离散型随机变量的均值与方差综合测试题附答案Word文档下载推荐.docx
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115
且η=2X+3,且E(η)等于()
A.35B.65
C.215D.125
答案]C
解析]∵E(X)=0×
175+1×
715+2×
115=35,
∴E(η)=E(2X+3)=2E(X)+3=215.
3.某人从家乘车到单位,途中有3个交通岗.假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人上班途中遇红灯次数的均值为()
A.0.4B.1.2
C.0.43D.0.6
答案]B
解析]∵途中遇红灯的次数X服从二项分布,即X~B(3,0.4),∴E(X)=3×
0.4=1.2=65.
4.已知X的分布列为
X1234
P14
13
16
14
则D(X)的值为()
A.2912B.121144
C.179144D.1712
解析]∵E(X)=1×
14+2×
13+3×
16+4×
14=2912,E(X2)=12×
14+22×
13+32×
16+42×
14=8512,∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=179144.
5.已知X的分布列为
X-101
P12
若η=2X+2,则D(η)的值为()
A.-13B.59
C.109D.209
解析]E(X)=-1×
12+0×
13+1×
16=-13,D(X)=-1+132×
12+0+132×
13+1+132×
16=59,
∴D(η)=D(2X+2)=4D(X)=4×
59=209.
6.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25,设X为途中遇到红灯的次数,则随机变量X的方差为()
A.65B.1825
C.625D.18125
解析]由X~B3,25,∴D(X)=3×
25×
35=1825.
7.已知X服从二项分布B(n,p),且E(3X+2)=9.2,D(3X+2)=12.96,则二项分布的参数n、p的值为()
A.n=4,p=0.6
B.n=6,p=0.4
C.n=8,p=0.3
D.n=24,p=0.1
解析]由E(3X+2)=3E(X)+2,D(3X+2)=9D(X),及X~B(n,p)时E(X)=np.D(X)=np(1-p)可知
3np+2=9.29np(1-p)=12.96∴n=6p=0.4
8.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数78910
频数5555
乙的成绩
频数6446
丙的成绩
频数4664
s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有()
A.s3>
s1>
s2B.s2>
s3
C.s1>
s2>
s3D.s2>
s3>
s1
解析]计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5.
s1=
1205(7-8.5)2+5(8-8.5)2+5(9-8.5)2+5(10-8.5)2]
=2520.同理,s2=2920,s3=2120,
∴s2>
s3,故选B.
二、填空题
9.牧场的10头牛,因误食疯牛病毒污染的饲料被感染,已知该病的发病率为0.02,设发病牛的头数为X,则D(X)等于________.
答案]0.196
解析]由题意知,随机变量服从二项分布,所以D(X)=npq=10×
0.02×
(1-0.02)=0.196.
10.(2010•福州)设有m升水,其中含有n个大肠杆菌,今任取1升水检验,设其中含大肠杆菌的个数为X,则E(X)=________.
答案]nm
解析]设A=“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”,则P(A)=1m,
∴P(X=k)=Pn(k)=Ckn(1m)k(1-1m)n-k(k=0,1,2,3,…,n),∴X~B(n,1m).
则E(X)=n×
1m=nm.
11.某次考试中,第一大题由12个选择题组成,每题选对得5分,不选或选错得0分.小王选对每题的概率为0.8,则其第一大题得分的均值为________.
答案]48
解析]设小王选对个数为X,得分为η=5X,
则X~B(12,0.8),E(X)=np=12×
0.8=9.6,
E(η)=E(5X)=5E(X)=5×
9.6=48.
12.若X的分布列如下表:
则D14X=________.
答案]564
解析]E(X)=14(1+2+3+4)=52,
D(X)=1-522+2-522+3-522+4-522
×
14=54,
∴D14X=116D(X)=564.
三、解答题
13.一名工人要看管三台机床,在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9,第二台是0.8,第三台是0.85,求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X的数学期望(均值).
解析]由题意,可知X的所有可能的值为0,1,2,3,记事件A为第一台机床不需照顾;
事件B为第二台机床不需照顾,事件C为第三台机床不需照顾,由独立事件和互斥事件的概率公式可知,P(X=0)=P(A•B•C)=P(A)P(B)P(C)=0.1×
0.2×
0.15=0.003,
P(X=1)=P(A•B•C+A•B•C+A•B•C)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.056,
同上可得P(X=2)=0.329,P(X=3)=0.612,
所以E(X)=0×
0.003+1×
0.056+2×
0.329+3×
0.612=2.55台.
14.为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的12,13,16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求ξ的分布列及均值.
解析]考查离散型随机变量的概率分布和数学期望.
解:
记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.
由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,Ai,Bj,Ck(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,且P(Ai)=12,P(Bj)=13,
P(Ck)=16.
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率为:
P=3!
P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)
=6×
12×
13×
16=16.
(2)解法一:
设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η,由已知η~B3,13,且ξ=3-η.
所以P(ξ=0)=P(η=3)=C33133=127,
P(ξ=1)=P(η=2)=C2313223=29,
P(ξ=2)=P(η=1)=C1313232=49,
P(ξ=3)=P(η=0)=C03233=827.
故ξ的分布列为
ξ0123
P127
29
49
827
ξ的均值E(ξ)=0×
127+1×
29+2×
49+3×
827=2.
解法二:
由题设条件知,基础设施工程和产业建设工程这两类项目的个数占总数的12+16=23.
3名工人独立地从中任选一个项目,故每人选到这两类项目的概率都是23,故ξ~B3,23.
即:
P(ξ=k)=Ck323k133-k,k=0,1,2,3.
ξ的均值E(ξ)=3×
23=2.
15.袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.
(1)求ξ的分布列、均值和方差;
(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.
解析]
(1)ξ的分布列为:
ξ01234
120
110
320
15
∴E(ξ)=0×
12+1×
120+2×
110+3×
320+4×
=1.5.
D(ξ)=(0-1.5)2×
12+(1-1.5)2×
120+(2-1.5)2×
110+(3-1.5)2×
320+(4-1.5)2×
=2.75.
(2)由D(η)=a2D(ξ),得a2×
2.75=11,即a=±
2.又E(η)=aE(ξ)+b,所以当a=2时,由1=2×
1.5+b,得b=-2;
当a=-2时,由1=-2×
1.5+b,得b=4,
∴a=2,b=-2或a=-2,b=4即为所求.
16.(2010•湖南理,17)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:
吨)的频率分布直方图.
(1)求直方图中x的值;
(2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样),求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望(均值).
分析]
(1)由频率和为1,列式求出x的值;
(2)从图中知用水为3至4吨的概率为0.1,又本抽样为有放回抽样,故符合X~B(3,0,1),其中X=0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望(均值).
解析]
(1)依题意及频率分布直方图知,0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12.
(2)由题意知,X~B(3,0.1).
因此P(X=0)=C03×
0.93=0.729,
P(X=1)=C13×
0.1×
0.92=0.243,
P(X=2)=C23×
0.12×
0.9=0.027,
P(X=3)=C33×
0.13=0.001.
故随机变量X的分布列为
X0123
P0.7290.2430.0270.001
X的数学期望为E(X)=3×
0.1=0.3.
点评]本题通过频率分布直方图,将统计知识与概率结合起来.考查了二项分布,离散型随机变量的分布列与数学期望(均值).
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- 离散 随机变量 均值 方差 综合测试 答案
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