高等数学方明亮版第十一章答案.doc
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高等数学方明亮版第十一章答案
习题11-1
1.判断下列方程是几阶微分方程?
(1);
(2);
(3);(4).
解微分方程中所出现的未知函数的导数(或微分)的最高阶数,叫做微分方程的阶.所以有,
(1)一阶微分方程;
(2)一阶微分方程;
(3)三阶微分方程;(4)三阶微分方程.
2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:
(1),;
(2),;
(3),;
(4),.
解
(1)将代入所给微分方程的左边,得左边,而右边=2左边,所以是的解.
(2)将,代入所给微分方程的左边,得左边右边,所以是所给微分方程的解.
(3)将,,代入所给微分方程的左边,得
左边(右边),
所以不是所给微分方程的解.
(4)对的两边关于求导,得
,
即.
再对求导,得
,
即,
所以是所给微分方程的解.
3.确定下列各函数关系式中所含参数,使函数满足所给的初始条件.
(1),;
(2),.
解
(1)将,代入微分方程,得
所以,所求函数为.
(2),将,分别代入
和,
得
,,
所以,所求函数为.
4.能否适当地选取常数,使函数成为方程的解.
解因为,,所以为使函数成为方程的解,只须满足
,
即.
而,因此必有,即或,从而当,或时,函数均为方程的解.
5.消去下列各式中的任意常数,写出相应的微分方程.
(1);
(2);
(3);(4).
解注意到,含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程;含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程.
(1)由两边对求导,得
,
代入原关系式,得所求的微分方程为
.
(2)由两边对求导,得
,
即
.
而,故所求的微分方程为
,
化简得
.
(3)由两边对求导,得
,
两边再对求导,得
,
这样便可得所求的微分方程为
.
(4)由两边对求导,得
,
将代入上式,并化简得
,
对上式两边再对求导,得
,
故所求的微分方程为
.
习题11-2
1.求下列微分方程的通解或特解:
(1);
(2);
(3);(4);
(5),;(6),.
解
(1)分离变量,得
,
两端积分,得
,
即
,
所以原方程的通解为
.
注该等式中的与等本应写为与等,去绝对值符号时会出现号;但这些号可认为含于最后答案的任意常数中去了,这样书写简洁些,可避开绝对值与正负号的冗繁讨论,使注意力集中到解法方面,本书都做这样的处理.
(2)原方程分离变量,得
,
两端积分,得
,
即
,
故原方程的通解为
.
(3)原方程可化成
,
分离变量,得
,
两端积分,得,
即
是原方程的通解.
(4)分离变量,得
,
两边积分,得
,
即
是原方程的通解.
(5)分离变量,得
,
两端积分,得
,
即
.
由定解条件,知
,即,
故所求特解为
,即.
(6)将方程两边同除以,得
,
两端积分,得
,
积分后得
(其中),
从而有
,
代入初始条件,得
.
因此,所求方程满足初始条件的特解为
,
即
.
2.一曲线过点在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分,求此曲线的方程.
解设曲线的方程为,过点的切线与x轴和y轴的交点分别为及,则点就是该切线的中点.于是有
,即,且,
分离变量后,有
,
积分得
,
即
.
由定解条件,有
,
故为所求的曲线.
3.一粒质量为20克的子弹以速度(米/秒)打进一块厚度为10厘米的木板,然后穿过木板以速度(米/秒)离开木板.若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方成正比(比例系数为k),问子弹穿过木板的时间.
解依题意有
,,
即
,
两端积分得,
(其中20克=0.02千克),
代入定解条件,得
,
故有.
设子弹穿过木板的时间为秒,则
,
又已知时,米/秒,于是
,
从而,
,
为此有
,
所以
(秒),
故子弹穿过木板运动持续了(秒).
4.求下列齐次方程的通解或特解:
(1);
(2);
(3);(4);
(5),;(6),.
解
(1)原方程变形,得
,
令,即,有,则原方程可进一步化为
,
分离变量,得
,
两端积分得
,
即
,
将代入上式并整理,得原方程的通解为
.
(2)原方程变形,得
,即.
令,即,有,则原方程可进一步化为
,
即
,
两端积分,得
,
将代入上式并整理,得原方程的通解为
(其中).
(3)原方程变形,得
,即,
令,有,则原方程可进一步化为
,
即
,
两端积分,得
,
即
,
将代入上式并整理,得原方程的通解为
.
(4)显然,原方程是一个齐次方程,又注意到方程的左端可以看成是以为变量的函数,故令,即,有,则原方程可化为
,
整理并分离变量,得
,
两端积分,得
,
即
.
将代入上式并整理,得原方程的通解为
.
(5)原方程可化为
.
令,有,则原方程可进一步化为
,
即
,
两端积分,得
,
将代入上式,得
,
代入初始条件,得
.
因此,所求方程满足初始条件的特解为
.
(6)原方程可写成
.
令,即,有,则原方程成为
,
分离变量,得
,
两端积分,得
,
即
,
代入并整理,得通解
.
由初始条件,得.于是所求特解为
.
5.设有连结原点O和的一段向上凸的曲线弧,对于上任一点,曲线弧与直线段所围成图形的面积为,求曲线弧的方程.
解设曲线弧的方程为,依题意有
y
x
O
1
1
A(1,1)
P(x,y)
x
y
y
,
上式两端对x求导,
,
即得微分方程
,
令,有,则微分方程可化为
,即,
积分得
,
因,故有
.
又因曲线过点,故.于是得曲线弧的方程是
.
6.化下列方程为齐次方程,并求出通解:
(1);
(2).
解
(1)原方程可写成
,
令,解得交点为,.作坐标平移变换,,有
,
所以原方程可进一步化为
(*)
这是齐次方程.
设,则,,于是(*)式可化为
,
即
,
变量分离,得
,
两端积分,得
,
即
,
将代入上式,得原方程的通解为
.
(2)原方程可写成
,
该方程属于类型,一般可令.
令,有,则原方程可化为
,
即
,
积分得
,
将代入上式,得原方程的通解为
.
习题11-3
1.求下列微分方程的通解:
(1);
(2);(3);
(4);(5);(6).
解
(1)
.
(2)原方程可化为
,
故通解为
.
(3)原方程可化为
,
故通解为
.
(4)所给方程的通解为
.
(5)方程可化为
,
即
,
故通解为
.
(6)
.
2.求下列微分方程的特解:
(1),;
(2),;
(3),.
解
(1)
,
代入初始条件,得.故所求特解为
.
(2)
,
代入初始条件,得,故所求特解为
,
即
.
(3)
,
代入初始条件,得,故所求特解为
.
3.求一曲线的方程,这曲线通过原点,并且它在点处的切线斜率等于.
解设曲线方程为,依题意有,即.从而
.
由,,得.故所求曲线的方程为
.
4.设曲线积分在右半平面()内与路径无关,其中可导,且,求.
解依题意及曲线积分与路径无关的条件,有
,
即
.
记,即得微分方程及初始条件为
,.
于是,
.
代入初始条件,得,从而有
.
5.求下列伯努利方程的通解:
(1);
(2);
(3);(4).
解
(1)方程可以化为
.
令,则,即.代入上面的方程,得
,
即
,
其通解为
,
所以原方程的通解为
.
(2)原方程化为
.
令,则,即.代入上面的方程,得
,
即
,
其通解为
.
所以原方程的通解为
.
(3)原方程化为
.
令,则,于是原方程化为
,
其通解为
,
所以原方程的通解为
.
(4)原方程化为
,即.
令,则,则原方程化为
,
其通解为
,
所以原方程的通解为
,
或写成
.
习题11-4
1.求下列全微分方程的通解:
(1);
(2);
(3).
解
(1)易知,,.因为
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