231双曲线及其标准方程教案人教A版选修21.docx
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231双曲线及其标准方程教案人教A版选修21
2.3.1双曲线及其标准方程
●三维目标
1.知识与技能
理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义,会用双曲线的定义解决问题;了解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用方法.
2.过程与方法
通过定义及标准方程的挖掘与探究,使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用,提高学生的观察与探究能力.
3.情感、态度与价值观
通过教师指导下学生的交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生用联系的观点认识问题.
●重点难点
重点:
理解和掌握双曲线的定义及其标准方程.
难点:
双曲线标准方程的推导.
由于双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似,学生已经有了一些学习椭圆的经验,所以本节课用“启发探究”式的教学方式,重点突出以下两点:
①以类比思维作为教学的主线;②以自主探究作为学生的学习方式,并结合多媒体辅助教学,进而实现重点、难点的突破.
●教学建议
在教法上,宜采用探究性教学法和启发式教学法.
让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件,自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题.
以启发、引导为主,采用设疑的形式,逐步让学生进行探究性的学习.通过创设情境,充分调动学生已有的学习经验,让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程,发现新的知识,把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识.又通过实际操作,使刚产生的数学知识得到完善,提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质.
●教学流程
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课标解读
1.了解双曲线的定义及焦距的概念.
2.了解双曲线的几何图形、标准方程.(重点)3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程.(重点)
双曲线的定义
【问题导思】
1.我们知道,与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆,那么与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么?
【提示】 双曲线的一支.
2.若定义中的常数大于或等于|F1F2|时,轨迹是什么?
【提示】 当常数等于|F1F2|时,轨迹为以F1,F2为端点,在直线F1F2上反向的两条射线F1A,F2B(包括端点),如图所示.
当常数大于|F1F2|时,轨迹不存在.
把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
双曲线的标准方程
【问题导思】
类比椭圆标准方程的建立过程,你能说说怎样选择坐标系,建立双曲线的标准方程吗?
【提示】 以经过两焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴建坐标系.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准
方程
-=1(a>0,b>0)
-=1(a>0,b>0)
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
|F1F2|=2c,c2=a2+b2
双曲线定义的应用
已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1、F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
【思路探究】
(1)在△PF1F2中,由余弦定理能得到|F1F2|、|PF1|、|PF2|三者满足怎样的关系式?
(2)结合双曲线的定义,能否求出|PF1|·|PF2|的值进而求出△F1PF2的面积?
【自主解答】 由-=1,
得a=3,b=4,c=5.
由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
所以|PF1|·|PF2|=64,
∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
=×64×=16.
求双曲线中焦点三角形面积的方法:
法一:
(1)根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;
(2)利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式;(3)通过配方,整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;(4)利用公式S△PF1F2=×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积.法二:
利用公式S△PF1F2=×|F1F2|×|yP|求得面积.
本例中若∠F1PF2=90°,其他条件不变,求△F1PF2的面积.
【解】 由双曲线方程知a=3,b=4,c=5
由双曲线的定义,||PF1|-|PF2||=2a=6,
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36①
在Rt△F1PF2中,由勾股定理|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=100②
将②代入①得:
|PF1|·|PF2|=32,
∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|=16.
求双曲线的标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)a=4,且经过点A(1,);
(2)经过点P1(-2,)和P2(,4)两点.
【思路探究】
(1)所求曲线的焦点位置确定吗?
(2)如何求出a2、b2的值?
【自主解答】
(1)①若所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则将a=4代入,得-=1.
又∵点A(1,)在双曲线上,
∴-=1.由此得b2<0,
∴不合题意,舍去.
②若所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则将a=4代入得-=1,
代入点A(1,),得b2=9,
∴双曲线的标准方程为-=1.
(2)法一 当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
∵P1、P2在双曲线上,
∴,
解得(不合题意舍去).
当双曲线的焦点在y轴上时,
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
∵P1、P2在双曲线上,
∴,
解得,即a2=9,b2=16.
故所求双曲线方程为-=1.
法二 因为双曲线的焦点位置不确定,所以设曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0),因为P1、P2在双曲线上,
所以有,
解得.
所求双曲线方程为-+=1,即-=1.
1.求双曲线标准方程的两个关注点:
(1)定位:
是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式.
(2)定量:
是指确定a2、b2的数值,常由条件列方程求解.
2.若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1的形式,为简单起见,常标明条件mn<0.
求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)一个焦点是(0,-6),经过点A(-5,6);
(2)a=5,c=7.
【解】
(1)由已知c=6,且焦点在y轴上,另一焦点为(0,6).
由双曲线定义
2a=|-|=8.
∴a=4,∴b2=c2-a2=20.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)由已知a=5,c=7,∴b2=c2-a2=24,焦点不确定
∴所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
双曲线的定义与标准方程
的实际应用
“神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒.求在A处发现P的方位角.
【思路探究】 由“A接收到P的求救信号的时间比其他两个救援中心早4s”能否得到|PB|与|PA|的差为定值?
是否说明点P在以A、B为焦点的双曲线的一支上?
【自主解答】 因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=4,
所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.
以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向建立直角坐标系,如图所示.
则A(3,0),B(-3,0),
C(-5,2).
所以双曲线方程为-=1(x>0),
BC的垂直平分线方程为x-y+7=0.
联立两方程解得x=8,y=5,
所以P(8,5),
kPA=tan∠PAx=,所以∠PAx=60°.
所以P点在A点的北偏东30°方向.
解答此类题首先应建立平面直角坐标系,取两定点所在的直线为x轴,以两定点为端点的线段的中点为坐标原点;然后根据双曲线的定义求出标准方程,再由标准方程解有关问题.本题的解法主要运用了数形结合思想和函数与方程思想.
某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图2-3-1所示),|PA|=100m,|PB|=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工.
图2-3-1
【解】 设M是分界线上的任意一点,则有:
|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,
于是|MA|-|MB|
=|PB|-|PA|=150-100=50.
在△PAB中,由余弦定理得,
|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|·cos60°
=1002+1502-2×100×150×=17500.
∴以AB所在直线为x轴,AB中点为原点建立平面直角坐标系,则分界线是双曲线,即-=1(x≥25).
故运土时,将此双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.
混淆a、b、c的关系致误
双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标为(0,3),求k的值.
【错解】 将双曲线的方程化成标准形式为
-=1.
因为双曲线的焦点在y轴上,所以a2=,b2=.
所以c===3,即=9,所以k=.
【错因分析】 上述解法有两处错误:
一是a2,b2值确定错误,应该是a2=-,b2=-;二是基本量a、b、c的关系错误,在双曲线中基本量a、b、c的关系应该是c2=a2+b2.
【防范措施】 在椭圆中,a、b、c的关系是c2=a2-b2;而在双曲线中,a、b、c的关系是c2=a2+b2,二者极易混淆,要注意区分,以防错误.
【正解】 将双曲线的方程化成kx2-y2=1.
因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3),所以焦点在y轴上,且c=3.
所以a2=-,b2=-.所以--=9,解得k=-1.
1.理解双曲线定义应注意以下三点:
①定义中的动点与定点在同一平面内;②距离的差要加绝对值,否则只表示双曲线的一支;③距离差的绝对值必须小于焦距,否则不是双曲线,而是两条射线或无轨迹.
2.利用待定系数法可以求双曲线的标准方程,求解步骤包括“定位”与“定量”两步.
1.动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.两条射线D.一条射线
【解析】 ∵||PM|-|PN||=2=|MN|,∴点P的轨迹是两条射线.
【答案】 C
2.(2013·徐州高二检测)双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( )
A.(,0)B.(,0)
C.(,0)D.(,0)
【解析】 将双曲线方程化为标准形式x2-=1,
所以a2=1,b2=,∴c==,
∴右焦点坐标为(,0).
【答案】 C
3.满足条件a=2,一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
【解析】 由a=2,c=4,得b2=c2-a2=12,又一焦点(4,0)在x轴上,
∴双曲线的标准方程为-=1.
【答案】 A
4.已知双曲线-=1的左支上一点M到其左焦点F1的距离为10,求
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- 231 双曲线 及其 标准 方程 教案 选修 21
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