量子力学试卷2006-2007学年第1B.doc

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QM2006下学期（B）参考答案及评分标准

2006-2007学年第1学期《量子力学》（B卷）

参考答案及评分标准

一、简答题（共10题，每小题5分，共50分）

1.用球坐标表示，粒子波函数表为，写出粒子在球壳中被测到的几率。

解：

。

2.一质量为的粒子在一维无限深方势阱

中运动，写出其状态波函数和能级表达式。

解：

3.粒子在一维势阱

中运动，波函数为，写出的跃变条件。

解：

4.量子力学中，一个力学量守恒的条件是什么？

用式子表示。

解：

有两个条件：

。

5.写出电子自旋的二本征态和本征值。

解：

；。

6.给出如下对易关系：

解：

7.何谓正常塞曼效应？

何谓反常塞曼效应？

何谓斯塔克效应？

解：

在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。

在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。

原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

8.给出一维谐振子升、降算符的对易关系式；粒子数算符与的关系；哈密顿量用或表示的式子；（亦即）的归一化本征态。

解：

9.对于阶梯形方势场

，

如果（）有限，则定态波函数连续否？

其一阶导数连续否？

解：

定态波函数连；其一阶导数也连续。

10.量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开：

，

写出展开式系数的表达式。

解：

。

二、证明题（共15分）

11.为的二本征态，本征值

分别为。

证明：

①矩阵元之间的关系为

（8分）

②在的任何本征态（比如）下，恒有。

（7分）

证：

①由题意，，要求与之关系，由于三者构成封闭的对易关系，故

即

②

同理，。

三、计算题

12.一电子局限在10-14米的区域中运动。

已知电子质量9.1110-31千克，试计算该电子的基态能量（提示：

可按长、宽、高均为10-14米的三维无限深势阱计算）。

（10分）

解：

在三维无限深势阱中运动的电子的能量为：

。

依题意，，基态，基态能量

。

13.求

的归一化常数。

（10分）

解：

，

可取。

14.一维无限深势阱中的粒子，受到微扰

的作用，求基态能量的一级修正。

（15分）0

解：

一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为

基态，

作变换：

代入上式完成积分：

4