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把工程方法胡乱进行理论化"
的事实。
什么才叫有价值的理论化,而不是故弄玄虚,确实值得思考,这里先不展开了。
AnalyticalSolution。
当你把问题formulate出来后,有些情况是直接可以从问题推导出解析解的。
这种情况通常存在于objectivefunction是Linear或者Quadratic的情况。
大家都很喜欢这种情况的出现,理论漂亮,实现简洁。
但是,据我的观察,很多情况下,这种elegance是通过减化模型换取的。
把cost写成quadraticterm,把distribution假设为Gauss,很多时候都能得到这样的结果。
我不反对进行简化,也欣赏漂亮的analyticalsolution,如果它把问题解决得很好。
但是,这里面有个问题,很多能获得简单解析解的问题已经被做过了,剩下的很多难点,未必是一个简化模型能有效解决的。
简化是一种很好的方法,但是,使用起来,尤其是在实际中的应用必须慎重,要清楚了解它们可能带来的问题。
比如说,很多模型喜欢使用差的平方来衡量误差大小。
但是,这很早就被指出是unrobust的,一个很大的deviation会dominate整个optimization,使得solution严重偏离方向。
如果这种robustness在带解决的问题中是一个必须考虑的要素,那么用平方误差就要仔细考虑了。
NumericalOptimization。
如果formulation没有解析解,那么自然的想法就是使用数值方法求解。
目前大家常用的是基于Gradient/Hessian之类的localoptimization的方法,有时会加上randominitialization。
如果objectivefunction是convex的,那么这种方法保证收敛到globaloptimal,这是大家很希望的。
convexproblem无论在formulation还是在solution的阶段,都是很有学问的。
很多问题可以formulate成convex的,但是未必都那么直接,这需要有这方面的基础。
Solving一个convexproblem有现成的方法,但是,如果能对问题的结构有insightful的观察,可能能利用问题本身的特点大幅度降低求解的复杂度--这往往比直接把问题扔进solver里面等答案更有意义。
除了convexoptimization,还有一种数值方法应用非常广泛,叫做coordinateascend或者alternateoptimization。
大概的思路是,几个有关的变量,轮流选择某个去优化,暂时固定其它的。
在MachineLearning里面非常重要的Expectation-Maximization(EM算法)就属于这个大家族。
另外,很多复杂的graphicalmodel采用的variationalinference也是属于此类。
使用这类方法,有两个问题:
一个是如果几个variable之间相互影响,变一个,其他跟着变的话,那么直接使用这种方法可能是错误的,并不能保证收敛。
另外一个问题是,如果problem不是convex的话,可能没有任何保证你得到的solution和globalsolution有联系。
很可能,你得到的解和真正的全局最优解相差十万八千里。
这个没有什么通用有效的途径来解决。
不过,针对具体问题的结构特点,在求解过程中施加一定的引导是有可能的。
DynamicProgramming。
这个方法更多见于经典计算机算法中,不过现在越来越多在Vision和Learning见到它的影子。
主要思路是把大问题分解为小问题,总结小问题的solution为大问题的solution。
至于如何设计分解和综合的过程,依赖于对问题的观察和分析,并无通用的法则可循。
用DP解决问题的洞察力需要逐步的积累。
不少经典算法就源自于DP,比如shotestpath。
一个可能有用的观察是,如果问题或者模型呈现链状,树状,或者有向无环图结构的,可能很有希望能通过DP高效解决。
LocalExchange。
很多建立在图上的问题,都可以通过某种局部交换来达到全局的平衡。
像Beliefpropagation,Junctiontree等等在graphicalmodel的重要inference方法,还有tranductionmodel,都用到了类似的策略。
这在实践中被证明为非常有效。
但是,并不是随便设计的局部交换过程都是收敛的。
这里面需要关注两个问题:
(1)交换过程是不是能保证某些重要的invariance不被破坏;
(2)交换过程中,是不是有一个objective,比如距离全局平衡的deviation,它在每一步都保持单调。
有很多交换过程,在有向无环图中保证收敛,但是,在带环图中由于信息的重复传递可能引起不稳定,或者不能收敛到正确的解。
MonteCarloSampling。
蒙特卡罗采样的原理非常简单,就是用样本平均,来逼近期望(这个可能需要用intractable的积分完成,没法直接算)。
求平均很简单,关键在于采样过程。
我们求解问题,通常是在后验分布中采样,这种分布在大部分问题中,不要说直接采样了,可能连解析形式都没法给出。
如果采样问题有效解决了,基本上我们研究的大部分问题其实都可以通过采样完成。
由于直接采样往往非常困难,于是就产生了其它的方法,间接做这个事情。
一种想法就是,既然p(x)不好直接采,我找一个比较容易采样的q(x)来逼近p(x),然后给从q(x)采出的每个样本加一个weight,p(x)/q(x)。
这在理论上被严格证明是对的--这种方法叫做ImportanceSampling。
这里的问题在于,如果q(x)和p(x)不太接近,那么采样效率非常低下,如果在一个高维空间,可能采1000年都达不到要求。
可是,要得到一个approximate很好的q(x)本身不比直接从p(x)采样来得容易。
还有一种聪明一点的方法,叫sequentialimportancesampling。
在这里面q(x),不是一蹴而就建立起来的,而是每个样本先采一部分,然后根据那部分,确定下一部分的proposaldistribution,继续采,也就是说q(x)和样本都是dynamicallybuiltup。
这个方法在vision里面一个非常著名的应用是用于tracking,相应发展出来的方法论叫做particlefiltering。
另外一大类重要的采样方法,叫MarkovChainMonteCarlo(MCMC)。
这个的想法是,设计一个马尔科夫链,让它的平衡分布恰好是p(x),那么等它平衡时开始采。
以前我们做随机过程作业是已知一个markovchain,求equilibriumdistribution,设计MCMC就是反过来了。
最重要的MCMC方法莫过于Metropolis-HastingsAlgorithm和GibbsSampling,前者常被用于设计在solutionspace的随机游走(Randomwalk),后者则是conditionalsampling的基础方法。
可是Markov过程怎么转移呢。
最简单的RandomWalk结合acceptancerate之后理论上是对的。
可是,让sampler随便乱走,猴年马月才能把solutionspace走一遍阿。
于是,有人提出结合一个solutionspace的局部信息来引导它往有用的方向走。
一个重要的方法叫做HybricMonteCarlo(HMC),想法就是把它模拟成一个物理场,把要sample的分布视为波尔兹曼分布后获得物理场的势能,通过哈密顿动力学模型(其实就是牛顿力学的推广)来驱动sampler。
可是,如果问题更为复杂呢,比如整个solutionspace有几个井,sample掉到某一个井可能出不来了。
为了解决这个问题,一种重要的方法叫Tempering,就是开始给分子充分加热,让它获得足够的动能能在各个井之间来回跳,然后逐步冷却,从而能捕捉到多个势井。
MonteCarlo方法较早的时候主要用于统计物理,目前已经广泛应用于计算机,生物,化学,地质学,经济学,社会学等等的研究。
这是目前所知道的用于求解复杂的真实模型的最有效的方法。
它的核心,就是猜--你直接解不出来,只好猜了,呵呵。
但是,怎样才能猜得准,则是大有学问--几十年来各个领域关于MonteCarlo研究的工作汗牛充栋,有很多进展,但是还有很长的路要走。
和这里很多留学生一样,我一向潜心于自己的学习和研究。
可是最近,我们的世界并不宁静,我认识的不只一个在美国的朋友受到了不太友好的挑衅--在不知不觉中,我们可能已经身处反分裂和支持奥运的前线。
我看到包括MITCSSA在内的很多学生团体开始组织起来支持自己的祖国。
我没有具体帮上什么,但是,我对所有在用自己的行动捍卫国家荣誉的同胞怀有最深的敬意。
我也希望,我的努力,能让外国的朋友明白中国人是值得尊敬的。
June22拓扑:
游走于直观与抽象之间近日来,抽空再读了一遍点集拓扑(PointSetTopology),这是我第三次重新学习这个理论了。
我看电视剧和小说,极少能有兴致看第二遍,但是,对于数学,每看一次都有新的启发和收获。
代数,分析,和拓扑,被称为是现代数学的三大柱石。
最初读拓扑,是在两三年前,由于学习流形理论的需要。
可是,随着知识的积累,发现它是很多理论的根基。
可以说,没有拓扑,就没有现代意义的分析与几何。
我们在各种数学分支中接触到的最基本的概念,比如,极限,连续,距离(度量),边界,路径,在现代数学中,都源于拓扑。
拓扑学是一门非常奇妙的学科,它把最直观的现象和最抽象的概念联系在一起了。
拓扑描述的是普遍使用的概念(比如开集,闭集,连续),我们对这些概念习以为常,理所当然地使用着,可是,真要定义它,则需要对它们本质的最深刻的洞察。
数学家们经过长时间的努力,得到了这些概念的现代定义。
这里面很多第一眼看上去,会感觉惊奇--怎么会定义成这个样子。
首先是开集。
在学习初等数学时,我们都学习开区间(a,b)。
可是,这只是在一条线上的,怎么推广到二维空间,或者更高维空间,或者别的形体上呢?
最直观的想法,就是"
一个不包含边界的集合"
可是,问题来了,给一个集合,何谓"
边界"
?
在拓扑学里面,开集(OpenSet)是最根本的概念,它是定义在集合运算的基础上的。
它要求开集符合这样的条件:
开集的任意并集和有限交集仍为开集。
我最初的时候,对于这样的定义方式,确实百思不解。
不过,读下去,看了和做了很多证明后,发现,这样的定义一个很重要的意义在于:
它保证了开集中每个点都有一个邻域包含在这个集合内--所有点都和外界(补集)保持距离。
这样的理解应该比使用集合运算的定义有更明晰的几何意义。
但是,直观的东西不容易直接形成严谨的定义,使用集合运算则更为严格。
而集合运算定义中,任意并集的封闭性是对这个几何特点的内在保证。
另外一个例子就是"
连续函数"
(ContinuousFunction)。
在学微积分时,一个耳熟能详的定义是"
对任意的epsilon0,存在delta0,使得。
"
,背后最直观的意思就是"
足够近的点保证映射到任意小的范围内"
可是,epsilon,delta都依赖于实空间,不在实空间的映射又怎么办呢?
拓扑的定义是"
如果一个映射的值域中任何开集的原像都是开集,那么它连续。
这里就没有epsilon什么事了。
这里的关键在于,在拓扑学中,开集的最重要意义就是要传递"
邻域"
的意思--开集本身就是所含点的邻域。
这样连续定义成这样就顺理成章了。
稍微把说法调节一下,上面的定义就变成了"
对于f(x)的任意领域U,都有x的一个邻域V,使得V里面的点都映射到U中。
这里面,我们可以感受到为什么开集在拓扑学中有根本性的意义。
既然开集传达"
的意思,那么,它最重要的作用就是要表达哪些点靠得比较近。
给出一个拓扑结构,就是要指出哪些是开集,从而指出哪些点靠得比较近,这样就形成了一个聚集结构--这就是拓扑。
可是这也可以通过距离来描述,为什么要用开集呢,反而不直观了。
某种意义上说,拓扑是"
定性"
的,距离度量是"
定量"
的。
随着连续变形,距离会不断变化,但是靠近的点还是靠近,因此本身固有的拓扑特性不会改变。
拓扑学研究的就是这种本质特性--连续变化中的不变性。
在拓扑的基本概念中,最令人费解的,莫过于"
紧性"
(Compactness)。
它描述一个空间或者一个集合"
紧不紧"
正式的定义是"
如果一个集合的任意开覆盖都有有限子覆盖,那么它是紧的"
乍一看,实在有点莫名其妙。
它究竟想描述一个什么东西呢?
和"
紧"
这个形容词又怎么扯上关系呢?
一个直观一点的理解,几个集合是"
的,就是说,无限个点撒进去,不可能充分散开。
无论邻域多么小,必然有一些邻域里面有无限个点。
上面关于compactness的这个定义的玄机就在有限和无限的转换中。
一个紧的集合,被无限多的小邻域覆盖着,但是,总能找到其中的有限个就能盖全。
那么,后果是什么呢?
无限个点撒进去,总有一个邻域包着无数个点。
邻域们再怎么小都是这样--这就保证了无限序列中存在极限点。
Compact这个概念虽然有点不那么直观,可是在分析中有着无比重要的作用。
因为它关系到极限的存在性--这是数学分析的基础。
了解泛函分析的朋友都知道,序列是否收敛,很多时候就看它了。
微积分中,一个重要的定理--有界数列必然包含收敛子列,就是根源于此。
在学习拓扑,或者其它现代数学理论之前,我们的数学一直都在有限维欧氏空间之中,那是一个完美的世界,具有一切良好的属性,Hausdorff,Locallycompact,Simplyconnected,Completed,还有一套线性代数结构,还有良好定义的度量,范数,与内积。
可是,随着研究的加深,终究还是要走出这个圈子。
这个时候,本来理所当然的东西,变得不那么必然了。
两个点必然能分开?
你要证明空间是Hausdorff的。
有界数列必然存在极限点?
这只在locallycompact的空间如此。
一个连续体内任意两点必然有路径连接?
这可未必。
一切看上去有悖常理,而又确实存在。
从线性代数到一般的群,从有限维到无限维,从度量空间到拓扑空间,整个认识都需要重新清理。
而且,这些绝非仅是数学家的概念游戏,因为我们的世界不是有限维向量能充分表达的。
当我们研究一些不是向量能表达的东西的时候,度量,代数,以及分析的概念,都要重新建立,而起点就在拓扑。
April19图˙谱˙马尔可夫过程˙聚类结构题目中所说到的四个词语,都是MachineLearning以及相关领域中热门的研究课题。
表面看属于不同的topic,实际上则是看待同一个问题的不同角度。
不少文章论述了它们之间的一些联系,让大家看到了这个世界的奇妙。
从图说起这里面,最简单的一个概念就是"
图"
(Graph),它用于表示事物之间的相互联系。
每个图有一批节点(Node),每个节点表示一个对象,通过一些边(Edge)把这些点连在一起,表示它们之间的关系。
就这么一个简单的概念,它对学术发展的意义可以说是无可估量的。
几乎所有领域研究的东西,都是存在相互联系的,通过图,这些联系都具有了一个统一,灵活,而又强大的数学抽象。
因此,很多领域的学者都对图有着深入探讨,而且某个领域关于图的研究成果,可以被其它领域借鉴。
矩阵表示:
让代数进入图的世界在数学上,一种被普遍使用的表达就是邻接矩阵(AdjacencyMatrix)。
一个有N个节点的图,可以用一个NxN的矩阵G表示,G(i,j)用一个值表示第i个节点和第j个节点的联系,通常来说这个值越大它们关系越密切,这个值为0表示它们不存在直接联系。
这个表达,很直接,但是非常重要,因为它把数学上两个非常根本的概念联系在一起:
(Graph)和"
矩阵"
(Matrix)。
矩阵是代数学中最重要的概念,给了图一个矩阵表达,就建立了用代数方法研究图的途径。
数学家们几十年前开始就看到了这一点,并且开创了数学上一个重要的分支--代数图论(AlgebraicGraphTheory)。
代数图论通过图的矩阵表达来研究图。
熟悉线性代数的朋友知道,代数中一个很重要的概念叫做"
谱"
(Spectrum)。
一个矩阵的很多特性和它的谱结构--就是它的特征值和特征向量是密切相关的。
因此,当我们获得一个图的矩阵表达之后,就可以通过研究这个矩阵的谱结构来研究图的特性。
通常,我们会分析一个图的邻接矩阵(AdjacencyMatrix)或者拉普拉斯矩阵(LaplaceMatrix)的谱--这里多说一句,这两种矩阵的谱结构刚好是对称的。
谱:
分而治之"
的代数谱,这个词汇似乎在不少地方出现过,比如我们可能更多听说的频谱,光谱,等等。
究竟什么叫"
呢?
它的概念其实并不神秘,简单地说,谱这个概念来自"
的策略。
一个复杂的东西不好直接研究,就把它分解成简单的分量。
如果我们把一个东西看成是一些分量叠加而成,那么这些分量以及它们各自所占的比例,就叫这个东西的谱。
所谓频谱,就是把一个信号分解成多个频率单一的分量。
矩阵的谱,就是它的特征值和特征向量,普通的线性代数课本会告诉你定义:
如果Av=cv,那么c就是A的特征值,v就叫特征向量。
这仅仅是数学家发明的一种数学游戏么?
--也许有些人刚学这个的时候,并一定能深入理解这么个公式代表什么。
其实,这里的谱,还是代表了一种分量结构,它为使用"
策略来研究矩阵的作用打开了一个重要途径。
这里我们可以把矩阵理解为一个操作(operator),它的作用就是把一个向量变成另外一个向量:
y=Ax。
对于某些向量,矩阵对它的作用很简单,Av=cv,相当于就把这个向量v拉长了c倍。
我们把这种和矩阵A能如此密切配合的向量v1,v2,.叫做特征向量,这个倍数c1,c2,.叫特征值。
那么来了一个新的向量x的时候,我们就可以把x分解为这些向量的组合,x=a1v1+a2v2+.,那么A对x的作用就可以分解了:
Ax=A(a1v1+a2v2+.)=a1c1v1+a2c2v2.所以,矩阵的谱就是用于分解一个矩阵的作用的。
这里再稍微延伸一点。
一个向量可以看成一个关于整数的函数,就是输入i,它返回v(i)。
它可以延伸为一个连续函数(一个长度无限不可数的向量,呵呵),相应的矩阵A变成一个二元连续函数(面积无限大的矩阵)。
这时候矩阵乘法中的求和变成了积分。
同样的,A的作用可以理解为把一个连续函数映射为另外一个连续函数,这时候A不叫矩阵,通常被称为算子。
对于算子,上面的谱分析方法同样适用(从有限到无限,在数学上还需要处理一下,不多说了)--这个就是泛函分析中的一个重要部分--谱论(SpectralTheory)。
马尔可夫过程--从时间的角度理解图回到"
这个题目,那么图的谱是干什么的呢?
按照上面的理解,似乎是拿来分解一个图的。
这里谱的作用还是分治,但是,不是直观的理解为把图的大卸八块,而是把要把在图上运行的过程分解成简单的过程的叠加。
如果一个图上每个节点都有一个值,那么在图上运行的过程就是对这些值进行更新的过程。
一个简单,大家经常使用的过程,就是马尔可夫过程(MarkovProcess)。
学过随机过程的朋友都了解马尔可夫过程。
概念很简单--"
将来只由现在决定,和过去无关"
考虑一个图,图上每个点有一个值,会被不断更新。
每个点通过一些边连接到其它一些点上,对于每个点,这些边的值都是正的,和为1。
在图上每次更新一个点的值,就是对和它相连接的点的值加权平均。
如果图是联通并且非周期(数学上叫各态历经性,ergodicity),那么这个过程最后会收敛到一个唯一稳定的状态(平衡状态)。
图上的马尔可夫更新过程,对于很多学科有着非常重要的意义。
这种数学抽象,可以用在什么地方呢?
(1)Google对搜索结果的评估(PageRank)原理上依赖于这个核心过程,
(2)统计中一种广泛运用的采样过程MCMC,其核心就是上述的转移过程,(3)物理上广泛存在的扩散过程(比如热扩散,流体扩散)和上面的过程有很重要的类比,(4)网络中的信息的某些归纳与交换过程和上述过程相同(比如RandomGossiping),还有很多。
非常多的实际过程通过某种程度的简化和近似,都可以归结为上述过程。
因此,对上面这个核心过程的研究,对于很多现象的理解有重要的意义。
各个领域的科学家从本领域的角度出发研究这个过程,得出了很多实质上一致的结论,并且很多都落在了图的谱结构的这个关键点上。
图和谱在此联姻根据上面的定义,我们看到邻接矩阵A其实就是这个马尔可夫过程的转移概率矩阵。
我们把各个节点的值放在一起可以得到一个向量v,那么我们就可以获得对这个过程的代数表示,v(t+1)=Av(t)。
稳定的时候,v=Av。
我们可以看到稳定状态就是A的一个特征向量,特征值就是1。
这里谱的概念进来了。
我们把A的特征向量都列出来v1,v2,.,它们有Avi=civi。
vi其实就是一种很特殊,但是很简单的状态,对它每进行一轮更新,所有节点的值就变成原来的ci倍。
如果0ci1,那么,相当于所有节点的值呈现指数衰减,直到大家都趋近于0。
一般情况下,我们开始于一个任意一个状态u,它的更新过程就没那么简单了。
我们用谱的方法来分析,把u分解成u=v1+c2v2+c3v3+.(在数学上可以严格证明,对于上述的转移概率矩阵,最大的特征值就是1,这里对应于平衡状态v1,其它的特征状态v2,v3,.,对应于特征值1c2c3.-1)。
那么,我们可以看到,当更新进行了t步之后,状态变成u(t)=v1+c2^tv2+c3^tv3+.,我们看到,除了代表平衡状态的分量保持不变外,其它分量随着t增长而指数衰减,最后,其它整个趋近于平衡状态。
从上面的分析看到,这个过程的收敛速度,其实是和衰减得最慢的那个非平衡分量是密切相关的,它的衰减速度取决于第二大特征值c2,c2的大小越接近于1,收敛越慢,越接近于0,收敛越快。
这里,我们看到了谱的意义。
第一,它帮助
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