初中数学专题旋转问题Word格式.docx
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3、解题步骤
(1)第一步:
找旋转点,角相等;
(2)第二步:
证全等、相似;
(3)第三步:
利用全等、相似得到边、角条件。
模块精讲
例1.在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°
,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.
(1)当点C1在线段CA的延长线上时,如图1,求∠CC1A1的度数;
(2)如图2,△ABC绕点B按逆时针方向旋转,连接AA1,CC1,若△ABA1的面积为4,求△CBC1的面积;
(3)点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值.
例2.已知△ABC是等边三角形.
(1)将△ABC绕点A逆时针旋转角(0°
<
<180°
),得到△ADE,BD和EC所在直线相交于点O.
①如图a,当=20°
时,△ABD与△ACE是否全等?
(填“是”或“否”),
∠BOE=
度;
②当△ABC旋转到如图b所在位置时,求∠BOE的度数;
(2)如图c,在AB和AC上分别截取点B′和C′,使AB=AB′,AC=AC′,连接B′C′,将△AB′C′绕点A逆时针旋转角(0°
<
),得到△ADE.
BD和EC所在直线相交于点O,请利用图c探索∠BOE的度数,直接写出结果,不必说明理由.
例3.
(一)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°
.
①当点D在AC上时,如图
(1),线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?
直接写出你猜想的结论;
②将图
(1)中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°
<α<90°
),如图
(2),线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?
请说明理由.
(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在
(1)中的位置关系仍然成立?
不必说明理由.
甲:
AB:
AC=AD:
AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°
;
乙:
AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°
丙:
AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°
例4.【2016·
扬州】已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°
角绕点A旋转,角的两边分别与
边BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF。
设CE=a,CF=b。
(1)如图1,当∠EAF被对角线AC平分时,求a、b的值;
(2)当△AEF是直角三角形时,求a、b的值;
(3)如图3,探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式,并说明理由。
例5.【2016·
淮安】问题背景:
如图①,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°
,AD=BD,探究线段AC、BC、
CD之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是:
将ΔBCD绕点D逆时针旋转90°
到ΔAED处,点B、C分别落在点A、E处(如图②),易证点C、A、E在同一条直线上,并且ΔCDE是等腰直角三角形,所以CE=
CD,
从而得出结论:
AC+BC=
CD.
图①图②图③图④图⑤
简单应用:
(1)在图①中,若AC=
,BC=2
,则CD= .
(2)如图③,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,弧AD=弧BD,若AB=13,BC=12,求CD的长。
拓展延伸:
(3)如图④,∠ACB=∠ADB=90°
,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<
n),求cd的长(用含m,n的代数式表示)(4)如图⑤,∠ACB=90°
,AC=BC,点P为AB的中点,若点E满足AE=
AC,CE=CA,点Q为AE的中点,则线段PQ与AC的数量关系是 .
例6.【2016·
宿迁】已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A、B两点除外),将△CAD
绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.
(1)如图1,当α=90°
时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:
GF∥AC;
(2)如图2,当90°
≤α≤180°
时,AE与DF相交于点M.
①当点M与点C、D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;
②设D为边AB的中点,当α从90°
变化到180°
时,求点M运动的路径长.
课堂练习
1.将两块全等的三角板如图①摆放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°
,∠A1=∠A=30°
(1)将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°
得图②,点P1是A1C与AB的交点,点Q是A1B1与BC的交点,求证:
CP1=CQ;
(2)在图②中,若AP1=2,则CQ等于多少?
(3)如图③,在B1C上取一点E,连接BE、P1E,设BC=1,当BE⊥P1B时,求△P1BE面积的最大值.
课后巩固习题
1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,4),将OA绕坐标原点O旋转90°
至OA′,则点A′的坐标是.
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到,则点P的坐标为.
(第2题图)(第3题图)
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠B=60°
,BC=2,△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点,连结AB′,且A,B′,A′在同一条直线上,则AA′的长为.
4.把二次函数y=(x-1)2+2的图象绕原点旋转180°
后得到的图象的表达式为.
5.如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,Rt△ABC的三个顶点A(-2,2),B(0,5),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°
,得到△A1B1C,请画出△A1B1C的图形.
(2)平移△ABC,使点A的对应点A2坐标为(-2,-6),请画出平移后对应的△A2B2C2的图形.
(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标.
(第5题图)
6.如图,将△ABC绕点C(0,1)旋转180°
得到△A′B′C,设点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为()
A.(-a,-b) B.(-a,-b-1)C.(-a,-b+1) D.(-a,-b+2)
(第6题图) (第7题图)(第8题图)
7.如图,△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°
后得到的图形,若点C恰好落在AB上,且∠AOD的度数为90°
,则∠B的度数是()
A.50°
B.60°
C.70°
D.75°
8.如图,两个边长相等的正方形ABCD和EFGH,正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置,正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转,设它们重叠部分的面积为S,旋转的角度为θ,S与θ的函数关系的大致图象是()
9.如图,把一个斜边长为2且含有30°
角的直角三角尺ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°
到△A1B1C,则在旋转过程中这个三角尺扫过的图形的面积是(D)
A.π B.
C.
+
D.
(第9题图)(第10题图)
10.在Rt△ABC中,已知∠C=90°
,∠B=50°
,点D在边BC上,BD=2CD.把△ABC绕着点D逆时针旋转
m(0<m<180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么m=.
11.如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC=1,且AC边在直线a上,将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1,此时AP1=
将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=1+
将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=2+
…,按此规律继续旋转,直至得到点P2016为止.则AP2016=.
(第11题图)
12.在数学兴趣小组的活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2
的正方形AEFG按图①位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.
(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由.
(2)如图②,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请帮他求出此时BE的长.
(3)如图③,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,交点为H,写出△GHE与△BHD面积之和的最大值,并简要说明理由.
(第12题图)
13.在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达扫描实验.如图,表盘是△ABC,其中AB=AC,∠BAC=120°
,在点A处有一束红外光线AP,从AB开始,绕点A逆时针匀速旋转,每秒钟旋转15°
,到达AC后立即以相同旋转速度返回AB,到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现,光线从AB处旋转开始计时,旋转1s,此时光线AP交BC边于点M,BM的长为(20
-20)cm.
(1)求AB的长.
(2)从AB处旋转开始计时,若旋转6s,此时光线AP与BC边的交点在什么位置?
若旋转2014s,交点又在什么位置?
(第13题图)
14.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°
,∠B=∠E=30°
(1)操作发现
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是______;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是______.
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想
(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°
,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
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