数学与应用数学毕业论文赌博中的概率问题和彩票陷阱中的数学问题分析文档格式.docx
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二、赌博中的概率问题……………………………………………………2
(一)主要结论……………………………………………………………2
(二)扑克牌分析…………………………………………………………3
2.1洗牌问题………………………………………………………………4
2.2桥牌游戏………………………………………………………………4
2.3升级游戏………………………………………………………………5
2.4抽牌问题………………………………………………………………6
(三)其他例题分析………………………………………………………6
3.1骰子游戏………………………………………………………………6
3.2轮盘游戏………………………………………………………………7
三、彩票陷阱的分析………………………………………………………8
(一)定义…………………………………………………………………8
(二)彩票的基本分析……………………………………………………8
2.1传统型………………………………………………………………9
2.2乐透型……………………………………………………………10
(三)抽奖陷阱的分析……………………………………………………12
四、总结……………………………………………………………………14
参考文献…………………………………………………………………16
一、引言
概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。
其起源于十七世纪中叶,当时在误差、人口统计、人寿保险等范筹中,需要整理和研究大量的随机数据资料,这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学,但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题,却是来自赌博者的问题。
数学家费马向一法国数学家帕斯卡提出下列的问题:
「现有两个赌徒相约赌若干局,谁先赢s局就算赢了,当赌徒A赢a局﹝a<
s﹞,而赌徒B赢b局﹝b<
s﹞时,赌博中止,那赌本应怎样分才合理呢?
」于是他们从不同的理由出发,在1654年7月29日给出了正确的解法,而在三年后,即1657年,荷兰的另一数学家惠根斯﹝1629-1695﹞亦用自己的方法解决了这一问题,写成了《论赌博中的计算》一书,这就是概率论最早的论着,他们三人提出的解法中,都首先涉及了数学期望﹝mathematicalexpectation﹞这一概念,并由此奠定了古典概率论的基础。
使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各·
伯努利﹝1654-1705﹞。
他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理,我们称为「伯努利大数定理」,即「在多次重复试验中,频率有越趋稳定的趋势」。
这一定理在他死后,即1713年,发表在他的遗著《猜度术》中。
到了1730年,法国数学家棣莫弗出版其著作《分析杂论》,当中包含了著名的「棣莫弗─拉普拉斯定理」。
这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。
而接着拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》中,首先明确地对概率作了古典的定义。
另外,他又和数个数学家建立了关于「正态分布」及「最小二乘法」的理论。
另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。
他推广了伯努利形式下的大数定律,研究得出了一种新的分布,就是泊松分布。
概率论继他们之后,其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。
概率论发展到1901年,中心极限定理终于被严格的证明了,以后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。
到了20世纪的30年代,人们开始研究随机过程,而着名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。
而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦作出了重大贡献,到了近代,出现了理论概率及应用概率的分支,及将概率论应用到不同范筹,从而开展了不同学科。
因此,现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。
二、赌博中的概率问题
从概率论的起源与发展来看,与赌博是息息相关的,可以说概率论的其起源正是由于赌博的问题,在赌博中蕴含着无数的概率问题,值得我们学习和研究。
赌博是一种普遍的社会现象,自古至今,它一直活跃在人们的生活中,并对社会、经济、政治、文化等方面产生各种各样的影响,然而在实际中的各种赌博的胜负都带有极大的偶然性,下面就从概率论角度来研究关于赌博的问题。
(一)主要结论
1.引理 若在一次选举中,候选人A得到n张选票而候选人B得到m张选票,其中n>
m,假定选票的一切排列次序是等可能的,则在计票过程中,A的票数始终领先的概率为(n-m)/(n+m)。
2.推论 若连续投掷一枚硬币,其正面出现的概率总是p,则
P{首次相等的时刻=2n}=
3.定理1 若一个赌徒在每次赌局中分别以概率p及(1-p)赢得一元或输掉一元,开始有n元,则他输光之前恰好赌了n+2i局的概率是
。
证明:
首先对n+2i局中赢得局数取条件,利用全概率公式
P{恰好赌n+2i局输光}=
{恰好赌n+2i局输光|在n+2i局中赢k局}P{在n+2i局中赢k局}
=
{恰好赌n+2i局输光|在n+2i局中赢i局}P{在n+2i局中赢i局}
4.定理2 (“赌徒输光”问题)甲乙两个赌徒进行一系列的赌博,在每一局中,甲获胜的概率为p(0<
p<
1),甲输的概率为q=1-p,假设各局赌博的结果是相互独立的,且没有和局,开始时甲有a元,乙有b元,其中a与b均为自然数,在每一局结束后,失败者付给获胜者一元钱,赌博一直进行到有一个人全部输光为止,则甲输光的概率为
则乙输光的概率为1-
结果表明,当甲乙两人的赌博本领相当时,甲乙两个输光的概率分别为b/a+b和a/a+b,即谁的初始赌本大谁就处于有利地位;
当甲乙两人本领不相当时(即p≠q),通过一些数据统计可以看出,即使在赌本上占有明显优势,若本领差的话,结果仍会很糟糕.。
5.定理3 若一个赌徒在每一局赌博中以概率p赢一元,以概率q=1-p输一元,假定各局赌博是相互独立的,赌徒开始有i元,则P{他在下一局赌博中赢|目前的赌金为i,他最终到达N元}=
使用条件概率公式有
P{他在下一局赌博中赢|目前的赌金为i,他最终到达N元}
=P{他在下一局赌博中赢,目前的赌金为i,他最终到达N元}/P{目前的赌金为i,他最终到达N元}
=P{他目前的赌金为i,最终到达N元|在下一局赌博中赢}P{在下一局赌博中赢}/P{目前的赌金为i,他最终到达N元}
(二)扑克牌分析
接下来我们通过扑克牌的几种玩法,来看一看,在日常的一些赌博过程中的概率论问题:
2.1洗牌问题
例1.把一副扑克牌52张洗匀,求四张A连在一起的概率。
解:
洗匀一副扑克牌是指52张牌的各种各样排列出现的机会都一样,将每一个排列看成一个基本事件,则基本事件总数
当对52张牌依次查看时,找连着的四张A只要找到第一张A就可以了。
这第一张A能在第一张到第49张牌的49个位置上出现,故有利场合数为
从而所求概率为
例2.洗牌(52张),求
(1)结果“A23…K;
A23…K;
A…K;
A…K”出现的概率;
{2)前13张恰为“A23…K”的概率。
解:
基本事件总数仍为52!
(1)此时的排列对牌的花色没有要求,只与牌点数有关,因A的四个位置是固定的(第1,14,27,40号牌),则A的排法有4!
种.同样2到K各张扑克牌的排法都有4!
种,由乘法原理得有利场合数为
种。
从而所求概率
(2)前13张牌的每一张都有4种取法,而其余的39张牌可进行全排列。
由乘法原理得有利场合数
,故概率
2.2桥牌游戏
例:
打桥牌时把52张牌分给四人,求
(1)有人得到13张黑桃的概率;
(2)有人得到4张A的概率;
(3)一人得到13张黑桃而另一人得到3张A的概率。
(1)基本事件数为
,符合条件的事件数为
故
(2)基本事件数为
(3)先考虑指定四人之一抓到13张黑桃,对此人来说只有一种选法。
再指定三人之一抓得3张A,抓牌方法有
种.而这两人的选法共有
种故.
2.3升级游戏
例1.升级游戏(54张牌,底牌为6张),底牌中有“王”的概率。
底牌中有王,即在洗牌时将至少一张王牌放置于下方六页牌之中。
将54张牌的每一种排列看作一次随机试验,则基本事件总数为
符合条件的事件数为
故所求概率为
例2.升级游戏,
(1)求有人抓得双王的概率;
(2)求有一人得到4个A,另一人得双王,其余五人各有五张红桃的概率。
升级游戏中,每人可得到12张牌,底牌有6张,按结论1求得基本事件
(1)有人得双王的事件有
(2)从4人中选出2人(称为前二人)获得4个A和双王共有
种选法。
这两人确定后,从12张红桃中任选十张分给后两人,共
种,此二人的各自另7张牌可在其余36张中选取,方法有
再将剩余的24张分给前两人和留底牌,分法有
2.4抽牌问题
例1.从洗匀的扑克牌(52张)中接连抽出二张(抽出的牌不放回).求第二张才抽到红桃的概率。
设A表第一张未抽到红桃,B表第二张抽到红桃,则
,
,所以第二次抽到红桃的概率为
例2.从一付牌中随机抽四张牌是同花顺的概率是多少?
首先抽到非大小王,然后抽4花色之一种,然后在此种类中抽4连张(10种,可直接数出来,每种4!
种排列,共240)
故依次相乘得:
本部分通过对四类扑克牌的玩法进行概率分析,对在日常生活中赌博的概率问题有所了解,在这里仅列出具有代表性的几类扑克牌游戏中的概率问题。
扑克牌游戏法多种多样,可设计更多不同的概率问题。
(三)其他例题分析
3.1骰子游戏
规则说明:
一般采用三枚骰子和一个骰盅,简单分为大小两门,规定4点至10点为小,11点至17点为大。
若押小开小,押小者可获一倍彩金,押大者则输,赌注(现金筹码)归庄家;
若押大开大,则类推。
若庄家摇出全骰(即三枚骰子现出一样的点数),赌徒无论押大押小皆输。
分析:
I:
首先分析若庄家摇出全骰(即三枚骰子现出一样的点数)的概率:
各点数组合共有
种,全骰共有6种,其概率为
Ⅱ:
再分析小的概率,逐个分析:
4点有(1,1,2)(1,2,1)(2,1,1)三种组合,则其概率为
5点:
有(1,1,3)(1,2,2)(1,3,1)(2,1,2)(2,2,1)(3,1,1)六种组合,则其概率为
6点有(1,1,4)(1,2,3)(1,3,2)(1,4,1)(2,1,3)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)(4,1,1)九种组合,则其概率为
7点有(1,1,5)(1,2,4)(1,3,3)(1,4,2)(1,5,1)(2,1,4)(2,2,3)(2,3,2)(2,4,1)(3,1,3)(3,2,2)(3,3,1)(4,1,2)(4,2,1)(5,1,1)则其概率为
以此类推
8点的概率为
9点的概率为
10点的概率为
则小的概率为
则由此可知大的概率为
在实际的赌博过程中,会因为庄家的技术等原因改变概率的分布,在此就不做考虑了。
3.2轮盘游戏
规则介绍及分析:
轮盘是一种十分刺激的游戏。
它由一个轮盘、一个象牙制小球以及一张赌桌构成。
轮盘以转轴为中心转动,并且分成38个(美式轮盘)细长沟道。
36个沟道分别编号为1至36,一半是红色一半是黑色。
另外两个绿色沟道分别标为0和00。
玩家按照赌桌上的赌区下注。
一旦赌桌上的赌注总额超过最小赌注,小球就会被掷进轮盘。
小球进入任何一个沟道并停止卷动之后,输赢即确定下来。
无论哪一轮游戏,玩家所下的赌注均不能超过最大赌注。
骤眼看轮盘上数字的排列是完全随机的!
较明显是红色和黑色单双数的比例是不同的,其实数字的分布排列是经过小心处理的,而轮盘上每一格的光滑度及大小都是一样的,多数一对的数字都有另一个数字相隔,这对数字总和是37或39。
赌场优势
美式轮盘有38个号码,如果你赌一个号码,赢的几率是37:
1,如果你投1元赢了,赌场赔你37元,你共有38元,这样就是公平的游戏;
实际上赌场只赔你35元,你共有36元,2元留在赌场的口袋里,这就是赌场的优势,即2/38=5.26%。
所以以上美式轮盘规则,投注赌场优势是5.26%,除了0-00-1-2-3的投注组合,因为其赌场优势为7.89%。
但在实际的生活中,由于种种的人为因素,概率往往不符合例题的分析,作弊等现象屡禁不止,所以人们常说:
“十赌九输”,就是在说明在人为因素介入的情况下,往往最终获胜的是庄家,而玩家才是真正的受害人。
三、彩票陷阱的分析
(一)定义
彩票陷阱又称作抽奖陷阱是指用概率极小的中奖吸引消费者,以后去更大的利益,受害者通常是消费者。
与古典概率问题联系紧密。
但在当今我国社会中彩票被用来进行慈善事业,在这里我们只考虑其概率不研究它的陷阱设置。
(二)彩票的基本分析
近年来,“彩票飓风”席卷中华大地,巨额诱惑使得越来越多的人加入到“彩民”这一行列.目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种,下面对这两种类型彩票的具体购买方式和中奖方式进行叙述:
2.1 传统型
2.1.1玩法和设奖方式
传统型彩票玩法比较简单,2元买一注,每一注填写一张彩票。
每张彩票由一个6位数字和一个特别号码组成。
每位数字均可填写0、1、…、9这10个数字中的一个;
特别号码为0、1、2、3、4中的一个。
每期设六个奖项,投注者随机开出一个奖号———一个6位数号码,另加一个特别号码即0~4中的某个数字。
中奖号码规定如下:
彩票上填写的6位数与开出的6位数完全相同,而且特别号码也相同———特等奖;
6位数完全相同———一等奖;
有5个连续数字相同———二等奖;
有4个连续数字相同———三等奖;
有3个连续数字相同———四等奖;
有2个连续数字相同———五等奖。
每一期彩票以收入的50%作为奖金。
三、四、五等奖的奖金固定,特、一、二等奖的奖金浮动。
例如,如果一等奖号码是123456,特别号为0,那么各等奖项的中奖号码和每注奖金,如下表所列:
奖级
中奖号码
每注奖金
特等奖
123456+0
(奖金总额-固定奖金)×
65%÷
注数88万元(保底)~500万元(封顶)
一等奖
123456
15%÷
注数
二等奖
12345□ □23456
20%÷
注
三等奖
如:
□2345□等共3组
300元
四等奖
□□□456等共4组
20元
五等奖
□□□45□等5组
5元
2.1.2中奖概率
以一注为单位,计算每一注彩票的中奖概率。
特等奖———前6位数有106种可能,特别号码有5种可能,共有106×
5=5000000种选择,而特等奖号码只有一个,因此,一注中特等奖的概率为:
;
一等奖———前6位数相同的,只有一种可能,故中一等奖的概率为:
二等奖———有20个号码可以选择,故中二等奖的概率为:
三等奖———有300个号码可以选择,故中三等奖的概率为:
四等奖———有4000个号码可以选择,故中四等奖的概率为:
五等奖———有50000个号码可以选择,故中五等奖的概率为:
合起来,每一注总的中奖率为:
这就是说,每1000注彩票,约有54注中奖(包括五等奖到特等奖)。
2.2乐透型
2.2.1玩法和设奖方式
同样也是2元一注,每一注填写一张彩票,从01、02、…、33这33个号码中,选取7个号码。
每一期开出7个号码,以及一个特别号码。
中奖号码如下表所示:
基本号码
特别号码
●●●●●●●
★
(顺序不限)
75%÷
●●●●●●★
(顺序不限)
10%÷
●●●●●●○
●●●●●★○
500元
六等奖
●●●●★○○
10元
七等奖
●●●●○○○
●●●★○○○
2.2.2 中奖概率
也是以一注为单位,计算一注中奖的概率。
为简单起见,我们建立一个摸球模型:
假设袋子里有33个球,其中有7个红球,1个黄球和25个白球。
红球为中奖号码,黄球为特别号码,白球为其他号码。
于是,每一注彩票,就相当于一次从袋子中摸出7个球来,如果摸出7个红球,即为一等奖;
摸出6个红球、一个黄球,即为二等奖;
摸出6个红球、一个白球,即为三等奖;
摸出5个红球、一个黄球、一个白球,即为四等奖;
摸出5个红球、两个白球,即为五等奖;
摸出四个红球、一个黄球、两个白球,为六等奖;
摸出4个红球、3个白球,或者3个红球、一个黄球、三个白球,为七等奖。
因此,各个奖级选中的概率为:
一等奖———
二等奖———
三等奖———
四等奖———
五等奖———
六等奖———
七等奖———
合起来,每一注中奖的概率为:
P=0.0417848=4.17848%≈4.18%,即每10000注彩票中,约为418注中奖(包括各个奖级)。
由上面对两种彩票玩法中奖概率的分析可见,中奖概率极低,如果参与者被高额的奖金所吸引,其不断的投入只能换回很少的回报,一个理智的人不应该将中彩票作为自己发家致富的手段。
(三)抽奖陷阱实例分析
上面是对彩票及其中奖概率的分析,下面我们来看一看免费抽奖中的陷阱设制。
我们通过实例对具体问题进行具体分析。
下面是一个搞免费抽奖的地摊,玩家很多。
其具体方法是:
在一个碗中放有20个红白各半的小玻璃珠,参与者从碗中随意抓出10个小玻璃珠来,如抓到:
1、10个颜色全同,即10个全红或10个全白,可得一等奖,奖金300元;
2、9个颜色全同,即9个红色、1个白色或9个白色、1个红色,获二等奖,奖金30元;
3、8个颜色全同,即8个红色、2个白色或8个白色、2个红色,获三等奖,奖金3元;
4、7个颜色全同,即7个红色、3个白色或7个白色、3个红色,获四等奖,奖金2元;
5、6个颜色全同,即6个红色、4个白色或6个白色、4个红色,获五等奖,奖金1元;
6、5个颜色全同,即5个红色、5个白色,则罚款5元。
乍一看来,这类抽奖非常优惠:
一是免费抽奖,多抽
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