完整版空间向量与立体几何知识点和习题含答案1文档格式.docx
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交换律:
a•b=b•a;
(a+b)•c=a•c+b•c.
(4)空间向量运算的坐标表示:
1空间向量的正交分解:
建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴,y轴,z轴的正方向引单位向量i,
j,k,则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i,j,k},由空间向量分解定理,对于空间
任一向量a,存在惟一数组⑻,a2,a3),使a=aii+a2j+a3k,那么有序数组(ai,a2,a3)就叫做空间向量
a的坐标,即a=(ai,a2,a3).
2空间向量线性运算及数量积的坐标表示:
设a=(ai,a2,a3),b=(bi,b2,b3),则
a+b=(ai+bi,a2+b2,a3+b3);
a—b=(ai—bi,a2—b2,a3—b3);
a=(ai,a2,a3);
a•b=aibi+a2b2+a3b3.
3空间向量平行和垂直的条件:
a/b(b丰0)a=bai=bi,a2=b2,a3=b3(€R);
a丄ba•b=0aibi+a2b2+a3b3=0.
4向量的夹角与向量长度的坐标计算公式:
|a|aa..a;
a;
af,|b|bb.bb;
b3;
abaib|a2b2a3b3
cosa,b;
Ia||b|询2Ofa3\/bib;
b;
在空间直角坐标系中,点A(ai,a2,a3),B(bi,b2,b3),贝UA,B两点间的距离是
|AB|,.(aibi)2(a2b?
)2®
bs)2.
2.空间向量在立体几何中的应用:
(1)直线的方向向量与平面的法向量:
①如图,I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,对空间任意一点0,点P在直线I上的
由此可知,给定一点A及一个向量a,那么经过点A以向量a为法向量的平面惟一确定.
(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系:
设直线I,
m的方向向量分别是a,b,平面,的法向量分别是u,v,
①1//m
a/b
a=kb,k€R;
②1丄m
a丄b
a•b=0;
③1//
a丄u
a•u=0;
④1丄
a//u
a=ku,k€R;
⑤//
u//v
u=kv,k€R;
⑥丄
u丄v
u•v=0.
(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题:
①异面直线所成的角:
设a,b是两条异面直线,过空间任意一点0作直线a'
//a,b'
//b,则a'
与
b'
所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角.
n
设异面直线a与b的方向向量分别是vi,v2,a与b的夹角为,显然(0,—],则
2
|cosV|,v2|1ViV21
IV1IIV2I
②直线和平面所成的角:
直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.
设直线a的方向向量是U,平面的法向量是V,直线a与平面的夹角为,显然
3二面角及其度量:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.记作-1-在二面
角的棱上任取一点0,在两个半平面内分别作射线0A丄1,0B丄I,则/AOB叫做二面角一I—的平面角.
利用向量求二面角的平面角有两种方法:
方法一:
如图,若AB,CD分别是二面角一I-的两个面内与棱I垂直的异面直线,则二面角一I-的大
小就是向量AB与CD的夹角的大小.
方法二:
如图,mi,m2分别是二面角的两个半平面,的法向量,则〈mi,m2〉与该二面角的大小相等或
互补.
(4)根据题目特点,同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题.【复习要求】
1•了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2•掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3•掌握空间向量的数量积及其坐标表示;
能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
4.理解直线的方向向量与平面的法向量.
5•能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.
6•能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.
【例题分析】
例1如图,在长方体OAEB—OiAiEiBi中,OA=3,OB=4,00i=2,点P在棱AAi上,且AP=2PAi,点S在棱BBi上,且BiS=2SB,点Q,R分别是OiBi,AE的中点,求证:
PQ//RS.
24
尹0,2)(0叫),
解:
如图建立空间直角坐标系,则
2),Bi(0,4,2),E(3,4,0).
2-
•••AP=2PAi,AP_AA
3
4
•-P(3,0-)
同理可得:
Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,—)
——2—
PQ(3,2,—)RS,
PQ//RS,又RPQ,
•••PQ//RS.
【评述】1证明线线平行的步骤:
(1)证明两向量共线;
(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可.
2、本体还可采用综合法证明,连接PR,QS,证明PQRS是平行四边形即可,请完成这个证明.
例2已知正方体ABCD—AiBiCiDi中,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点,求证:
平面AMN//平面EFBD.
【分析】要证明面面平行,可以通过线线平行来证明,也可以证明这两个平面的法向量平行.
解法一:
设正方体的棱长为4,如图建立空间直角坐标系,贝UD(0,0,0),A(4,0,0),M(2,0,4),
N(4,2,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4).
取MN的中点K,EF的中点G,BD的中点O,贝UO(2,2,0),K(3,1,4),G(1,3,4).
MN=(2,2,0),EF=(2,2,0),AK=(—1,1,4),OG=(—1,1,4),
•MN//EF,AKOG,•MN//EF,AK//OG,
•MN//平面EFBD,AK//平面EFBD,
•平面AMN//平面EFBD.
解法二:
设平面AMN的法向量是a=(a1,a2,a3),平面EFBD的法向量是
b=(b1,b2,b3).
由
aAM
0,a
AN0,
得
2弓
4a3
0,
2a2
取a3=1,得a=(2,—2,1)
bDE
0,b
BF0,
2b24R0,
得取b3=1,得b=(2,—2,1).
2b4bs0,
•/a//b,•平面AMN//平面EFBD.
注:
本题还可以不建立空间直角坐标系,通过综合法加以证明,请试一试.
例3在正万体ABCD—AiBiCiDi中,M,N是棱AiBi,BiB的中点,求异面直线AM和CN所成角的余弦值.
AM(0,i,2),CN(2,0,i),
•••异面直线AM和CN所成角的余弦值是
5
取AB的中点P,CCi的中点Q,连接BiP,BiQ,PQ,PC.易证明:
BiP//MA,BiQ//NC,
•/PBiQ是异面直线AM和CN所成的角.
设正方体的棱长为2,易知B1PB1Q.、5,PQPC2QC2、6,
BiP2BiQ2PQ22
…cosPB|Q,
2BPBiQ5
【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°
的角,因此按向量的夹角公式计算时,分子的数量积
如果是负数,则应取其绝对值,使之成为正数,这样才能得到异面直线所成的角(锐角).
例4如图,正三棱柱ABC-AiBiCi的底面边长为a,侧棱长为2a,求直线ACi与平面ABBiAi所
成角的大小.
如图建立空间直角坐标系,贝UA(0,0,0),B(0,a,0),Ai(0,0,2a),
CiD.
Ci(~^r,a^2a)取AiBi的中点D,则D(0,|「2a),连接ad,
则DC(-^,0,0),AB(0,a,0),AAi(0,0,-2a),
DC1AB0,DC1AA0,
二DCi±
平面ABBiAi,
•••/CiAD是直线ACi与平面ABBiAi所或的角.
Ac;
(』,a,2a),AD(0,?
2a),
222
“AC;
ADV3
cosCiAD—
|ACi||AD|2
•直线AC;
与平面ABBiAi所成角的大小是30°
.
I—
—*3aa—
如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,a,0),Ai(0,0,..2a),Ci(,—,、-2a),
22
从而AB(0,a,0),AA;
(0,0,2a),AC;
(少,?
,、2a)
设平面ABBiAi的法向量是a=(p,q,r),
由aAB0,aAA0,
aq0,
得一取p=1,得a=(1,0,0).
••2ar0,
n设直线Ac;
与平面ABBiAi所成的角为,[0,—],
sin|cosAC1,a|1ACla1-,30.
|AG||a|2
【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系,再利用向量的知识求解线面角;
解法二给出了般的方法,即先求平面的法向量与斜线的夹角,再利用两角互余转换.
例5如图,三棱锥P—ABC中,PA丄底面ABC,AC丄BC,PA=AC=1,BC.2,求二面角A—PB—C的平面角的余弦值.
取PB的中点D,连接CD,作AE丄PB于E.
PA=AC=1,PA丄AC,pc=bc=2,•••CD丄PB.
•/EA丄PB,
1J21
中点,得D(〒亍
EADC
|EA||DC|
AP(0,0,1),AB(.2,1,0),CB(.2,0,0),CP(0,1,1).
设平面FAB的法向量是a=(ai,a2,a3).
平面FBC的法向量是b=(bi,b2,b3).
得a30,取ai=i,得a(1,.2,0).
、2耳a20,
0得'
2b10,取b3=1,得b=(0,1,1).
b2b30,
abV3
cosa,b
|a||b|3
•••二面角A—FB-C为锐二面角,
•••二面角A—FB—C的平面角的余弦值是|弓|弓
33
【评述】1、求二面角的大小,可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两个向量的
夹角;
应注意两个向量的始点应在二面角的棱上.
2、当用法向量的方法求二面角时,有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补
角,但我们可以借助观察图形而得到结论,这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的.
例6如图,三棱锥F—ABC中,FA丄底面ABC,FA=AB,/ABC=60°
/BCA=90°
,点D,E
分别在棱FB,FC上,且DE//BC.
(I)求证:
BC丄平面FAC;
(II)当D为FB的中点时,求AD与平面FAC所成角的余弦值;
(川)试问在棱FC上是否存在点E,使得二面角A—DE—F为直二面角?
若存在,求出FE:
EC的值;
若不存在,说明理由.
•-AD(1a^43a,^a),AE(0<
-3a,1a),
44242
ADAE
--cosDAE
|AD||AE|4
故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角,此时PE:
EC=4:
3.注:
练习
、选择题:
在正方体ABCD—AiBiCiDi中,E是BBi的中点,则二面角E—AiDi—D的平面角的正切值是()
2.
正方体ABCD—AiBiCiDi中,直线ADi与平面AiACCi所成角的大小是()
(A)30°
(B)45°
(C)60°
(D)90°
3.
已知三棱柱ABC—AiBiCi的侧棱与底面边长都相等,Ai在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则ABi
与底面ABC所成角的正弦值等于(
与GH所成角的大小是
6.
厂V3
已知正四棱柱的对角线的长为.6,且对角线与底面所成角的余弦值为,则该正四棱柱的体积等
1…
8.
四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形,/BAD=90°
AD//BC,ABBCAD,PA丄底面ABCD,
PD与底面ABCD所成的角是30°
.设AE与CD所成的角为,则cos=.
、解答题:
9.如图,正四棱柱ABCD—AiBiCiDi中,AAi=2AB=4,点E在CCi上,且CiE=3EC.
(I)证明:
AiC丄平面BED;
(II)求二面角Ai—DE—B平面角的余弦值.
n
10.如图,在四棱锥O—ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,ABC-,OA丄底面ABCD,OA
=2,M为OA的中点,N为BC的中点.
直线MN//平面OCD;
(I)求异面直线AB与MD所成角的大小.
11.如图,已知直二面角一PQ—
A€PQ,B€,C€,CA=CB,ZBAP=45°
,直线CA和平
面所成的角为30°
BC丄PQ;
(I)求二面角B—AC—P平面角的余弦值.
练习答案
一、选择题:
1.B
2.A3.B4.D
二、填空题:
5.60°
6.27.48j
54
三、解答题:
9.以D为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系D—xyz.
依题设,B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),Ai(2,0,4).
DE(0,2,1),DB(2,2,0),
AC(2,2,4),DA!
(2,0,4).
(I)•/A1CDB0,A1CDE0,/.AiC丄BD,AiC丄DE.又DBnDE=D,•••AiC丄平面DBE.
(n)设向量
n=(x,y,z)是平面DAiE的法向量,贝UnDE,nDA,.
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),则nOP0,nOD0,
•/MNn0,•••MN//平面OCD.
|ABMD|1n
|AB||MD|2、3
(n)设AB与MD所成的角为,
AB(1,0,0),MD(pp,1),cos
即直线AB与MD所成角的大小为一
11.(I)证明:
在平面内过点C作CO丄PQ于点O,连结OB.
•••丄,n=PQ,.・.CO丄.
又•••CA=CB,•OA=OB.
•••/BAO=45°
「./ABO=45°
/AOB=90°
「.BO丄PQ,又CO丄PQ,
•PQ丄平面OBC,「.PQ丄BC.
(n)由(I)知,OC丄OA,OCXOB,OA丄OB,故以O为原点,分别以直线OB,OA,OC为x轴,y
不妨设AC=2,贝VAO,CO=1.
在RtAOAB中,/ABO=/BAO=45°
•BOAO、-3.
•O(0,0,0),B(.3,0,0),A(0<
3,0),C(0,0,1).
AB(.3,一3,0),AC(0,.3,1).
设n1=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,
(1,1,.3).
由nAB0,得3y0,取x=1,得n1nAC0,3yz0,
易知n2=(1,0,0)是平面的一个法向量.
设二面角B—AC—P的平面角为,•cos
n~in2
闷|口2〔
即二面角B—AC—P平面角的余弦值是
■■5
"
5"
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