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叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较.
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小:
如下图,由图
(1)可得∠AOB<∠A′O′B′;
由图
(2)可得∠AOB=∠A′O′B′;
由图(3)可得∠AOB>∠A′O′B′.
3.角的和、差关系
如图所示,∠AOB是∠1与∠2的和,记作:
∠AOB=∠1+∠2;
∠1是∠AOB与∠2的差,记作:
∠1=∠AOB-∠2.
(1)用量角器量角和画角的一般步骤:
①对中(角的顶点与量角器的中心对齐);
②重合(一边与刻度尺上的零度线重合);
③读数(读出另一边所在线的度数).
(2)利用三角板除了可以做出30°
外,根据角的和、差关系,还可以画出15°
,75°
,105°
,120°
,135°
,150°
,165°
的角.
4.角平分线
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线.如图所示,OC是∠AOB的角平分线,∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,
∠AOC=∠BOC=
∠AOB.
由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样.
知识点三、余角和补角
1.定义:
一般地,如果两个角的和等于90°
(直角),就说这两个角互为余角,即其中一个角是另一个角的余角.
类似地,如果两个角的和等于180°
(平角),就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角.
2.性质:
(1)同角(等角)的余角相等.
(2)同角(等角)的补角相等.
(1)互余互补指的是两个角的数量关系,互余、互补的两个角只与它们的和有关,而与它们的位置无关.
(2)一般地,锐角α的余角可以表示为(90°
-α),一个角α的补角可以表示为(180°
-α).显然一个锐角的补角比它的余角大90°
.
知识点四、方位角
在航行和测绘等工作中,经常要用到表示方向的角.例如,图中射线OA的方向是北偏东60°
;
射线OB的方向是南偏西30°
.这里的“北偏东60°
”和“南偏西30°
”表示方向的角,就叫做方位角.
(1)正东,正西,正南,正北4个方向不需要用角度来表示;
(2)方位角必须以正北和正南方向作为“基准”,“北偏东60°
”一般不说成“东偏北30°
”;
(3)在同一问题中观察点可能不止一个,在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”,确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向;
(4)图中的点O是观测点,所有方向线(射线)都必须以O为端点.
知识点五、钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格,把周角12等分、每个大格对应30°
的角,分针1分钟转6°
,时针每小时转30°
,时针1分钟转0.5°
,利用这些关系,可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.
【典型例题】
类型一、角的比较与运算
1.利用一副三角板上的角,能画出多少个小于180°
的角,试一一画出来.
【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°
,45°
,60°
,90°
这样4个不相等的角,利用这些角进行一次和差,可得小于180°
的所有角.
【答案与解析】
解:
除了可以画30°
外,还可画15°
的七个度数的角,画法如图所示.
【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角,分别是:
30°
,15°
2.计算下列各题:
(1)152°
49′12″+20.18°
(2)82°
-36°
42′15″;
(3)35°
36′47″×
9;
(4)41°
37′÷
3.
【答案与解析】
解:
(1)解法一:
∵20.18°
=20°
10′48″
即:
152°
=173°
解法二:
∵152°
49′12″=152.82°
,
∴152.82°
+20.18°
(2)将82°
化为81°
59′60″,则
∴82°
42′15″=45°
17′45″.
423″=7′3″,324′+7′=5°
31′,
∴35°
9=320°
31′3″.
∴41°
3=13°
52′20″.
【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位,都化成度或分、秒表示,然后进行计算;
在进行乘法运算时,往往先把度、分、秒分别乘以倍数,将结果满60″进1′,满60′进1°
对于除法运算则是从度开始除,将余数化为分和以前的分数相加再除,将余数再化成秒和以前的秒数相加再除,若除不尽往往四舍五入.
举一反三:
【变式】计算:
(1)23°
45′36″+66°
14′24″;
(2)180°
-98°
24′30″;
(3)15°
50′42″×
3;
(4)88°
14′48″÷
4.
【答案】
(1)23°
14′24″=90°
24′30″=81°
35′30″;
(3)15°
3=47°
32′6″;
(4)88°
4=22°
3′42″.
3.如图所示表示两块三角板.
(1)用叠合法比较∠1,∠α,∠2的大小;
(2)量出图中各角的度数,并把图中的6个角从小到大排列,然后用“<”或“=”连接.
【答案与解析】
(1)如图所示,把两块三角板叠在一起,可得∠1>∠α,用同样的方法,
可得∠α<∠2.所以∠2=∠1>∠α.
(2)用量角器量出图中各个角的度数,分别是∠1=∠2=45°
,∠3=90°
,∠α=30°
,∠β=60°
,∠γ=90°
,把它们从小到大排列,有∠α<∠1=∠2<∠β<∠3=∠γ.
【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种:
①先将两个角的顶点与顶点重合,一条边与一条边重合再比较.②先量出每个角的度数,然后按它们的度数来比较.
【变式】如图,∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线,OG为∠AOB外的一条射线。
某同学经过认真分析,得到一个关系式是∠MON=
(∠BON-∠AON),你认为这个同学得到的关系式正确吗?
若正确,请把得到这个结论的过程写出来。
正确,理由如下:
∵∠AOB的平分线OM,
∴∠AOM=∠MOB
又∵∠MON=∠AOM-∠AON=∠MOB-∠AON=(∠BON-∠MON)-∠AON
即有∠MON=∠BON-∠MON-∠AON
∴2∠MON=∠BON-∠AON
∴∠MON=
(∠BON-∠AON)
类型二、余角与补角
4.(武汉武昌区期末调研考试)已知点O是直线AB上的一点,∠COE=90°
,OF是∠AOE的平分线.
(1)当点C、E、F在直线AB的同侧(如图①所示)时.试说明∠BOE=2∠COF;
(2)当点C与点E、F在直线AB的两旁(如图②所示)时
(1)中的结论是否仍然成立?
请给出你的结论并说明理由;
(3)将如图②中的射线OF绕点O顺时针旋转m°
(0<m<180),得到射线OD,设∠AOC=n°
,若∠BOD=
,则∠DOE的度数是多少?
(用含n的式子表示)
【思路点拨】由于本题中涉及角的数量关系,故可以选择代数的方法来说明理由.
(1)如图①,设∠COF=α,则∠EOF=90°
-α
因为OF是∠AOE的平分线
所以∠AOF=90°
所以∠AOC=(90°
-α)-α=90°
-2α
∠BOE=180°
-∠COE-∠AOC
=180°
-90°
-(90°
-2α)=2α
即∠BOE=2∠COF
(2)成立.如图2
设∠AOC=β,则
所以
-∠AOE=180°
-β)=90°
+β
所以∠BOE=2∠COF
(3)因为∠DOE=180°
-∠AOE-∠BOD
.
故
的度数是
【总结升华】根据角平分线,互余及互补的定义,进行有关角的计算.有一定的综合性和代表性,主要培养分析问题和解决问题的能力.
角397364角的有关计算例4】
【变式1】如图,已知O是直线AC上一点,OD平分AOB,OE在BOC内,且BOE=
EOC,DOE=70°
,求EOC的度数.
设∠EOC=
°
,则BOE=
EOC=
,根据题意可得:
解得:
∴EOC=2BOE=80°
【变式2】
(2015•百色)一个角的余角是这个角的补角的
,则这个角的度数是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.70°
【答案】B.
设这个角的度数为x,则它的余角为90°
﹣x,补角为180°
﹣x,
依题意得:
90°
﹣x=
(180°
﹣x),
解得x=45°
类型三、方位角
5.(2015•浦东新区三模)已知小岛A位于基地O的东南方向,货船B位于基地O的北偏东50°
方向,那么∠AOB的度数等于 .
【答案】85°
【解析】
如图:
∵∠2=50°
∴∠3=40°
∵∠1=45°
∴∠AOB=∠1+∠3=45°
+40°
=85°
故答案为:
85°
【总结升华】本题主要考查了方位角的概念,根据方位角的概念,画图正确表示出A,B的方位,注意东南方向是45度是解答此题的关键.
类型四、钟表上有关夹角问题
6.在7时到7时10分之间的什么时刻,时针与分针成一条直线?
设7时x分钟,时针与分针成一条直线,由题意得:
答:
7时
分钟时针与分针成一条直线.
【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动,在不同时刻,两针之间形成一定的角度.如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则:
1分针的速度为
=6°
/分;
②时针的速度为
=0.5°
/分.
故分针速度是时针速度的12倍.
【变式】某人下午6点多外出购物,表上的时针和分针的夹角恰为110°
,下午近7点回家时,发现表上的时针和分针的夹角又是110°
,试算出此人外出用了多长时间?
解法一:
设此人外出用了x分钟,则分针转了6x度,时针转了0.5x度.根据题意得:
6x-0.5x=110×
2,解之得x=40.
答:
此人外出购物用了40分钟的时间.
解法二:
设时针从某人外出到回家走了x°
,则分针走了(110+110+x)°
,则:
110+x+110=12x,
解得x=20.
又∵时针每分钟转0.5°
∴此人外出用的时间为:
20÷
0.5=40(分钟).
【巩固练习】
一、选择题
1.关于平角、周角的说法正确的是().
A.平角是一条直线.B.周角是一条射线
C.反向延长射线OA,就成一个平角.D.两个锐角的和不一定小于平角
2.在时刻2∶15时,时钟上的时针与分针间的夹角是()
A.22.5°
B.85°
C.75°
D.60°
3.如图所示,将一幅三角板叠在一起,使直角的顶点重合于点O,则∠AOB+∠DOC的值()
A.小于180°
B.等于180°
C.大于180°
D.不能确定
4.如图,是由四个1×
1的小正方形组成的大正方形,则∠1+∠2+∠3+∠4=()
A.180°
B.150°
C.135°
D.120°
5.(2015•东莞模拟)一个角的余角比这个角的补角的一半小40°
,则这个角为()度.
A.80°
B.70°
C.85°
D.75°
6.如图,OB、OC是∠AOD的任意两条射线,OM平分∠AOB,ON平分∠COD,若∠MON=α,∠BOC=β,则表示∠AOD的式子是()
A.2α-βB.α-βC.α+βD.以上都不正确
7.书店、学校、食堂在同一个平面上,分别用点A、B、C来表示,书店在学校的北偏西30°
,食堂在学校的南偏东15°
,则平面图上的∠ABC应该是().
A.65°
B.35°
C.165°
D.135°
8.如图将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠(点F在BC上,不与B、C重合),使得点C落在长方形内部点E处,若FH平分∠BFE,则关于∠GFH的度数α说法正确的是()
A.90°
﹤α﹤180°
B.0°
﹤α﹤90°
C.α=90°
D.α随折痕GF位置的变化而变化
二、填空题
9.把一个平角16等分,则每份(用度、分、秒表示)为_______.
10.如图所示,∠AOC与∠BOD都是直角,且∠AOB:
∠AOD=2:
11,则∠AOB=_______.
11.(2015春•高密市期末)从A沿北偏东60°
的方向行驶到B,再从B沿南偏西20°
的方向行驶到C,则∠ABC= 度.
12.如图,已知直线AB和CD相交于点O,∠COE是直角,OF平分∠AOE.
(1)写出∠AOC与∠BOD的大小关系:
,判断的依据是.
(2)若∠COF=35°
,∠BOD=.
13.如图,在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB,AC,那么这两条对角线的夹角等于.
14.如图,在
的内部从
引出3条射线,那么图中共有__________个角;
如果引出5条射线,有__个角;
如果引出
条射线,有_个角.
三、解答题
15.若∠AOB=2∠BOC,则OC为∠AOB的平分线,这句话对吗?
16.(武昌期末调考)如图所示,已知∠AOC=2∠BOC,∠AOC的余角比∠BOC小30°
(1)求∠AOB的度数.
(2)过点O作射线OD,使得∠AOC=4∠AOD,
请你求出∠COD的度数
17.如图,已知∠AOB是直角,∠BOC=60°
,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC.
(1)求∠EOF的度数;
(2)若∠AOC=x°
,∠EOF=y°
.则请用x的代数式来表示y;
(3)如果∠AOC+∠EOF=156°
,则∠EOF是多少度?
18.(2014秋•罗平县校级期末)钟面上的角的问题.
(1)3点45分,时针与分针的夹角是多少?
(2)在9点与10点之间,什么时候时针与分针成100°
的角?
1.【答案】C
【解析】角与直线、射线、线段是不同的几何图形,不能混淆。
2.【答案】A
3.【答案】B
【解析】∠AOB+∠DOC=(∠AOC+∠BOC)+(90°
-∠BOC)=90°
+90°
=180°
4.【答案】A
【解析】∠1+∠4=90°
,∠2,∠3所在的三角形都是等腰直角三角形,∠2=∠3=45°
5.【答案】A
【解析】设这个角为x,则它的余角为(90°
﹣x),补角为(180°
由题意得,
﹣x)﹣(90°
﹣x)=40°
,解得x=80°
6.【答案】A
7.【答案】C
【解析】如图所示.
8.【答案】C
【解析】∠COG=∠EFG,∠EFH=∠HFB,2(∠EFG+∠EFH)=180°
所以∠EFG+∠EFH=90°
,即∠GFH=90°
9.【答案】11°
15′
【解析】度、分、秒的换算为“六十进制”,上一级的余数乘以60,变换到下一级再运算.
10.【答案】20°
【解析】设∠AOB=2x,则∠AOD=11x,∠DOC=2x,所以∠BOC=7x,所以2x+7x=90°
,x=10°
,∠AOB=2x=20°
11.【答案】40.
如图,A沿北偏东60°
的方向行驶到B,则∠BAC=90°
﹣60°
=30°
B沿南偏西20°
的方向行驶到C,则∠BCO=90°
﹣20°
=70°
又∵∠ABC=∠BCO﹣∠BAC,
∴∠ABC=70°
﹣30°
=40°
12.【答案】相等,同角(或等角)的补角相等;
20°
(2)∵∠COE是直角,∠COF=35°
∴∠EOF=55°
又OF平分∠AOE,∴∠AOE=110°
∴∠AOC=20°
∴∠BOD=∠AOC=20°
13.【答案】60°
【解析】连接BC,可得:
△ABC为等边三角形
14.【答案】10,21,
【解析】在
引出3条射线,则图中共有角的个数:
如果引出5条射线,则图中共有角的个数:
条射线,则图中共有角的个数:
。
15.【解析】
不正确,应改为:
若∠AOB=2∠BOC=2∠AOC,那么OC为∠AOB的平分线,或改为若∠AOB=2∠BOC,且OC在∠AOB的内部,则OC为∠AOB的平分线.
错误在于没有理解好角平分线的定义,而由∠AOB=2∠BOC能画出两种情况如图所示,但
(1)中OC不是∠AOB的平分线,而
(2)中OC为∠AOB的平分线.
(2)
16.【解析】
(1)设∠BOC=x°
则∠AOC=2x°
依题意列方程:
90-2x=x-30,
解得:
3x=120
x=40.
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=2x°
-x°
=40°
(2)由
(1)有:
∠AOC=2x°
=80°
①当射线OD在∠AOC的内部时,∵∠AOC=4∠AOD,
∴∠AOD=
∠AOC=20°
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=60°
②当射线OD在∠AOC的外部时,∠COD=∠AOD+∠AOC=
∠AOC+∠AOC
=20°
+80°
=100°
17.【解析】
(1)∵∠AOB是直角,∠BOC=60°
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°
+60°
=150°
∵OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,
∴∠EOC=
∠AOC=
×
150°
=75°
,∠COF=
∠BOC==30°
∴∠EOF=∠EOC-∠COF=75°
-30°
=45°
(2)∵∠AOB是直角,∠AOC=x°
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=x°
∠AOC=
x°
∠BOC=
(x°
),
∴∠EOF=∠EOC-∠COF=
-
)=45°
(3)根据
(2)的规律发现,∠EOF的度数只与∠AOB有关,
∠EOF=
∠AOB=
18.【解析】
(1)如图,∵由3点到3点45分,分针转了270°
,时针转了270°
∴时针与分针的夹角是:
180°
﹣270°
=157.5°
(2)设分针转的度数为x,则时针转的度数为
得①90°
+x﹣
=100°
解得,x=
÷
6°
=
(分);
②90°
+
﹣(x﹣180°
)=100°
∴9点过
或
分钟时,时针与分针成100°
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