浙江省杭州市九年级数学中考复习中考数学十大专题模型突破.docx

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2020中考数学十大专题模型突破

【专题1】关于圆心角与圆周角的关系问题研究

【回归课本】

定理内容：

在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

【解析】∵∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.又∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOC=2∠ABO,

即∠ABC=∠AOC.

如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图24-1-4-14

（2）（3）,那么结论会怎样?

请你说明理由.

【思路导引】本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，可分三种情况讨论:

（1）圆心在圆周角的一边上（是已给的情况）；

（2）圆心在圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部.

解：

如果∠ABC的两边都不经过圆心,结论∠ABC= ∠AOC仍然成立.

（1）对图

（2）的情况,连结BO并延长交圆O于点D,由题图

（1）知:

∠ABD= ∠AOD,

∠CBD= ∠COD.

∴∠ABD+∠CBD= ∠AOD+ ∠COD,

即∠ABC= ∠AOC.

（2）对图（3）的情况仿图

（2）的情况可证.

【规律归纳】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理，了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。

【典例解析】

【例题1】如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：

∠ACB：

∠ADB=1：

2：

3，⊙O是△ABD的外接圆．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．

【提高检测】：

1.（2019•甘肃庆阳•3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是 .

2.（2019•山东潍坊•3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝ ，DF＝5，则BC的长为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．16

3.四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图24-1-4-11，求BD的长.

4.如图所示，在小岛周围的APB内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？

为什么？

5.（2019•湖北省荆门市•10分）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．

（1）求证：

＝2R；

（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝ ，求BC的长及sinC的值．

【专题2】垂径定理的性质与运用

【回归概念】

垂径定理：

垂径定理是数学几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：

垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

数学表达为：

如图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。

称为知二推三。

1.平分弦所对的优弧；2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：

平分弦所对的两条弧）；3.平分弦（不是直径）；4.垂直于弦；5.过圆心。

【规律探索】

1.垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：

⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2.圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线；3.垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个。

方法：

垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．

【典例解析】：

①用垂径定理求点的坐标

【例题1】（2019•山东威海•3分）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（ ）

A．+ B．2+C．4D．2+2

②巧用垂径定理解决最值问题（对称思想）

【例题2】如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD

⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．

③巧用垂径定理解决实际问题（建模思想）

【例题3】某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，

现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？

【达标检测】

1.（2019•广西北部湾•3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？

”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：

锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.

2.（江苏省宿迁市，14，3分）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 ．

3.（2019•四川省凉山州•4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是 ．

4.（2019•浙江嘉兴•4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．

5.如图，在○o中，AB为互相垂直且相等的两条弦，CD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，求证四边形ADOE为正方形

6.如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．

7.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2.

（1）求AB的长；

（2）求⊙O的半径．

【专题3】二次函数解析式四种模型研究

【回归概念】1.一般式：

y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a不等于0）。

已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式，列出三元一次方程组解答即可。

2.顶点式：

y=a（x-h）²+k（a≠0,a、h、k为常数）。

顶点坐标为（h,k）；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

3.交点式（两根式）：

[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0]。

已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1,0）和B（x2,0）,我们可设y=a（x-x1）（x-x2）,然后把第三点代入x、y中便可求出a。

4.对称点式:

若已知二次函数图象上的两个对称点（x1、m）（x2、m）,则设成：

y=a（x－x1）（x－x2）+m（a≠0），再将另一个坐标代入式子中，求出a的值，再化成一般形式即可。

【规律探寻】

求二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的解析式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的解析式，往往可以使解题过程简便．与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

具体可分为下面几种情况：

①当h>0时，y=a（x-h）²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到；

②当h<0时，y=a（x-h）²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到；

③当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）²+k的图象；

④当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）²+k的图象；

⑤当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）²+k的图象；

⑥当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）²+k的图象。

【典例解析】

例题1：

已知抛物线的顶点坐标为（－2，4），且与x轴的一个交点坐标为（1，0），求抛物线对应的函数解析式．（用多种方法解）

例题2：

已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．

（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当y＜0时，求x的取值范围．

【达标检测】

1.（2019•湖北省咸宁市•3分）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）

A．y＝x B．y＝﹣C．y＝x2 D．y＝﹣x2

2.（2019•山东省济宁市•3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）

A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2

3.（2019，山西，3分）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴简历平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（）

A. B.C.D.

图1 图2

4.（2019•湖北天门•3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 ．

5.已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（－4，0）两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数解析式．

6.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙