部分专题2 数列 专题限时集训5含答案.docx
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高考数学文复习练习第1部分专题2数列专题限时集训5含答案
专题限时集训(五) 数列的通项与求和[建议A、B组各用时:
45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4(n∈N*),则an=( )
A.2n+1 B.2n
C.2n-1 D.2n-2
A [由Sn=2an-4可得Sn-1=2an-1-4(n≥2),两式相减可得an=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).又a1=2a1-4,a1=4,所以数列{an}是以4为首项,2为公比的等比数列,则an=4×2n-1=2n+1,故选A.]
2.数列{an}满足a1=1,且当n≥2时,an=an-1,则a5=( )
【04024063】
A.B.
C.5D.6
A [因为a1=1,且当n≥2时,an=an-1,则=,所以a5=····a1,即a5=××××1=.故选A.]
3.+++…+的值为( )
A.B.-
C.-D.-+
C [∵==
=,
∴+++…+=
=
=-.]
4.(2017·广州二模)数列{an}满足a2=2,an+2+(-1)n+1an=1+(-1)n(n∈N*),Sn为数列{an}的前n项和,则S100=( )
A.5100B.2550
C.2500D.2450
B [由an+2+(-1)n+1an=1+(-1)n(n∈N*),可得a1+a3=a3+a5=a5+a7=…=0,a4-a2=a6-a4=a8-a6=…=2,由此可知,数列{an}的奇数项相邻两项的和为0,偶数项是首项为a2=2、公差为2的等差数列,所以S100=50×0+50×2+×2=2550,故选B.]
5.(2017·呼和浩特一模)等差数列{an}中,a2=8,前6项的和S6=66,设bn=,Tn=b1+b2+…+bn,则Tn=( )
A.1-B.1-
C.-D.-
D [由题意得解得
所以an=2n+4,因此bn===-,所以Tn=-+-+…+-=-,故选D.]
二、填空题
6.(2016·西安模拟)设Sn是数列{an}的前n项和,an=4Sn-3,则S4=__________.
【04024064】
[∵an=4Sn-3,∴当n=1时,a1=4a1-3,解得a1=1,当n≥2时,∵4Sn=an+3,∴4Sn-1=an-1+3,∴4an=an-an-1,∴=-,∴{an}是以1为首项,-为公比的等比数列,∴S4==×=.]
7.(2017·东北三省四市联考)《九章算术》是我国第一部数学专著,下面有源自其中的一个问题:
“今有金箠(chuí),长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问金箠重几何?
”意思:
“现有一根金箠,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问金箠重多少斤?
”根据上面的已知条件,若金箠由粗到细的重量是均匀变化的,则答案是________.
15斤 [由题意可知金箠由粗到细各尺的重量成等差数列,且a1=4,a5=2,则S5==15,故金箠重15斤.]
8.(2016·广州二模)设数列{an}的前n项和为Sn,若a2=12,Sn=kn2-1(n∈N*),则数列的前n项和为__________.
[令n=1得a1=S1=k-1,令n=2得S2=4k-1=a1+a2=k-1+12,解得k=4,所以Sn=4n2-1,===,则数列的前n项和为++…+==.]
三、解答题
9.(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
[解]
(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,2分
a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1),
两式相减得(2n-1)an=2,
所以an=(n≥2).4分
又由题设可得a1=2,满足上式,
所以{an}的通项公式为an=.6分
(2)记的前n项和为Sn.
由
(1)知==-,9分
则Sn=-+-+…+-=.12分
10.设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
【04024065】
[解]
(1)因为a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,①
所以当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=,②2分
①-②得3n-1an=,所以an=(n≥2).6分
在①中,令n=1,得a1=,满足an=,所以an=(n∈N*).6分
(2)由
(1)知an=,故bn==n×3n.
则Sn=1×31+2×32+3×33+…+n×3n,③
3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1,④8分
③-④得-2Sn=3+32+33+34+…+3n-n×3n+1=-n×3n+1,
11分
所以Sn=+(n∈N*).12分
[B组 名校冲刺]
一、选择题
1.已知函数y=loga(x-1)+3(a>0,a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项,若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,则T10等于( )
A. B.
C.D.
B [y=loga(x-1)+3恒过定点(2,3),
即a2=2,a3=3,又{an}为等差数列,
∴an=n,∴bn=,
∴T10=1-=,故选B.]
2.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:
“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:
有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )
A.192里B.96里
C.48里D.24里
B [由题意,知每天所走路程形成以a1为首项,公比为的等比数列,则=378,解得a1=192,则a2=96,即第二天走了96里.故选B.]
3.(2017·湘潭三模)已知Tn为数列的前n项和,若m>T10+1013恒成立,则整数m的最小值为( )
A.1026B.1025
C.1024D.1023
C [由=1+得Tn=n+=n+1-,
所以T10+1013=11-+1013=1024-,
又m>T10+1013,所以整数m的最小值为1024,故选C.]
4.已知数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于( )
A.445B.765
C.1080D.3105
B [∵an+1=an+3,∴an+1-an=3,∴{an}是以-60为首项,3为公差的等差数列,
∴an=-60+3(n-1)=3n-63.
令an≤0,得n≤21,∴前20项都为负值.
∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+a21+…+a30=-2S20+S30.
∵Sn=n=×n,∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=765,故选B.]
二、填空题
5.(2016·山西四校联考)已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2016=__________.
【04024066】
3×21008-3 [∵数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n①,
∴n=1时,a2=2,n≥2时,an·an-1=2n-1②,∵①÷②得=2,∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列,∴S2016=+=3×21008-3.]
6.(2017·合肥二模)已知数列{an}中,a1=2,且=4(an+1-an)(n∈N*),则其前9项的和S9=________.
1022 [由=4(an+1-an)可得a-4an+1an+4a=0,则(an+1-2an)2=0,即an+1=2an,又a1=2,所以数列{an}是首项和公比都是2的等比数列,则其前9项的和S9==210-2=1022.]
三、解答题
7.(2017·福州一模)已知等差数列{an}的各项均为正数,其公差为2,a2a4=4a3+1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a1+a3+a9+…+a3n.
[解]
(1)依题意,an=a1+2(n-1),an>0.2分
因为a2a4=4a3+1,
所以(a1+2)(a1+6)=4(a1+4)+1,4分
所以a+4a1-5=0,
解得a1=1或a1=-5(舍去),5分
所以an=2n-1.6分
(2)由
(1)知,a1+a3+a9+…+a3n
=(2×1-1)+(2×3-1)+(2×32-1)+…+(2×3n-1)7分
=2(1+3+32+…+3n)-(n+1)9分
=2×-(n+1)11分
=3n+1-n-2.12分
8.已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn=,求数列{cn}的通项公式;
(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.
[解]
(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0(bn≠0,n∈N*),
所以-=2,2分
即cn+1-cn=2.3分
又c1==1,
所以数列{cn}是以首项c1=1,公差d=2的等差数列,故cn=2n-1.5分
(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,7分
于是数列{an}的前n项和
Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,8分
3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,9分
相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,11分
所以Sn=(n-1)3n+1.12分
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