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平分弦(不是直径)的直径,并且平分弦所对的两条弧.
3.弧、弦、圆心角的关系
(1)定理:
在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的相等,所对的也相等;
(2)推论:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等,那么它们对应的其余各组量都分别相等.
4.圆周角定理
在中,同弧或等弧所对的圆周角,都等于这条弧所对的圆心角的.
①同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧.
②半圆(或直径)所对的圆周角是,90°
的圆周角所对的弦是.
典例诠释
考点一同弧上的圆心角和圆周角的关系
例1如图1-12-1,在⊙O中,∠ACB=34°
,则∠AOB的度数是()
图1-12-1
A.17°
B.34°
C.56°
D.68°
【答案】D
【名师点评】理解同弧上圆心角和圆周角的关系,并能准确识别.
考点二垂径定理的应用
例2如图1-12-2,⊙O的弦AB垂直平分半径OC,若AB=,则⊙O的半径为()
图1-12-2
A.B.2C.D.
【答案】A
【名师点评】此类问题常利用垂径定理把弦长、半径、圆心距转化到同一个直角三角形中,然后利用勾股定理求解.
基础精练
1.(2016·
西城二模)如图1-12-3,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB于点E.若AB=24,OE=5,则⊙O的半径为()
A.15B.13C.12D.10
图1-12-3
【答案】B
2.(2016·
海淀一模)如图1-12-4,AB为⊙O的弦,OC⊥AB于点C.若AB=8,OC=3,则⊙O的半径长为.
图1-12-4
【答案】5
3.(2016·
大兴一模)如图1-12-5,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E.若CD=6,OE=4,则⊙O的直径为()
图1-12-5
A.5B.6C.8D.10
4.(2016·
门头沟一模)如图1-12-6,⊙O的半径长为2,点A为⊙O上一点,半径OD⊥弦BC于点D,如果∠BAC=60°
,那么OD的长是()
图1-12-6
A.2B.C.1D.
【答案】C
5.(2016·
西城一模)在数学实践活动课中,小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径.如图1-12-7,直角角尺中,∠AOB=90°
,将点O放在圆周上,分别确定OA,OB与圆的交点C,D,读得数据OC=8,OD=9,则此圆的直径约为()
A.17B.14C.12D.10
图1-12-7
6.(2016·
朝阳二模)如图1-12-8,在⊙O中,AB为⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,若OB的长为10,sin∠BOD=,则AB的长为.
图1-12-8
【答案】16
7.(2016·
海淀二模)如图1-12-9,A,B,C,D为⊙O上的点,OC⊥AB于点E,若∠CDB=30°
,OA=2,则AB的长为()
图1-12-9
A.B.2C.2D.4
8.(2016·
东城期末)如图1-12-10,⊙O的半径为3,点P是弦AB延长线上的一点,连接OP,若OP=4,∠P=30°
,则弦AB的长为.
图1-12-10
A.2B.2C.D.2
9.(2016·
东城期末)如图1-12-11,点A,B,C在⊙O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°
,∠B=30°
,则∠ADC的度数为()
图1-12-11
A.70°
B.90°
C.110°
D.120°
10.(2016·
丰台期末)小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆,下列工件的弧形凹面一定是半圆的是()
ABCD
11.(2016·
门头沟期末)“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题:
“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?
”
用数学语言可以表述为:
“如图1-12-12,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,如果CE=1,AB=10,那么直径CD的长为.”
图1-12-12
【答案】26
12.(2016·
平谷期末)如图1-12-13,把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动,当刻度尺的一边与光盘相切时,另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位:
cm),那么光盘的直径是()
图1-12-13
A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm
13.(2016·
南京)如图1-12-14,扇形OAB的圆心角为122°
C是上一点,则∠ACB=°
.
图1-12-14图1-12-15
【解】如图1-12-15,设扇形OAB所在的圆为⊙O,在优弧AB上取一点D,连接AD,BD,则四边形ACBD为圆内接四边形.∵∠AOB=122°
,∴∠ADB=∠AOB=61°
.在圆内接四边形ACBD中,∵∠ADB+∠ACB=180°
,∴∠ACB=180°
-∠ADB=180°
-61°
=119°
14.(2016·
通州期末)小明四等分弧AB,他的作法如下:
(1)连接AB(如图1-12-16);
(2)作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M,交AB于点T;
(3)分别作AT,TB的垂直平分线EF,GH,交弧AB于点N,P,则N,M,P三点把弧AB四等分.你认为小明的作法是否正确:
,理由是.
图1-12-16
【答案】不正确,弦AN与MN不等,≠.
真题演练
1.(2014·
北京)如图1-12-17,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足是点E,∠A=22.5°
,OC=4,CD的长为()
图1-12-17
A.2B.4C.4D.8
2.(2010·
北京)如图1-12-18,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,连接OC,若OC=5,CD=8,则AE=.
图1-12-18
【答案】2
3.(2009·
北京)如图1-12-19,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,点E为上一点,若∠CEA=28°
,则∠ABD=.
图1-12-19
【答案】28°
第二节与圆有关的位置关系
点和圆的位置关系
了解点和圆的位置关系
尺规作图(利用基本作图完成):
过不在同一直线上的三点作圆;
能利用点与圆的位置关系解决有关简单问题
直线和圆的位置关系
了解直线和圆的位置关系;
会判断直线和圆的位置关系;
理解切线与过切点的半径的关系;
会用三角尺过圆上一点画圆的切线
掌握切线的概念;
能利用切线的判定与性质解决有关简单问题;
能利用直线和圆的位置关系解决有关简单问题;
能利用切线长定理解决有关简单问题
运用切线的有关内容解决有关问题
★★★★★
知识要点
1.点和圆的位置关系
若圆的半径是r,点到圆心的距离是d,那么点在圆外⇔;
点在圆上⇔;
点在圆内⇔.
2.直线和圆的位置关系
如果圆的半径是r,圆心到直线l的距离是d,那么直线l和⊙O相交⇔;
直线l和⊙O相切⇔;
直线l和⊙O相离⇔.
3.圆的切线的性质与判定
(1)切线的定义:
直线和圆只有公共点时,这条直线叫做圆的切线.
(2)切线的性质:
圆的切线于过切点的半径.
(3)判定:
①和圆有公共点的直线是圆的切线;
②圆心到直线的距离等于圆的,那么这条直线是圆的切线(作垂直证半径);
③经过半径外端并且于这条半径的直线是圆的切线(作半径证垂直).
(4)切线长:
①切线的定义:
经过圆外一点作圆的切线,这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长;
②切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长,这点和圆心的连线两条切线的夹角.
4.确定圆的条件:
的三个点确定一个圆.
5.尺规作图(利用基本作图完成):
如图1-12-20,过不在同一直线上的三点作圆.
已知:
不在同一条直线上的三个点A,B,C.
求作:
圆O,使它经过点A,B,C.
图1-12-20
考点一确定圆的条件
例1如图1-12-21,在5×
5正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是()
图1-12-21
A.点PB.点QC.点RD.点M
【名师点评】此题考查经过不共线的三个点作一个圆的方法,即作任意两条线段的垂直平分线,交点即为此圆的圆心.
考点二点、直线和圆的位置关系
例2在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆()
A.与x轴相交,与y轴相切B.与x轴相离,与y轴相交
C.与x轴相切,与y轴相交D.与x轴相切,与y轴相离
【名师点评】此题要能画出图形,结合图形来判断直线和圆的位置关系,画图是解题关键.
考点三圆的切线的性质与判定
例3(2016·
海淀一模)如图1-12-22,AB,AD是⊙O的弦,AO平分∠BAD.过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C,连接CD,BO.延长BO交⊙O于点E,交AD于点F,连接AE,DE.
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)若AE=DE=3,求AF的长.
图1-12-22
(1)
【证明】如图1-12-23,连接OD.
图1-12-23
∵BC为⊙O的切线,
∴∠CBO=90°
∵AO平分∠BAD,
∴∠1=∠2.
∵OA=OB=OD,∴∠1=∠4=∠2=∠5,
∴∠BOC=∠DOC,∴△BOC≌△DOC,
∴∠CBO=∠CDO=90°
,
∴CD为⊙O的切线.
(2)
【解】∵AE=DE,∴=,∴∠3=∠4.
∵∠1=∠2=∠4,∴∠1=∠2=∠3.
∵BE为⊙O的直径,
∴∠BAE=90°
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°
∴∠AFE=90°
在Rt△AFE中,∵AE=3,∠3=30°
∴AF=.
【名师点评】
(1)要证明CD是⊙O的切线,连接半径OD,证明∠ODC=90°
,结合角平分线和等腰三角形的知识,证明△BOC≌△DOC即可.
(2)利用“在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等”可以得到∠DAE=∠ABE=30°
.又由BE为⊙O直径,可知∠BAE=90°
,即而∠BAF=60°
,故∠AFE=90°
,在△AFE中,AF可解.
考点四切线长定理的应用
例4如图1-12-24,PA、PB是⊙O的切线,切点是A、B,已知∠P=60°
,OA=3,那么∠AOB所对劣弧的长度为()
图1-12-24
A.6πB.5πC.3πD.2π
【名师点评】此题考查切线的性质和四边形内角和定理,先求出∠AOB的度数,再利用弧长公式计算弧AB的长.
昌平期末)已知⊙O的半径长为5,若点P在⊙O内,那么下列结论正确的是()
A.OP>5B.OP=5C.0<OP<5D.0≤OP<5
通州一模)如图1-12-25,在5×
5正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,已知点A的坐标是(-2,3),点C的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是()
图1-12-25
A.(0,0)B.(-1,1)C.(-1,0)D.(-1,-1)
西城期末)如图1-12-26,⊙C与∠AOB的两边分别相切,其中OA边与⊙C相切于点P.若∠AOB=90°
,OP=6,则OC的长为()
图1-12-26
A.12B.12C.6D.6
东城期末)如图1-12-27,AB是⊙O的一条直径,延长AB至C点,使AC=3BC,CD与⊙O相切于D点,若CD=,则⊙O半径的长为.
图1-12-27
【答案】1
东城期末)阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
尺规作图:
如图1-12-28,过圆外一点作圆的切线.
⊙O和点P.
过点P的⊙O的切线.
图1-12-28
小涵的主要作法如下:
如图1-12-29,
(1)连接OP,作线段OP的中点A;
(2)以A为圆心,OA长为半径作圆,交⊙O于点B,C;
(3)作直线PB和PC,
所以PB和PC就是所求的切线.
图1-12-29
老师说:
“小涵的作法正确.”
请回答:
小涵的作图依据是.
【答案】直径所对的圆周角为直角;
经过半径的外端,并且垂直于半径的直线是圆的切线
朝阳一模)如图1-12-30,点D在⊙O上,过点D的切线交直径AB的延长线于点P,DC⊥AB于点C.
DB平分∠PDC;
(2)若DC=6,tan∠P=,求BC的长.
图1-12-30
【证明】如图1-12-31,连接OD.
图1-12-31
∵DP是⊙O的切线,
∴OD⊥DP,∴∠ODP=90°
∴∠ODB+∠BDP=90°
又∵DC⊥OB,
∴∠DCB=90°
∴∠BDC+∠OBD=90°
∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,
∴∠OBD+∠BDP=90°
∴∠BDP=∠BDC,∴DB平分∠PDC.
(2)
【解】如图1-12-32,过点B作BE⊥DP于点E.
图1-12-32
∵∠BDP=∠BDC,BC⊥DC,
∴BC=BE.
∵DC=6,tan∠P=,
∴DP=10,PC=8.
设BC=x,则BE=x,BP=8-x.
∵△PEB∽△PCD,∴=,
∴x=3,∴BC=3.
东城一模)如图1-12-33,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB.
(1)求证:
PB是⊙O的切线.
(2)若PB=3,DB=4,求DE的长.
图1-12-33
(1)
【证明】∵∠EDB=∠EPB,∠DOE=∠POB,
∴∠PBO=∠E=90°
∴PB是⊙O的切线.
【解】∵PB=3,DB=4,
∴PD=5.
设⊙O的半径的长是r,
如图1-12-34,连接OC.
图1-12-34
∵PD切⊙O于点C,
∴OC⊥PD.
∴.
∴.∴r=.
可求出PO=.
易证△DEO∽△PBO,∴=.
解得DE=.
石景山一模)如图1-12-35,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线,交AB于点E,交CA的延长线于点F.
EF⊥AB.
(2)若∠C=30°
,EF=,求EB的长.
图1-12-35
【证明】如图1-12-36,连接OD,AD,
图1-12-36
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ADC=90°
又∵AB=AC,
∴CD=DB.又CO=AO,∴OD∥AB.
∵FD是⊙O的切线,
∴OD⊥DF,∴EF⊥AB.
【解】∵∠C=30°
∴∠AOD=60°
在Rt△ODF中,∠ODF=90°
,∴∠F=30°
∴OA=OD=OF.
在Rt△AEF中,∠AEF=90°
,∠F=30°
∵EF=,∴AE=.
∵OD∥AB,OA=OC=AF,
∴OD=2AE=2,AB=2OD=4.
∴EB=AB-AE=3.
丰台一模)如图1-12-37,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.
图1-12-37
∠CBF=∠CAB;
(2)连接BD,AE交于点H,若AB=5,tan∠CBF=,求BH的长.
【证明】连接AE,如图1-12-38.
图1-12-38
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°
∵AB=AC,
∴∠EAB=∠CAB.
∵BF是⊙O的切线,
∴∠ABE+∠CBF=90°
∵∠ABE+∠EAB=90°
∴∠CBF=∠EAB,∴∠CBF=∠CAB.
【解】如图1-12-39.
图1-12-39
∵tan∠EAB=tan∠CBF=,
又∵AB=5,
∴在Rt△ABE中,由勾股定理可得BE=.
∵=,
∴∠EBD=∠EAC=∠EAB.
∴tan∠EBD=tan∠EAB=,∴=,
∴EH=.∴BH==.
西城一模)如图1-12-40,在△ABC中,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点D.点E在上,连接DE,AE,连接CE并延长交AB于点F,∠AED=∠ACF.
CF⊥AB;
(2)若CD=4,CB=4,cos∠ACF=,求EF的长.
图1-12-40
【证明】连接BD,如图1-12-41.
图1-12-41
∴∠ADB=90°
∴∠DAB+∠1=90°
∵∠1=∠2,∠2=∠3,
∴∠1=∠3.∴∠DAB+∠3=90°
∴∠CFA=180°
-(∠DAB+∠3)=90°
∴CF⊥AB.
【解】连接OE,如图1-12-42.
图1-12-42
∵∠ADB=90°
,∴∠CDB=180°
-∠ADB=90°
∵在Rt△CDB中,CD=4,CB=4,
∴DB==8.
∵∠1=∠3,
∴cos∠1=cos∠3=.
∵在Rt△ABD中,cos∠1==,∴AB=10.
∴OA=OE=5,AD==6.
∵CD=4,∴AC=AD+CD=10.
∴在Rt△ACF中,CF=AC·
cos∠3=8.
∴AF==6.∴OF=AF-OA=1.
∴在Rt△OEF中,EF==2.
西城二模)如图1-12-43,四边形ABCD内接于⊙O,点E在CB的延长线上,连接AC,AE,∠ACB=∠BAE=45°
图1-12-43
AE是⊙O的切线;
(2)若AB=AD,AC=2,tan∠ADC=3,求CD的长.
【证明】连接OA,OB,如图1-12-44.
图1-12-44
∵∠ACB=45°
∴∠AOB=2∠ACB=90°
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=45°
∵∠BAE=45°
∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°
∴OA⊥AE.
∵点A在⊙O上,∴AE是⊙O的切线.
【解】过点A作AF⊥CD于点F,如图1-12-45.
图1-12-45
∵AB=AD,∴=.
∴∠ACB=∠ACD=45°
∵AF⊥CD于点F,∴∠AFC=∠AFD=90°
∴∠ACF=∠CAF=45°
∴AF=CF.
∵AC=2,
∴在Rt△AFC中,AF=CF=AC·
sin∠ACF=2.
∵在Rt△AFD中,tanD==3,
∴DF=.
∴CD=CF+DF=.
朝阳二模)如图1-12-46,O是∠MAN的边AN上一点,以OA为半径作⊙O,交∠MAN的平分线于点D,DE⊥AM于点E.
图1-12-46
DE是⊙O的切线;
(2)连接OE,若∠EDA=30°
,AE=1,求OE的长.
【证明】如图1-12-47,连接OD.
图1-12-47
∵AD平分∠MAN,
∴∠EAD=∠OAD.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD.
∴∠EAD=∠ODA.
∵DE⊥AM于E,∴∠AED=90°
∴∠EAD+∠EDA=90°
∴∠ODA+∠EDA=90°
∴OD⊥ED.∴DE是⊙O的切线.
【解】如图1-12-48,
图1-12-48
∵∠EDA=30°
∴∠ODA=60°
∴△ADO为等边三角形.
在Rt△AED中,AE=1,可得AD=2,ED=.
∴OD=AD=2.
在Rt△ODE中,由勾股定理可得OE=.
13.(2016·
东城二模)如图1-12-49,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.
∠ABC=2∠FAC;
(2)若AC=2,sin∠CAF=,求BE的长.
图1-12-49
【证明】如图1-12-50,连接BD.
图1-12-50
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°
∴∠DAB+∠DBA=90°
∵BA=BC,∴∠ABC=2∠DBA,AD=AC.
∵AF为⊙O的切线,
∴∠FAB=90°
∴∠FAC+∠CAB=90°
∴∠FAC=∠DBA.∴∠ABC=2∠FAC.
【解】如图1-12-51,连接AE,
∴∠AEB=∠AEC=90°
图1-12-51
∵sin∠CAF=,∠ABD=∠CAF=∠CBD=∠CAE,
∴sin∠ABD=sin∠CAF=.
,AD=AC=,
∴AB==10,∴BC=BA=10.
∵∠AEC=90°
,AC=2,
∴CE=AC·
sin∠CAE=2.
∴BE=BC-CE=10-2=8.
海淀二模)如图1-12-52,在△ABC中,∠C=90°
,点E在AB上,以AE为直径的⊙O切BC于点D,连接AD.
图1-12-52
AD平分∠BAC;
(2)若⊙O的半径为5,sin∠D
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