实验五FIR数字滤波器的设计Word下载.docx
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4、h(n)为奇对称,N为偶数;
H(ejω)
ω=0、2π=0,不适合作低通。
(二)
窗口法
窗函数法设计线性相位FIR滤波器步骤
确定数字滤波器的性能要求:
临界频率{ωk},滤波器单位脉冲响应长度N;
根据性能要求,合理选择单位脉冲响应h(n)的奇偶对称性,从而确定理想频率响应Hd(ejω)的幅频特性和相频特性;
求理想单位脉冲响应hd(n),在实际计算中,可对Hd(ejω)按M(M远大于N)点等距离采样,并对其求IDFT得hM(n),用hM(n)代替hd(n);
选择适当的窗函数w(n),根据h(n)=hd(n)w(n)求所需设计的FIR滤波器单位脉冲响应;
求H(ejω),分析其幅频特性,若不满足要求,可适当改变窗函数形式或长度N,重复上述设计过程,以得到满意的结果。
窗函数的傅式变换W(ejω)的主瓣决定了H(ejω)过渡带宽。
W(ejω)的旁瓣大小和多少决定了H(ejω)在通带和阻带范围内波动幅度,常用的几种窗函数有:
(1)矩形窗(RectangleWindow)
(2)汉宁(Hanning)窗,又称升余弦窗
(3)汉明(Hamming)窗,又称改进的升余弦窗
(4)布莱克曼(Blankman)窗,又称二阶升余弦窗
(5)凯塞(Kaiser)窗
其中:
β是一个可选参数,用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系,一般说来,β越大,过渡带越宽,阻带越小衰减也越大。
I0(·
)是第一类修正零阶贝塞尔函数。
若阻带最小衰减表示为
,β的确定可采用下述经验公式:
(三)频率采样法
频率采样法是从频域出发,将给定的理想频率响应Hd(ejω)加以等间隔采样,然后以此Hd(k)作为实际FIR数字滤波器的频率特性的采样值H(k),由H(k)通过IDFT可得有限长序列h(n),然后进行DTFT或Z变换即可得H(ejω)
(四)FIR滤波器的优化设计
FIR滤波器的优化设计是按照最大误差最小化准则,使所设计的频响与理想频响之间的最大误差,在通带和阻带范围均为最小,而且是等波动逼近的。
为了简化起见,在优化设计中一般将线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应
的对称中心置于n=0处,此时,线性相位因子α=0。
令N=2M+1,则
如希望逼近一个低通滤波器,这里M,
和
固定为某个值。
在这种情况下有
定义一逼近误差函数:
E(ω)为在希望的滤波器通带和阻带内算出的误差值,W(ω)为加权函数,
K应当等于比值δ1/δ2,δ1为通带波动,δ2为阻带波动。
在这种情况下,设计过程要求|E(ω)|在区间
的最大值为最小,它等效于求最小δ2。
根据数学上多项式逼近连续函数的理论,用三角多项式逼近连续函数,在一定条件下存在最佳逼近的三角多项式,而且可以证明这个多项式是唯一的。
这一最佳逼近定理通常称作交替定理。
在逼近过程中,可以固定K,M,
,而改变δ2,按照交替定理,首先估计出(M+2)个误差函数的极值频率
,i=0,1,...,M+1,共计可以写出(M+2)个方程
式中ρ表示峰值误差。
一般仅需求解出ρ,接着便可用三角多项式找到一组新的极值频率点,并求出新的峰值误差ρ。
依此反复进行,直到前、后两次ρ值不变化为止,最小的ρ即为所求的δ2。
这一算法通常称作雷米兹(Remez)交替算法。
三、实验内容及步骤
上机实验内容:
(1)N=45,计算并画出矩形窗、汉明窗、布莱克曼窗的归一化的幅度谱,并比较各自的主要特点。
主要代码如下:
(下同)
w1=rectwin(N);
plot(n,w1,n,w2,'
-.'
n,w3)
[h1,w]=freqz(w1,N);
plot(w/pi,20*log10(abs(h1)),w/pi,20*log10(abs(h2)),'
w/pi,20*log10(abs(h3)))
运行结果如下:
分析:
矩形窗函数具有最窄的主瓣宽度,但有最大的旁瓣峰值;
汉明窗函数的主瓣稍宽,而旁瓣较小;
布莱克曼窗函数则更甚之。
矩形窗设计的滤波器过渡带最窄,但是阻带最小衰减也最差;
布莱克曼窗设计的滤波器阻带衰减最好,过度带最宽,约为矩形窗设计的的三倍。
汉明窗设计的滤波器处于矩形窗和布莱克曼窗之间。
(2)N=15,带通滤波器的两个通带边界分别是
,
。
用汉宁(Hanning)窗设计此线性相位带通滤波器,观察它的实际3dB和20dB带宽。
N=45,重复这一设计,观察幅频和相位特性的变化,注意长度N变化的影响。
b1=fir1(n,wn,hamming(n+1));
stem([0:
n],b1)
freqz(b1,1)
所设计滤波器的h(n):
相应的幅频相频特性曲线:
观察它的实际3dB和20dB带宽,发现N=15时,其3DB带宽约为0.2pi,20db带宽约为0.45pi;
N=45时,其3DB带宽约为0.16pi,20db带宽约为0.3pi
可见N增大,其3db带宽和20db带宽分别减小,滤波器特性变好,过渡带变陡,幅频曲线显示其通带较平缓,波动小,阻带衰减大。
相频特性曲线显示其相位随频率变化也变大。
(3)分别改用矩形窗和Blackman窗,设计
(2)中的带通滤波器,观察并记录窗函数对滤波器幅频特性的影响,比较三种窗的特点。
N=45时,三种窗设计的滤波器的h(n)分别如下:
相应的幅频曲线如下:
从以上三张图可见:
同一N值,分别用矩形窗,汉宁窗,汉明窗,布莱克曼窗设计滤波器时,主瓣宽度逐渐增大,过渡带变宽,但阻带衰减性能变好;
N增加,主瓣变窄,旁瓣的分量增加,过渡带变陡,起伏震荡变密。
加窗处理对滤波器的频率响应会产生以下主要影响:
(1)使理想特性不连续的边沿加宽,形成一过渡带,过渡带的宽度取决于窗函数频谱的主瓣宽度。
(2)在过渡带两旁产生肩峰和余振,它们取决于窗函数频谱的旁瓣;
旁瓣越多,余振也越多;
旁瓣相对值越大,肩峰则越强。
(3)增加截断长度
,只能缩小窗函数频谱的主瓣宽度而不能改变旁瓣的相对值;
旁瓣与主瓣的相对关系只决定于窗函数的形状。
因此增加N,只能相对应减小过渡带宽。
而不能改变肩峰值。
肩峰值的大小直接决定通带内的平稳和阻带的衰减,对滤波器性能有很大关系。
(4)用Kaiser窗设计一专用线性相位滤波器,N=40,
如图,当β=4、6、10时,分别设计、比较它们的幅频和相频特性,注意β取不同值时的影响。
w=kaiser(N,beta);
h=fir1(N-1,[0.20.40.60.8],w);
[h1,w1]=freqz(h,1);
β越大,w(n)窗越窄,频谱的旁瓣越小,但主瓣宽度也相应增加,过渡带变宽,相位特性变好。
(5)用频率采样法设计(4)中的滤波器,过渡带分别设一个过渡点,令H(k)=0.5。
比较两种不同方法的结果。
N=40;
Hk=[00000.51110.50000.51110.5000000-0.5-1-1-1-0.5000-0.5-1-1-1-0.50000];
k=0:
N-1;
thetak=-k*2*pi/N*((N-1)/2);
hn=real(ifft(Hk.*exp(j*thetak)));
[h,w]=freqz(hn,1);
plot(w/pi,20*log10(abs(h)));
plot(w/pi,angle(h));
N-1],hn);
运行结果如下:
(6)用雷米兹(Remez)交替算法设计(4)中的滤波器,并比较(4)、(5)、(6)三种不同方法的结果。
fa=[0.175.2.4.425.575.6.8.8251];
mag=[0011001100];
b=remez(40,fa,mag);
[h1,w1]=freqz(b,1);
plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));
plot(w1/pi,angle(h1));
(7)
利用雷米兹(Remez)交替算法,设计一个线性相位高通FIR数字滤波器,
其指标为:
fa=[500800];
a=[01];
dev=[0.010.109];
fs=5000;
[N,fpts,mag,wt]=remezord(fa,a,dev,fs);
b=remez(N,fpts,mag,wt);
plot(w1/pi*fs/2,20*log10(abs(h1)));
四:
实验思考题
1.定性地说明用本实验程序设计的FIR滤波器的3dB截止频率在什么位置?
它等于理想频率响应Hd(ejω)的截止频率吗?
2.如果没有给定h(n)的长度N,而是给定了通带边缘截止频率ωc和阻带临界频率ωp,以及相应的衰减,你能根据这些条件用窗函数法设计线性相位FIR低通滤波器吗?
(注:
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