多变量的函数问题 高考理科数学解答题训练含答案.docx
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多变量的函数问题高考理科数学解答题训练含答案
多变量的函数问题-2019年高考理科数学解答题训练含答案
一、解答题
1.已知函数.
(1)若函数在定义域内单调递增,求实数的取值范围;
(2)对于任意的正实数,且,求证:
.
【答案】
(1);
(2)见解析.
【解析】
【详解】
(1)依题意,导数对于任意恒成立,即不等式
对于任意恒成立,即不等式对于任意恒成立;
又因为当时(当时取等号),则,故实数的取值范围是.
(2)由于目标不等式中两个字母与可以轮换,则不妨设.令,则.
欲证目标不等式
.(※)
根据
(1)的结论知,当时在上递增.又因为,则
,则不等式(※)正确,故原目标不等式得证.
【点睛】
本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、利用单调性证明不等式及利用单调性求参数的范围,属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法:
①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.
2.已知函数,其中为实常数.
(1)若是的极大值点,求的极小值;
(2)若不等式对任意,恒成立,求的最小值.
【答案】
(1)
(2).
【解析】分析:
(1)先根据是的极大值点求得,再求的极小值.
(2)先转化为,再利用导数求,即得解.
(Ⅱ)不等式即为,
所以.
(i)若,则,.
当,时取等号;
点睛:
(1)本题主要考查利用导数求函数的极值、单调性和最值,考查利用导数解决不等式
的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
(2)解答本题的关键有
两点,其一是分离参数得到,其二是利用导数求,需要分类讨论.
3.已知函数f(x)=ax﹣xlna(a>0且a≠1).
(Ⅰ)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)单调区间;
(Ⅲ)若对任意x1,x2∈R,有|f(sinx1)﹣f(sinx2)|≤e﹣2(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围.
【答案】
(1)y=1
(2)在[0,+∞)递增,在(﹣∞,0]递减;(3)
【解析】分析:
(1)先求导数,再根据导数几何意义得切线斜率,最后根据点斜式求切线方程,
(2)根据a与1大小分类讨论导函数符号,再根据导函数符号确定单调区间,(3)先将恒成立问题转化为对应函数最值,再根据单调性确定函数最值,通过构造函数解不等式,可得实数a的取值范围.
详解:
解:
(Ⅰ)∵f′(x)=axlna﹣lna=(ax﹣1)lna,
∴f′(0)=0,又∵f(0)=1,∴所求切线方程是:
y=1;
(Ⅱ)当a>1时,令f′(x)>0,解得:
x>0,令f′(x)<0,解得:
x<0,
当0<a<1时,令f′(x)>0,解得:
x>0,令f′(x)<0,解得:
x<0,
故对∀a>0,且a≠1,f(x)在[0,+∞)递增,在(﹣∞,0]递减;
(Ⅲ)记f(x)在x∈[﹣1,1]上的最大值是M,最小值是m,
要使对任意x1,x2∈R,
有|f(sinx1)﹣f(sinx2)|≤e﹣2,
只需M﹣m≤e﹣2即可,
根据f(x)的单调性可知,m=f(0)=1,M为f(﹣1),f
(1)的最大值,
f(﹣1)=+lna,f
(1)=a﹣lna,f(﹣1)﹣f
(1)=﹣a+2lna,
令g(x)=﹣x+2lnx,g′(x)=﹣≤0,
故g(x)在(0,+∞)递减,
点睛:
对于求不等式成立时的参数范围问题,一般有三个方法,一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个区间上具体的函数,通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法,根据参数取值情况分类讨论,三是数形结合法,将不等式转化为两个函数,通过两个函数图像确定条件.
4.已知函数,其中.
(1)设是的导函数,讨论的单调性;
(2)证明:
存在,使得恒成立,且在区间内有唯一解.
【答案】
(1)增,减(0,1)
(2)见解析
【解析】
【详解】
(1)解:
由已知,函数的定义域为,
所以
当时,,单调递减
当时,,单调递增
(2)证明:
由,解得
令
则
于是,存在,使得
令
由(Ⅰ)知:
,即
当时,有
由(Ⅰ)知,在区间上单调递增
故:
当时,,
当时,,
又当时,.
所以,当时,.
综上述,存在,使得恒成立,且在区间内有唯一解
【点睛】
(1)本题主要考查利用导数求函数的单调性,利用导数研究不等式的恒成立问题和零点问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
(2)本题解题的关键是构造函数
,证明
存在,使得,再证明存在,使得恒成立,且在区间内有唯一解.
5.已知函数,.
(1)当时,
①若曲线与直线相切,求c的值;
②若曲线与直线有公共点,求c的取值范围.
(2)当时,不等式对于任意正实数x恒成立,当c取得最大值时,求a,b的值.
【答案】
(1),
(2),.
【解析】
【分析】
(1)当时,,所以,①设切点为,列出方程组,即可求得,得到答案;②由题意,得方程有正实数根,即方程有正实数根,记,利用导数求得函数的单调性与最小值,即可求解的取值范围;
【详解】
②由题意,得方程有正实数根,
即方程有正实数根,
记,令,
当时,;当时,;
所以在上为减函数,在上为增函数;
所以.
若,则,不合;
若,由①知适合;
若,则,又,
所以,由零点存在性定理知在上必有零点.
综上,c的取值范围为.
(2)由题意得,当时,对于任意正实数x恒成立,
所以当时,对于任意正实数x恒成立,
由
(1)知,,
两边同时乘以x得,①,
两边同时加上得,②,
所以(*),当且仅当时取等号.
对(*)式重复以上步骤①②可得,,
进而可得,,,……,
所以当,时,,当且仅当时取等号.
所以.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及函数的恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:
(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;
(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用.
6.已知函数f(x)=x2+1,g(x)=2alnx+1(a∈R)
(1)求函数h(x)=f(x)g(x)的极值;
(2)当a=e时,是否存在实数k,m,使得不等式g(x)≤kx+m≤f(x)恒成立?
若存在,请求实数k,m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)求导,分类讨论,根据导数与函数单调性的关系,根据函数的单调性即可求得极值;
(2)当时,由,当且仅当时,取等号,由,则时,与有公切线,切线方程,即可求得实数的值.
(2)当a=e时,由
(1)知
h()=h()=e﹣elne=0
∴f(x)﹣g(x)≥0,也即f(x)≥g(x),当且仅当时,取等号;
以为切点,
f′()=g′()
所以y=f(x)与y=g(x)有公切线,切线方程y=2x+1﹣e
构造函数,显然
构造函数
由解得,由解得
【点睛】
本题考查导数的综合应用,考查利用导数的求函数的单调性及最值,考查利用导数求曲线的切线方程,考查计算能力,属于中档题.
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