步步高必修3高中数学复习资料第三章 章末复习Word下载.docx
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500
次品件数b
3
4
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率;
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少?
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2000个U盘,至少需进货多少个U盘?
解
(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘,为保证其中有2000个正品U盘,则x(1-0.02)≥2000,因为x是正整数,
所以x≥2041,即至少需进货2041个U盘.
反思与感悟 概率是个常数.但除了几类概型,概率并不易知,故可用频率来估计.
跟踪训练1 某射击运动员为备战奥运会,在相同条件下进行射击训练,结果如下:
射击次数n
10
20
击中靶心次数m
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
(1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少?
(2)假如该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少?
(3)假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗?
(4)假如该射击运动员射击了10次,前9次中有8次击中靶心,那么第10次一定击中靶心吗?
解
(1)由题意得,击中靶心的频率与0.9接近,故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×
0.9=270.
(3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化.后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定不击中靶心.
(4)不一定.
类型二 互斥事件与对立事件
例2 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同题目,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少?
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?
解 把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2.“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有:
(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6种;
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有:
(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种;
“甲、乙都抽到选择题”的情况有:
(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6种;
“甲、乙都抽到判断题”的情况有:
(p1,p2),(p2,p1),共2种.
因此基本事件的总数为6+6+6+2=20.
(1)“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的概率为
=
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的概率为
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题”的概率为
+
.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为
故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1-
反思与感悟 在求有关事件的概率时,若从正面分析,包含的事件较多或较烦琐,而其反面却较容易入手,这时,可以利用对立事件求解.
跟踪训练2 猎人在距离100米处射击一野兔,命中的概率为
如果第一次没有命中,则猎人进行第二次射击,但距离已是150米,如果又没有击中,则猎人进行第三次射击,但距离已是200米.已知猎人命中兔子的概率与距离的平方成反比,则三次内击中野兔的概率是多少?
解 三次内击中野兔,即第一次击中野兔或第二次击中野兔或第三次击中野兔,设第一、二、三次击中野兔分别为事件A,B,C.
设距离为d,命中的概率为P,则有P=
将d=100,P=
代入上式,可得k=5000,
所以P=
所以P(B)=
P(C)=
又已知P(A)=
所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
故三次内击中野兔的概率为
类型三 古典概型
例3 某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x,y,z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
A6
A7
A8
A9
A10
(1,2,2)
(2,2,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,
①用产品编号列出所有可能的结果;
②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.
解
(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:
S
6
其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为
=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共15种.
②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6种.
跟踪训练3 有4张面值相同的债券,其中有2张中奖债券.
(1)有放回地从债券中任取2张,每次取出1张,计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率;
(2)无放回地从债券中任取2张,每次取出1张,计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率.
解
(1)把4张债券分别编号1,2,3,4,其中3,4是中奖债券,用(a,b)表示“第一次取出a号债券,第二次取出b号债券”,则所有可能的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种.
用C表示“有放回地从债券中任取2次,取出的2张都不是中奖债券”,则
表示“有放回地从债券中任取2张,取出的2张中至少有1张是中奖债券”,
则C={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},
所以P(
)=1-P(C)=1-
(2)无放回地从债券中任取2张,则所有可能的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种.
用D表示“无放回地从债券中任取2张,取出的2张都不是中奖债券”,则
表示“无放回地从债券中任取2张,取出的2张至少有1张是中奖债券”,
则D={(1,2),(2,1)}.
)=1-P(D)=1-
1.下列事件:
①任取三条线段,这三条线段恰好组成直角三角形;
②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线,这三条射线交于一点;
③实数a,b都不为0,但a2+b2=0;
④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温,
其中为随机事件的是( )
A.①②③B.①②④
C.①③④D.②③④
答案 B
解析 任取三条线段,这三条线段可能组成直角三角形,也可能组不成直角三角形,故①为随机事件;
从一个三角形的三个顶点各任画一条射线,三条射线可能不相交,交于一点、交于两点、交于三点,故②为随机事件;
若实数a,b都不为0,则a2+b2一定不等于0,故③为不可能事件;
由于明年12月28日还未到来,故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温,也可能低于今年12月28日的最高气温,还可能等于今年12月28日的最高气温.故④为随机事件.故选B.
2.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A.对立事件B.互斥但不对立事件
C.不可能事件D.必然事件
解析 根据题意,把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,故两者是互斥事件,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”,故两者不是对立事件,所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.
3.不透明袋子中放有大小相同的5个球,球上分别标有号码1,2,3,4,5,若从袋中任取3个球,则这3个球号码之和为5的倍数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10种,满足要求的基本事件有(1,4,5),(2,3,5),
共2种,故所求概率为
.故选B.
4.任取一个三位正整数N,则对数log2N是一个正整数的概率是( )
B.
C.
D.
答案 C
解析 三位正整数有100~999,共900个,而满足log2N为正整数的N有27,28,29,共3个,故所求事件的概率为
1.两个事件互斥,它们未必对立;
反之,两个事件对立,它们一定互斥.若事件A1,A2,A3,…,An彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
2.关于古典概型,必须要解决好下面三个方面的问题
(1)本试验是不是等可能的?
(2)本试验的基本事件有多少个?
(3)事件A是什么,它包含多少个基本事件?
只有回答好这三个方面的问题,解题才不会出错.
一、选择题
1.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件:
“①两球都不是白球;
②两球恰有一白球;
③两球至少有一个白球”中的( )
A.①②B.①③
C.②③D.①②③
答案 A
解析 从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,基本事件为:
白白,白红,白黑,红红,红黑,黑黑.除“两球都不是白球”外,还有其他事件如白红可能发生,故①与“两球都为白球”互斥但不对立.②符合,理由同上.③两球至少有一个白球,其中包含两个都是白球,故不互斥.
2.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,则恰有一件次品的概率为( )
A.0.4B.0.6
C.0.8D.1
解析 用列举法列出基本事件总数为10.事件“恰有一件次品”包含的基本事件个数为6,则P=
=0.6.
3.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是( )
答案 D
解析 从五个数中任意取出两个不同的数,有10个基本事件,若取出的两数之和等于5,则有(1,4),(2,3),共有2种,所以取出的两数之和等于5的概率
4.已知口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,若摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是( )
A.0.42B.0.28
C.0.3D.0.7
解析 因为“摸出黑球”的对立事件是“摸出红球或摸出白球”,所以摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.
5.集合A={1,2,3,4,5},B={0,1,2,3,4},点P的坐标为(m,n),m∈A,n∈B,则点P在直线x+y=6上方的概率为( )
解析 基本事件总数为25,
点P在直线x+y=6上方的个数为6,
∴P=
6.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一个点数的概率都是
记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则概率P(A∪B)等于( )
解析 事件A∪B为“向上的点数是奇数或向上的点数不超过3”,共包含点数为1,2,3,5四种情况,
所以P(A∪B)=
故选C.
7.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为( )
解析 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A,B,C,D,E,则A,B,C,D,E互斥,取到理科书的概率为事件B,D,E概率的和.
∴P(B+D+E)=P(B)+P(D)+P(E)=
8.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )
解析 从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该问题属于古典概型.又所有基本事件包括(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7),共四种,其中能构成三角形的有(3,5,7)一种,故概率P=
9.有一种竞猜游戏,游戏规则为:
在20个商标牌中,有5个商标牌的背面注明了一定的奖金金额,其余商标牌的背面是一张笑脸,若翻到笑脸,则不得奖,参加这个游戏的人有三次翻牌的机会.某人前两次翻牌均得若干奖金,如果翻过的牌不能再翻,那么此人第三次翻牌获奖的概率是( )
解析 由题意知,第三次翻牌时,还有18个商标牌,其中有奖的商标牌还有3个,故所求概率P=
二、填空题
10.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为________.
答案
解析 基本事件有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10个.其中有a的事件的个数为4个,故所求概率为P=
11.某班准备到郊外野营,为此向商店订了帐篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则他们淋雨的概率为________.
解析 用A,B分别表示下雨和不下雨,用a,b表示帐篷运到和运不到,则所有可能情形为(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),则当(A,b)发生时就会被雨淋到,∴淋雨的概率为P=
三、解答题
12.5件产品中有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,求至多有一件是一等品的概率.
解 将3件一等品编号为1,2,3,将2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).恰有2件一等品的取法有(1,2),(1,3),(2,3),共3种,故恰有2件一等品的概率P2=
其对立事件是“至多有1件一等品”,所以对立事件的概率P3=1-P2=1-
13.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
解
(1)由题意,得(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.
所以P(A)=
因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为
(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件
包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.
所以P(B)=1-P(
)=1-
因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为
四、探究与拓展
14.设集合A={0,1,2},B={0,1,2},从集合A和B中各随机取一个数,分别记为a,b,从而确定平面上的一个点P(a,b),设“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(0≤n≤4,n∈N).若事件Cn的概率最大,则n的值为________.
答案 2
解析 基本事件为:
(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),共9个.
当n=0时,落在直线x+y=0上的点只有(0,0);
当n=1时,落在直线x+y=1上的点有(0,1),(1,0),
共2个;
当n=2时,落在直线x+y=2上的点只有(1,1),(2,0),(0,2),共3个;
当n=3时,落在直线x+y=3上的点只有(1,2),(2,1),共2个;
当n=4时,落在直线x+y=4上的点只有(2,2).
因此,当事件Cn的概率最大时,n=2.
15.甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.
(1)写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况;
(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少?
(3)甲、乙约定,若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,否则乙胜,你认为此游戏是否公平?
说明你的理由.
解
(1)设(i,j)表示(甲抽到的牌的数字,乙抽到的牌的数字),则甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示)为(2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′),(4′,2),(4′,3),(4′,4),共12种.
(2)甲抽到红挑3,乙抽到的牌只能是红桃2,红桃4,方片4.因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
(3)由
(1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3,2),(4,2),(4,3),(4′,2),(4′,3),共5种情况,∴甲胜的概率P1=
乙胜的概率P2=
.∵
<
∴此游戏不公平.
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