集合的概念及运算Word文档格式.docx
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集合的概念及运算Word文档格式.docx
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符号
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
4.集合的运算性质
并集的性质:
A∪Ø
=A;
A∪A=A;
A∪B=B∪A;
A∪B=A
⇔B⊆A.
交集的性质:
A∩Ø
=Ø
;
A∩A=A;
A∩B=B∩A;
A∩B=A
⇔A⊆B.
补集的性质:
A∪(∁UA)=U;
A∩(∁UA)=Ø
∁U(∁UA)=A.
1.判断正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)集合{x|y=
}与集合{y|y=
}是同一个集合.( )
(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(3)已知集合A={x|mx=1},B={1,2},且A⊆B,则实数m=1或m=
.( )
(4)含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.( )
(5)若A={0,1},B={(x,y)|y=x+1},则A⊆B.( )
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√ (5)×
2.(2015·
新课标全国卷Ⅱ)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<
0},则A∩B=( )
A.{-1,0}B.{0,1}
C.{-1,0,1}D.{0,1,2}
[解析] 由题意知B={x|-2<
x<
1},所以A∩B={-1,0}.故选A.
[答案] A
3.(2016·
北京东城期末统测)已知集合A={x|0<
2},B={x|(x-1)(x+1)>
0},则A∪B=( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(-∞,-1)∪(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
[解析] 由已知条件可得B={x|(x-1)(x+1)>
0}={x|x>
1或x<
-1},∴A∪B={x|0<
2}∪{x|x>
-1}={x|x>
0或x<
-1},故选C.
[答案] C
4.(2015·
济南3月模拟)已知集合A={x||x-1|<
2},B={x|y=lg(x2+x)},设U=R,则A∩(∁UB)等于( )
A.[3,+∞)B.(-1,0]
C.(3,+∞)D.[-1,0]
[解析] 解不等式|x-1|<
2得-1<
3,所以A={x|-1<
3}.要使函数y=lg(x2+x)有意义,须x2+x>
0,解得x<
-1或x>
0,所以B={x|x<
0},∁UB={x|-1≤x≤0},所以A∩(∁UB)=(-1,0],故选B.
[答案] B
5.(2015·
东北三省四市第二次联考)设集合A={1,2,4},集合B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中的元素个数为.
[解析] ∵a∈A,b∈A,x=a+b,∴x=2,3,4,5,6,8,∴B中有6个元素.
[答案] 6
考点一 集合的基本概念
1.掌握集合的概念,关键是把握集合中元素的特性,要特别注意集合中元素的互异性,一方面利用集合中元素的互异性能顺利找到解题的切入点;
另一方面,在解答完毕时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.
2.用描述法表示集合时,首先应清楚集合的类型和元素的性质.
加强对集合中元素的特征的理解,互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.
(1)(2016·
银川质检)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3
C.5D.9
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为.
[解题指导] 切入点:
集合中元素的特征;
关键点:
集合中元素的互异性.
[解析]
(1)逐个列举可得.x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;
x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;
x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为-2,-1,0,1,2.共5个.
(2)因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,
即m=1时,2m2+m=3,
此时集合A中有重复元素3,
所以m=1不符合题意,舍去;
当2m2+m=3时,解得m=-
或m=1(舍去),
因为当m=-
时,m+2=
≠3,符合题意.所以m=-
.
[答案]
(1)C
(2)-
(1)用描述法表示集合时要把握元素的特征,分清点集、数集;
(2)要特别注意集合中元素的互异性,在解题过程中最容易被忽视,因此要对计算结果进行检验,防止所得结果违背集合中元素的互异性.
对点训练
1.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( )
A.4B.2
C.0D.0或4
[解析] 由题意得,ax2+ax+1=0只有一个实数解,当a=0时,方程无实数解;
当a≠0时,则Δ=a2-4a=0,解得a=4(a=0不合题意舍去),故选A.
2.已知集合A={t2+s2|t,s∈Z},且x∈A,y∈A,则下列结论正确的是( )
A.x+y∈AB.x-y∈A
C.xy∈AD.
∈A
[解析] 由集合A={t2+s2|t,s∈Z}(即A中元素均可以表示为两个整数平方和的形式),可得1=02+12,2=12+12,所以x=1∈A,y=2∈A,但1+2=3∉A,故A.“x+y∈A”不成立;
又1-2=-1∉A,故B.“x-y∈A”不成立;
又
∉A,故D.“
∈A”不成立.故选C.
3.A、B是两个集合,A={y|y=x2-2},B={-3,1,y},其中y∈A,则y的取值集合是.
[解析] 因为B是一个集合,由集合元素的互异性可知y≠-3且y≠1,A是函数y=x2-2的值域[-2,+∞),从而y的取值集合就是{y|y≥-2且y≠1}.
[答案] {y|y≥-2且y≠1}
考点二 集合间的基本关系
判断集合间关系往往转化为元素与集合间关系,对描述法表示的集合要抓住元素及属性,可将元素列举出来或通过元素特征,对连续数集和抽象集合,常借助数形结合的思想(借助数轴,韦恩图及函数图象等)解决.
空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.
(1)(2015·
皖南八校联考)已知R表示实数集,集合M={x|0≤x≤2},N={x|x2-2x-3>
0},则下列结论正确的是
( )
A.M⊆NB.M⊆∁RN
C.∁RM⊆ND.∁RN⊆M
(2)(2015·
郑州模拟)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.
子集的定义;
含有字母参数时,应对Ø
关注.
[解析]
(1)集合N={x|x2-2x-3>
3或x<
-1},所以∁RN={x|-1≤x≤3},又M={x|0≤x≤2},所以M⊆∁RN,故选B.
(2)当m+1>
2m-1,即m<
2时,B=Ø
,
满足B⊆A;
若B≠Ø
,且满足B⊆A,如图所示,则
即
∴2≤m≤3.
故m<
2或2≤m≤3,即m的取值范围为{m|m≤3}.
[答案]
(1)B
(2){m|m≤3}
(1)判断两集合的关系常有两种方法:
一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;
二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系;
(2)已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,
进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常是合理利用数轴、Venn图来帮助分析;
(3)B为A的子集,不要漏掉B=Ø
时的情况.
1.(2015·
重庆卷)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则
A.A=BB.A∩B=Ø
C.ABD.BA
[解析] ∵A={1,2,3},B={2,3},∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B,∴BA.
[答案] D
2.(2016·
合肥模拟)已知集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},若S⊆P,则实数a的取值组成的集合是
A.
B.
C.
D.
[解析] 由题意得,P={-3,2}.
当a=0时,S=Ø
,满足S⊆P;
当a≠0时,方程ax+1=0的解为x=-
为满足S⊆P,可使-
=-3,或-
=2,
即a=
,或a=-
故所求集合为
南充调研)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是.
[解析] 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],因为A⊆B,所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即实数a-b的取值范围是(-∞,-2].
[答案] (-∞,-2]
考点三 集合的基本运算
在进行集合的运算时,先看清集合的元素和所满足的条件,再把所给集合化为最简形式,并合理转化求解,必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化,并会运用分类讨论、数形结合等思想方法,使运算更加直观、简洁.
韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.
天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩(∁UB)=( )
A.{2,5}B.{3,6}
C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}
(2)已知集合A={y|y=x2-2x,x∈R},B={y|y=-x2+2x+6,x∈R},则A∩B=.
集合的交、并、补的概念;
化简集合,准确运算.
[解析]
(1)先求得集合B的补集,再进行交集运算.由题意得∁UB={2,5,8},∴A∩∁UB={2,3,5,6}∩{2,5,8}={2,5}.
(2)y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
y=-x2+2x+6=-(x-1)2+7≤7,
∴A={y|y≥-1},B={y|y≤7},
故A∩B={y|-1≤y≤7}.
[答案]
(1)A
(2){y|-1≤y≤7}
[拓展探究]
(1)在例3
(2)中,若集合A变为A={x|y=x2-2x,x∈R},其他条件不变,求A∩B.
(2)在例3
(2)中,若集合A、B变为:
A={(x,y)|y=x2-2x,x∈R},B={(x,y)|y=-x2+2x+6,x∈R},求A∩B.
[解]
(1)因A中元素是函数自变量,则A=R,
而B={y|y≤7},则A∩B={y|y≤7}.
(2)由
⇒x2-2x-3=0,
解得x=3或x=-1.
于是,
或
故A∩B={(3,3),(-1,3)}.
考点四 与集合有关的新定义问题
与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题,它是化归思想的具体运用,在新给出的运算法则的前提下,将题目中的条件转化成符合新的运算法则的形式,是解答此类问题的关键.
分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程中,是破解新定义型试题的关键所在.
(2016·
南昌质检)若X是一个集合,τ是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:
①X属于τ,Ø
属于τ;
②τ中任意多个元素的并集属于τ;
③τ中任意多个元素的交集属于τ,则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a,b,c},对于下面给出的四个集合τ:
(1)τ={Ø
,{a},{c},{a,b,c}}
(2)τ={Ø
,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}
(3)τ={Ø
,{a},{a,b},{a,c}}
(4)τ={Ø
,{a,c}{b,c},{c},{a,b,c}}
其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是.
拓扑的概念;
从概念出发解决问题.
[解析]
(1)τ={Ø
,{a},{c},{a,b,c}},而{a}∪{c}={a,c}∉τ,故
(1)不是集合X上的拓扑;
(2)满足:
属于τ,②τ中任意多个元素的并集属于τ,③τ中任意多个元素的交集属于τ,因此
(2)是集合X上的拓扑;
(3){a,b}∪{a,c}={a,b,c}∉τ,故(3)不是集合X上的拓扑;
(4)满足:
属于τ,②τ中任意多个元素的并集属于τ,③τ中任意多个元素的交集属于τ,因此(4)是集合X上的拓扑.
[答案]
(2)(4)
解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质,紧扣新定义进行推理论证,把其转化为我们熟知的基本运算.
对于任意两个正整数m,n,定义运算(用⊕表示运算符号):
当m,n都是正偶数或都是正奇数时,m⊕n=m+n;
当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m⊕n=m×
n.例如4⊕6=4+6=10,3⊕7=3+7=10,3⊕4=3×
4=12.在上述定义中,集合M={(a,b)|a⊕b=12,a,b∈N*}的元素有个.
[解析] m,n同奇同偶时有11组:
(1,11),(2,10),…,(11,1);
m,n一奇一偶时有4组:
(1,12),(12,1),(3,4),(4,3).
[答案] 15
———————方法规律总结————————
[方法技巧]
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;
对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号.
3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.
[易错点睛]
1.解题中要明确集合中元素的特征,关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).
2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系:
一是元素与集合的从属关系;
二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
课时跟踪训练
(一)
一、选择题
1.集合A={x|x2+x-6≤0},B={y|y=
,0≤x≤4},则A∩(∁RB)=
A.[-3,2]B.[-2,0)∪(0,3]
C.[-3,0]D.[-3,0)
[解析] 由题知A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},B={y|y=
,0≤x≤4}={y|0≤y≤2},所以∁RB={x|x>
2或x<
0},所以A∩(∁RB)={x|-3≤x<
0},所以选D.
石家庄一模)若已知M={0,1,2,3,4},N={1,3,5,7},P=M∩N,则集合P的子集个数为( )
A.2B.3
C.4D.5
[解析] ∵P={1,3},∴集合P的子集个数为4,故选C.
3.(2015·
浙江卷)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<
x≤2},则(∁RP)∩Q=( )
A.[0,1)B.(0,2]
C.(1,2)D.[1,2]
[解析] 先化简集合P,再应用集合的补集与交集的定义进行计算.由x2-2x≥0,得x≤0或x≥2,即P={x|x≤0或x≥2},所以∁RP={x|0<
2}=(0,2).又Q={x|1<
x≤2}=(1,2],所以(∁RP)∩Q=(1,2).
宁波二模)设全集U=R,A={x|x(x+3)<
0},B={x|x<
-1},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{x|-3<
-1}
B.{x|-3<
0}
C.{x|-1≤x<
D.{x|x<
-3}
[解析] 因为A={x|x(x+3)<
0}={x|-3<
0},∁UB={x|x≥-1},阴影部分为A∩(∁UB),所以A∩(∁UB)={x|-1≤x<
0},故选C.
山西四校联考)设U=R,A={x|y=x
},B={y|y=-x2},则A∩(∁UB)=( )
A.Ø
B.R
C.{x|x>
0}D.{0}
[解析] ∵A={x|y=x
}={x|x≥0},B={y|y=-x2}={y|y≤0},∴∁UB={y|y>
0},从而有A∩(∁UB)={x|x>
0}.
6.(2016·
唐山统考)设全集U=R,已知集合A={x|x≥1},B={x|(x+2)·
(x-1)<
0},则( )
A.A∩B=Ø
B.A∪B=U
C.∁UB⊆AD.∁UA⊆B
[解析] ∵B={x|(x+2)(x-1)<
0},∴B={x|-2<
1},∵A={x|x≥1},∴A∩B=Ø
7.(2015·
临沂二检)已知集合A={1,3,
},B={1,m},A∪B=A,则m=( )
A.0或
B.0或3
C.1或
D.1或3
[解析] 由A∪B=A,可得B⊆A,则m=3或m=
,得m=3或0或1.经检验m=1时,集合A={1,3,1},B={1,1},显然不成立.综上有m=0或3,故选B.
8.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,x<
y,x+y∈A},则集合B中的元素个数为( )
[解析] 当x=1时,y=2或3或4;
当x=2时,y=3,所以集合B中的元素个数为4.
9.(2015·
沈阳质量监测
(二))已知非空集合A,B,全集U=A∪B,集合M=A∩B,集合N=(∁UB)∪(∁UA),则( )
A.M∪N=MB.M∩N=Ø
C.M=ND.M⊆N
[解析] 因为本题涉及的集合间的运算以及关系较为抽象,可以考虑利用Venn图辅助解题.作出满足题意的Venn图,如图所示,容易知道M∩N=Ø
,故选B.
10.设集合A={x|x2+2x-3>
0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>
0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是( )
D.(1,+∞)
[解析] A={x|x2+2x-3>
-3},因为函数y=f(x)=x2-2ax-1图象的对称轴为x=a>
0,f(0)=-1<
0,根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,则这个整数解为2,所以有f
(2)≤0且f(3)>
0,即
所以
≤a<
二、填空题
11.已知集合A={0,2,a2},B={1,a},若A∪B={0,1,2,4},则实数a的值为.
[解析] 若a=4,则a2=16∉(A∪B),所以a=4不符合要求;
若a2=4,则a=±
2,又-2∉(A∪B),所以a=2.
[答案] 2
12.已知集合A={(x,y)|y=
},B={(x,y)|y=x+m},且A∩B≠Ø
,则实数m的取值范围是.
[解析] 集合A表示以原点为圆心,7为半径的圆在x轴及其上方的部分,A∩B≠Ø
,表示直线y=x+m与半圆有交点,作出示意图可得实数m的取值范围是[-7,7
].
[答案] [-7,7
]
13.(2015·
长沙模拟)已知集合A={x|x2+(a+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>
0,x∈R},若A∩B=Ø
,则a的取值范围是.
[解析] ①当A中的元素为非正数时,A∩B=Ø
,即方程x2+(a+2)x+1=0只有非正数解,
解得a≥0;
②当A=Ø
时,Δ=(a+2)2-4<
0,解得-4<
a<
0.
综上,a>
-4.
所以a的取值范围是(-4,+∞).
[答案] (-4,+∞)
三、解答题
14.(2015·
杭州学君中学模拟)已知集合A={m,m+d,m+2d},B={m,mq,mq2},其中m≠0,且A=B,求q的值.
[解] 由A=B可知,
(1)
或
(2)
解
(1)得q=1,解
(2)得q=1或q=-
又因为当q=1时,m=mq=mq2,不满足集合中元素的互异性,应舍去,所以q=-
15.(2016·
江苏四市调研)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;
(2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.
[解] 由已知得A={x|-1≤x≤3},
B={x|m-2≤x≤m+2}.
(1)∵A∩B=[0,3],∴
∴m=2.
(2)∁RB={x|x<
m-2或x>
m+2},∵A⊆∁RB,
∴m-2>
3或m+2<
-1,即m>
5或m<
-3.
16.(2016·
长春实验中学检测)已知集合A=
,B={x|x2-2x-m<
0},
(1)当m=3时,求A∩(∁RB);
(2)若A∩B={x|-1<
4},求实数m的值.
[解] 由
≤0,
解得-1<
x≤5,所以A={x|-1<
x≤5}.
(1)当m=3时,B={x|-1<
3},
则∁RB={x|x≤-1或x≥3},
所以A∩(∁RB)={x|3≤x≤5}.
(2)因为A={x|-1<
x≤5},A∩B={x|-1<
4},
所以有42-2×
4-m=0,解得m=8.
此时B={x|-2<
4},符合题意,故实数m的值为8.
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