湖北省武汉市武昌区届高三元月调研考试数学理试题全WORD版1文档格式.docx

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C．410

D．512

4y

3≤0

6．设x,y满足约束条件x

2y

9≤0，则z

2x

y的取值范围为（

x≥1

A．[2,6]

B．[3,6]

C．[3,12]

7．已知函数f（x）3sinxcosx（0）的最小正周期为2，则

（）

开始

n1,s0

s2ns

nn2

否

n≥8?

是

输出s

结束

D．[6,12]

f（x）的单调递增区间是

A．2k

2k

（kZ）

B．2k

6

3

（kZ）

D．2k

5

（kZ）

C．2k

8．已知a、b是区间[0,4]

上的任意实数，则函数

f（x）ax2

bx

1在[2,

）上单调递增的概率

为

7

C．

D．

8

9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为

3248

A．B．C．32D．48

33

10．已知正三棱锥S

ABC的所有顶点都在球

O的球面上，棱锥的底面是边长为

23的正三角形，

侧棱长为

25

，则球O的表面积为（

A．10

B．25

C．100

D．125

11

M

C:

x2

y2

0）

A,F

分别为双曲线C的左顶点

．已知

为双曲线

a2

b21（a0,b

的右支上一点，

和右焦点，线段

FA的垂直平分线过点

M，

MFA60，则C的离心率为（

A．6

B．4

C．3

D．2

12．已知函数

f（x）

1x3

1x2

x2，则f（x）的零点个数可能有（

A．1个

B．1个或2个

C．1个或2个或3个

D．2个或3个

二、填空题：

4小题，每小题

5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

13．（x

1）（x

2）3的展开式中x2的系数为

．（用数字填写答案）

14．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且函数y

f（x1）为偶函数，当

0≤x≤1时，f（x）

x3

，

．

则f

15．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1,S2,S4成等比数列，且a35，

则数列{an}的通项公式为．

16．过点M（m,0）作直线l1、l2与抛物线E:

y24x相交，其中l1与E交于A、B两点，l2与E交

于C、D两点，AD过E的焦点F．若AD、BC的斜率k1、k2满足k12k2，则实数m的值

为．

三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

共60分．

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinAsinB

cos2C，

（c3b）sinC

（ab）（sinAsinB）．

（1）求

A和

B的大小；

（2）若

△ABC的面积为

3，求BC边上中线AM的长．

18．（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC

A1B1C1中，ABAC

AA1BC1

2,ACA130,BC6．

（1）求证：

平面ABC1

平面AAC11C；

B1

B

（2）求二面角B1

AC1

C的余弦值．

C1

C

A1

A

19．（本小题满分12分）

某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”

（记为l，单位：

cm），先从中随机抽取100件，

测量发现全部介于85cm和155cm之间，得到如下频数分布表：

分组

[85，95）

[95，105）

[105，115）

[115，125）

[125，135）

[135，145）

[145，155]

频数

9

22

33

24

已知该批产品的质量指标值服从正态分布

N（,

2），其中

近似为样本的平均数x，

2近似为样

本方差s2

（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．

（1）求P（132.2l144.4）；

（2）公司规定：

当l≥115

时，产品为正品；

当l115

时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，

若是正品，则盈利90元；

若是次品，则亏损30元．记

为生产一件这种产品的利润，

求随机变量

的分布列和数学期望．

参考数据：

150

12.2

若X～N（,

2），则P（

X≤

）0.6826,P（2X≤

2）

0.9544，

P（

0.9974．

20．（本小题满分12分）

设F1、F2分别为椭圆E:

x2

1的左、右焦点，动点P（x0,y0）（y0

0,y01）在E

上．

F1PF2

的平分线交x轴于点M（m,0），交y轴于点N，过F1、N的直线l交E于C、D两点．

（1）若m

，求x0的值；

（2）研究发现x0

始终为定值，写出该定值（不需要过程）

，并利用该结论求△F2CD面积的取值范

m

围．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）lnx

ax2

4

（1）当a

1时，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）存在两个极值点

x1,x2，且x1

f（x1）

f（x2）

x2，证明：

2a

x1

（二）选考题：

共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．

22．【选修4—4：

坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C1

t

x轴正

的参数方程为

（t为参数）．在以坐标原点为极点，

y

3t

半轴为极轴的极坐标系中，曲线

C2的极坐标方程为

4cos．

（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2相交于A、B两点，求△OAB的面积．

23．【选修4—5：

不等式选讲】（本小题满分10分）

已知f（x）x1axa1．

（1）当a1时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若x≥1时，不等式f（x）≥x2恒成立，求a的取值范围．

武昌区2019届高三年级元月调研考试理科数学参考答案

10

12

D

13

14

15

an2n

16

17．解析：

（1）因为（c

3b）sinC

（a

b）（sinA

sinB），所以（c

3b）c

b）（a

b），

所以a2

b2

c2

3bc，即cosA

，所以A

30

因为sinAsinB

cos2

C，所以sinAsinB

1cosC，即sinB

cosC，

因为BC

150，所以sinB

1cos（150

B）

1cos150cosB

sin150

sinB，

即1sinB

3cosB

sinB

60

1，所以B

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6

分

（2）a

b,C

120，因为S△ABC

1absinC

3a2

3，所以a

b2，

在△ACM中，AM2

AC2

CM2

2AC

CMcos12041

212

7，

所以AM7．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分

AB

18．解析：

（1）记

AC

AC1O

，连结

BO．因为

AB

BC1

，所以

BO

由题意知△ACC为正三角形，求得

CO

3，在△ABC中求得BO

3，又BC

6，

所以

O

BC

，所以BO

CO．因为

平面

11

COAC

AACC

因为BO

，所以平面ABC1

平面AAC11C．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6分

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则

A（0,1,0）,C1（0,

1,0）,C（

3,0,0）,B1（3,

1,

3），

AC（0,2,0）,AB1（3,2,3）．

平面AACC，所以平面AACC的法向量为

（0,0,

3）

设平面AB1C1

的法向量为n

（x,y,z）

n

，取x

1，则

，则

AB1

3x

2y3z0

y0,z

1，

所以n

（1,0,

1）．

所以cosm,n

mn

2，因为所求二面角的平面角为钝角，

所以所求二面角B1

C的余弦值为

12分

．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

z

B1B

19．解析：

（1）抽取产频质量指标值的样本平均数为：

90

0.02

100

0.09

110

0.22

120

0.33

130

0.24

140

0.08

120，

抽取产品质量指标值的方差为：

900

400

150，

因为l～N（120,150）,

l≤

P（120

l≤132.2）

0.3413,

0.6826

l≤144.4）

10.9544

0.4772,

P（132.2

l144.4）

P（120l≤144.4）

0.1359．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

（2）由频数分布表得：

P（l

115）

0.33,p（l≥115）

10.330.67．

随机变量

的取值为90,

30，且P（

90）

0.67,P（

30）

0.33．

则随机变量

的分布列为：

P

0.67

所以E

50.4．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

20．解析：

（1）由题意知F1（

1,0）,F2（1,0）

直线PF的方程为y

y0

0（x

1），即yx

（x

1）y

0，

x0

直线PF2的方程为y

1），即y0x

（x0

0．

1y

由点M

0

到PF1和PF2的距离相等，得

（*）

y02

（x0

1）2

（x01）2

其中

1）

（x01）

2，

2x0

2，且

2．

所以（*）式可化为

，解得x

1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（2）定值为

2，即x0

直线PM的方程为y

m），令x0，并考虑x0

2m，得y

y0．

（x

所以点N的坐标为（0,y0

），从而过F1、N的直线l的方程为y0

0y0（x1），即

yy0（x