导数及其运用Word文档格式.docx
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如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v'
(t)。
二.求导数的方法
1几个常用函数的导数
1.若f(x)c,则f(x)
;
2.若f(x)
x,则f(x)
;
2
3.若f(x)x,则f(x)
4.若f(x)
1
一,则f(x)
。
2基本初等函数的导数
1.若f(x)c,则f(x);
2.若f(x)xn(n
Q*),则f(x)
3.若f(x)sinx,贝Uf(x);
4.若f(x)cosx,贝Uf(x)
5•若f(x)ax,则f(x)(a0);
6.若f(x)ex,则f(x)
7.若f(x)loga,则f(x)(a0且a1);
8.若f(x)Inx,则f(x)__
3.导数的四则运算
(uv)=[Cf(x)]=
(uv)=,(-U)=(v0)
4.复合函数的导数
设u(x)在点x处可导,yf(u)在点u(x)处可导,则复合函数f[(x)]在点x处可导,且
f(x)=,即卩yxyuux
三,导数的应用
1•函数的单调性
⑴求函数f(x)的单调区间的一般步骤:
1求出f(x)的导数f(x);
2求出方程f(x)0的根;
3f(x)>
0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
f(x)<
0的解集与定义域的
交集的对应区间为减区间•
特别提醒:
首先注意定义域,其次区间不能用“或”(U)连接•
⑵已知函数的单调性,求参数取值范围
求使函数(解析式中含有参数)为增函数(或减函数)的参数的取值范围:
①先求使f(x)0(或f(x)0)成立的参数的取值范围;
②把参数取值范围的端点值代回函数解析式检验;
③综合①,②得参数的取值范围•f(x)0f(x)增函数f(x)0恒成立;
f(x)0f(x)减函数f(x)0恒成立•边界代入检验!
2•函数的极值
求函数yf(x)极值的步骤:
(最好通过列表法)
①求导数f(x);
②解方程f(x)0的根x0;
③检查f(x)在方程f(x)0的根x0左、右
两侧的符号,判断极值•“左正右负”f(x)在冷处取极大值;
“左负右正”f(x)在冷
处取极小值•
若x0点是y=f(x)的极值点,则f'
(X0)=0,反之不一定成立;
如函数f(x)=|x|在x=0时没有导数,但是,在x=0处,函数f(x)=|x|有极小值.
3•函数最值⑴定义:
函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”;
函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。
⑵求函数yf(x)在[a,b]上的最值的步骤:
1求函数yf(x)在(a,b)内的极值;
2将yf(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最
小值。
四,考点
例1,变化率
,则一等于
已知函数f(x)2x1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+△x,1+△y)
()A.4B.4xC.42xD.42x2
例2导数的定义,
已知某运动物体的位移y(米)与其运动时间t(秒)的函数关系为y=t3+t
(1)求y=f(t),利用导数定义求f(t)
(2)求物体在t=2秒时的瞬时速度。
例3•导数的计数
3.nx
1.
(1)yxiog2x
(2)yxe
⑸f(x)x1x2
3.
x-2y+1=0,
(2009宁夏银川)已知函数y=f(x)的图像在点(1.f
(1))处的切线方程是想
则f
(1)+2f'
(1)的值
4.(2008山东)若函数f(x)=1/3x3f(-1)x2+x+5,则f"
(1)=
例4•几何意义
1已知曲线C:
yxx,则过点P(1,1)的曲线的切线方程.
2.函数yf(x)的图像在点M(1,f
(1))处的切线方程是y_x2,f
(1)f/
(1)=.
3.(全国卷)设曲线yax在点(1,a)处的切线与直线2xy60平行,则a
32
4.已知函数fxx3ax3bx在x1处的切线为12xy10,求函数fx的解
析式.
5.(2009江西卷理)设函数;
n*■■,曲线•—在点二」处的切线方程为
尸N+1,则曲线y=/a)在点处切线的斜率为
例5单调性问题
1.设f(x)=x
2(2-x),
则f(x)
的单调增区间是(
)
A.(0,4)
3
B.(
4,+8)
C.(-8,0)
D.(-
8,0)U(4,+8)
2.
x3ax2x1,aR.
(2008全国I卷文、理)已知函数f(x)
(I)讨论函数f(x)的单调区间;
2
(n)设函数f(x)在区间
2,1内是减函数,求a的取值范围.
33
3.已知函数f(x)x33ax22bx在点x1处有极小值-1,试确定a,b的值,并求出f(x)的单调区间
例6•极值点和极值
1.(2011安徽)设f(x)=ea/(1+ax2),其中a为正实数,当a=4/3时,求f(x)的极值点和极值。
2.设函数f(x)=-x(x-a)(x€R),其中a€R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(2)当a^0时,求函数f(x)的极大值和极小值.
3.已知f(x)x3ax2bxc在点x1处有极值且和曲线g(x)x23x2在交点
(0,2)处有公切线.
(1)求a、b、c的值;
⑵求yf(x)在R上的极大值和极小值.
例7最值
1.已知函数f(x)x3x.
(1)求函数f(x)在[3,—]上的最大值和最小值.
2.函数f(x)=x+2cosx在区间0,—上的最大值为;
在区间[0,2n]上最大值为
3.已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数abc为R),g(x)=f(x)+f(x)是奇函数。
(1)求f(x)的解析式;
(2)讨论g(x)的单调性,求g(x)在[1,2]上的最值.
4.函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值
5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:
3x-y+仁0,若x=-时,y=f(x)有极值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值
例8•综合运用
(2009江西17)设函数f(x)=x39/2x2+6xa
⑴对于任意实数x,f(x)>
=m恒成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围;
例9•实际运用
1.(2007重庆文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:
1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?
最大体积是多少?
2.(湖南文)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/
、12
吨)之间的关系式为:
p24200x,且生产x吨的成本为R50000200x(元)。
问
5
该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?
最大利润是多少?
(利润=收入成本)
练习
1.(全国卷I文)函数f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3时取得极值,则a=()
2.(海南、宁夏文)设f(x)xlnx,若f'
(x0)2,则x0()
2In2.-
A.eB.eC.D.In2
f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是()
(B)0(C)2(D)48.(湖南文科)若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f/(x)的图象是
9.(全国卷n理科)函数y=xcosx—sinx在下面哪个区间内是增函数(
/八,335
10.(浙江理科)设f(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图象如图所示,贝Uy=f(x)的
图象最有可能的是()
(A)(—,)(B)(,2)(C)(,)(D)(2
2222
二、填空题:
(每小题5分,计20分)
11.(浙江文)曲线yx‘2x?
4x2在点(1,一3)处的切线方程是
面积为.
13.(江苏)已知函数f(x)x12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,
则Mm;
14.(2008北京文)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=;
函数f(x)在x=1处的导数f'
(1)=
16.(2007宁夏)曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
17.
24.(安徽文)设函数fx
(I)求b、c的值。
xbxcx(xR),已知g(x)f(x)f(x)是奇函数。
(n)求g(x)的单调区间与极值。
三、解答题:
22.偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解析式.
23.(北京理科、文科)已知函数f(x)=—x3+3x2+9x+a.
(I)求f(x)的单调递减区间;
(II)若f(x)在区间[—2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
(2009宁夏)曲线y=xes+2x+1在点(0,1)处的切线方程为
25.(福建文科)已知函数f(x)x3bx2exd的图象过点P(0,2),且在点M(—1,f(-1))处的切线方程为6xy70.
(I)求函数yf(x)的解析式;
(n)求函数yf(x)的单调区间.
26.(2010湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的房顶和外墙需要建造
隔热层,某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元,该建筑物每年的能源消耗费用为C(单位:
万元)与隔热层厚度x(单位:
cm)满足关系:
k
C(x)=(0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。
设f(x)为隔
3x5
热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(I)求k的值及f(x)的表达式;
(n)隔热层修建多厚时,总费用f(X)达到最小,并求最小值
27.(2008全国n卷文)设aR,函数f(x)ax3x.
(I)若x2是函数yf(x)的极值点,求a的值;
(n)若函数g(x)f(x)f(x),x[0,2],在x0处取得最大值,求a的取值范围.
x3mx2m2x1(m为常数,且m>
0)有极大值9.
29.(2007海南、宁夏文)设函数f(x)In(2x3)x
31
(n)求f(x)在区间一,一的最大值和最小值.
44
30.(2009陕西20)已知函数f(x)=x33ax1,a不等于0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求取值范围。
322
31.已知函数f(x)xaxbxc在x与x1时都取得极值3
(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;
⑵若对任意x[1,2],不等式f(x)c恒成立,求c的取值范围.
32.已知a为实数,f(x)(x4)(xa).
(1)求导函数f(x);
⑵若f
(1)0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;
⑶若f(x)在(-,-2]和[2,+)上都是递增的,求a的取值范围
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- 导数 及其 运用